ر بـه صـورت تجربـی بـرای یـک محـیطمشخص مشکل بوده و در این رابطـه گزارشـی مشـاهده ن شـد.
بهنظر میرسد که این موضوع یکی از محـدودیتهـای کـاربرداین تئوری در مسائل واقعی باشد و البتـه اعتبـار سـنجی را نیـزمشکل مینماید. با اعمال تبدیل فوریه معادله انتگرالی فـوق بـهشکل دیفرانسیلی زیر در میآید [١۵]:
(1r12    2 r244) ijnlij
ثابتهای 1r و 2r ویژگیهای ماده یا به بیانی دیگر مقیاس طـولبا دیمانسیون طول هستند که در واقع نقـش تـابع کرنـل را ایفـامینمایند. با اینحال، در بیشتر مراجع از ترم سوم سـمت چـپمعادله فوق صرف نظر شدهاست[٧, ١۶-١٨] کـه بـه فـرم سـادهشده زیر منجر میشود:
(1  22) ijNLij
در این معادله مقیاس طول بوده که در واقع همان 1r در معادله قبل است. در اینجا نیز از چنین فرم ساده شدهای استفاده و بـرهمین اساس از علامت اختصاری TDNL بـرای آدرس دهـی آندر طی متن استفاده میشود.
با جایگذاری معادلـه سـاختاری هـوک در سـمت راسـتمعادله فوق، روابـط زیـر بـه ترتیـب بـرای حالـت محـیط غیـرایزوتروپ و ایزوتروپ بهدست میآیند:
(12  2) ijNL Cijkl kl (الف-8)
(12     2) ijNLkk ij 2G ij (ب-8)

۲-۲- تئوری گرادیان کرنشی مرتبه دو بر اساس تئوری گرادیان کرنشی مرتبه دو، ترمهـای اول، دوم وپنجم از معادله ساختاری (۱) در شکلگیری معادله حاکم نقـشایفا می کنند. با توجه بهاینکـه در ایـنجـا مشـتقات مرتبـه دومکرنش در فرمولبندی وارد شدهاند بـه آن عنـوان فرمـولبنـدیگرادیان کرنشی مرتبـه دوم اختصـاص داده شـده و بـا علامـتاختصاری ndSG2 نمایش داده میشود:
NL Cijkl kl Cijkl  2 kl
در معادله فوق، Cijkl تانسـور سـفتی گرادیـان دوم یـا ضـریبگرادیان کرنشی نامیده میشود. واقعیت ایناست که مشتق یـکعبارت از جمله مشتق کرنش موجود در معادله فوق در ارتبـاطبا اختلاف بین کرنش در نقطه هدف با کرنش در نقاط همسـایهاست. از اینرو میتوان این معادله را نیز از خـانواده الاستیسـیتهغیرمحلی قلمداد کرد. برای ایجاد شباهت بین این معادله با فـرممعرفیشده در تئوری دیفرانسـیلی اریـنگن و هـم چنـین فـراهمنمودن شـرایط مقایسـهای، در ایـن جـا ضـریب مشـابهی بـرایایـن منظـور در نظـر گرفتـه مـیشـود. در ایـن راسـتا ضـریب Cijkl  2Cijkl تعریف و در معادله فوق جایگذاری میشود. در ادامه با جایگذاری معادله کلاسیک هوک، معادله فوق بـه فـرمزیر تبدیل می شود که شبیه معادلـه ارائـه شـده در مرجـع [۱۹] است:
    NL (1 22) ij
با توجه به اینکه تانسور کرنش قسمت متقارن تانسـور گرادیـانمرتبه اول تغییر شکل است، بنابراین میتوان گفـت کـه عبـارت2kl معادل تانسور گرادیان مرتبه سوم تغییر شکل است.

