ثـرمسائل پایداری، بارگذاری خارجی در قسمتی از مرز مـی باشـد . بنابراین مسئله تحلیل حدی مرز پایین در واقع یافتن یک میدان تنش مجاز است که حداکثر مقدار بار خارجی را به دست دهـد . لذا روند حل در یافتن مرز پایین بار حدی به یک مسئله بهینه یابی مقید می انجامد که در آن تابع هدف٣٢ بارگذاری خارجی و قیود آن شرایط مربوط به تعادل، مرزها و عدم تسلیم نقاط هستند. بر این اساس تابع هدفی به صورت زیر تعریف می شود:
Q = h∫σnf dS (۳۱)
SکهQ بار حدی،h ضخامت عمود بر صفحه،σnf تـنش نرمـالاعمال شده بر ناحیه بارگذاری در مرز وS طـول ناحیـه تحـت بارگذاری می باشد. با استفاده از روش گـاوس ٣٣، فـرم گسسـتهرابطه (۳۱) به شکل زیر بازنویسی می گردد:
NG
Q = h∑ω σinf (xG ,yG ) (۳۲)
i 1=
کهNG تعداد نقاط گاوس واقع شده در طول ناحیـ هωi ، S وزن نقطــه گــاوسi و(x ,yG G) مختصــات نقطــه گــاوس در فضای(x, y) می باشد.
درنهایت با مشخص بودن تابع هـدف و قیـود لازم، مسـئلهبهینه یابی به صورت زیر تشکیل می گردد:
MaximizeQ(s )
Subjected To:
Aeqs = Beq