۲-۳- تئوری گرادیان ضمنی مرتبه دو فرمولبندی بعدی که در ایـن تحقیـق از آن اسـتفاده مـیشـود،ترکیبی از دو مدل قبل بوده و معادله ریاضی آن بهصـورت زیـراست که در حقیقیت مبین این است که ترمهای اول، دوم، پنجم و ششم در معادله کلی (١) انتخاب شدهاند:
(1      122) ijNL(122 2) ij
همانگونه که مشاهده میشود در این فرمولبندی گرادیـانهـایمرتبه دوم تنش غیرمحلی و همچنین تنش کلاسیک (یا کـرنش ) بهطور همزمان وارد شدهاند؛ لذا عنوان گرادیان ضمنی بـرای آندر نظر گرفتـهشـده و بـا علامـت اختصـاریndIG 2 نشـان دادهمی شود. در این فرمولبندی، دو ضریب اضافی نسبت به تئوری محلی در معادله ساختاری وارد شدهاند و با صفر بودن هرکـداماز آنها یکی از تئوریهای گرادیان کرنشـی مرتبـه دوم یـا غیـرمحلی دیفرانسیلی حاصل می شود. در عینحال به منظـور حفـظهماهنگی و فراهم نمودن شرایط مقایسه با تئوریهایی که پیشتر معرفی شـد، در تئـوری جـاری، هـر دو ضـریب یکسـان و بـه صورت 2 1   در نظر گرفته میشود.

۲-۴- تئوری کوپل تنش تغییر یافته
یادآوری میشود کـه قـبًلاً تئـوری گرادیـان کـرنش مرتبـه دوم معرفی شد. با توجه به اینکـه بـا فـرض تغییـر شـکل کوچـک،تانسور کرنش معادل قسمت متقارن تانسور گرادیـان مرتبـه اولتغییر شکل است پس میتوان گفـت کـه در تئـوری ذکـر شـدهقسمت متقارن تانسور گرادیـان مرتبـه سـوم تغییـر شـکل واردفرمول بندی شده اسـت . در ایـن مرحلـه از گرادیـان مرتبـه اولتانسور کرنش در توسعه فرمولبندی استفاده میشود و در واقع ترمهـای اول، دوم و سـوم از معادلـه (۱) در توسـعه معـادلاتساختاری مورد استفاده قرار میگیرنـد . در نسـخه اولیـه تئـوریگرادیانی کرنش، پنج ضریب اضافه علاوه بر ضـرایب الاسـتیکدر فرمولبندی وارد میشود [۲۰]. با اینحـال در نسـخه تغییـریافته از این تئوری تعداد ضرایب اضـافه بـه سـه عـدد کـاهشیافت[۲۱]. در واقـع در ایـن تئـوری، قسـمت متقـارن تانسـورگرادیان مرتبه اول تغییر شکل (کرنش) و تانسور گرادیان مرتبـهدوم تغییر شـکل کـه لزومـًاً متقـارن نیسـت وارد فرمـول بنـدیمی شود. در ویرایش دیگری از این تئوری فقط قسـمت متقـارنتانسور مذکور مد نظر قرار می گیـرد کـه تحـت عنـوان تئـوریاصلاح شده کوپل تنش شناخته شده [۲۲] و در متن حاضـر بـاعلامت اختصاری MCS نمایش داده میشود.
یادآوری میشود که تانسور گرادیان تغییر شـکل بـهصـورتزیر تعریف میشود که به دو قسمت متقارن بهنام تانسور کرنش و غیر متقارن بهنام تانسور چرخش تجزیه میشود:
ui,j 

12(ui,j u )j,i 

12(ui,j u )j,i
در معادله فوق ui بردار تغییـر مکـان، و پرانتـزهـای اول و دومبه ترتیب تانسورهای متقارن و پاد متقارن هسـتند . بـا توجـه بـهاینکه تانسور پادمتقارن حاوی سه مؤلفه است میتـوان آن را بـا یک بردار بهنام بردار چرخش بهصورت زیر تعریف نمود:
 i

eipq uq,p
در معادله فوق،eipq تانسور مرتبه سـوم جایگشـت نـام دارد . در اینجا تانسور انحناء به صـورت گرادیـان مرتبـه اول تانسـور یـابردار چرخش تعریف میشود. همـان گونـه کـه در رابطـه زیـرآورده شدهاست، این تانسور مرتبه دوم حاصل نیز به دو قسمت متقارن و پاد متقارن قابل تجزیه است:
 i,j

12( i,jj,i)  12( i,jj,i)
در تئوری زوج تـنش، در کنـار تانسـور کـرنش، فقـط قسـمتمتقـارن تانسـور انحنـا یـا همـان گرادیـان چـرخش در انـرژی الاستیک سهیم است که با نماد ( ij

( i,j j,i نمایش داده میشود. در اینصورت، انـرژی ک رنشـی بـا رابطـه زیـر تعیـینمی شود:
U

(   ij ijij ij)dV
همانگونه که در تئوری کلاسـیک، ضـریب تانسـور کـرنش درمعادله فوق بهنام تانسور تـنش و مـزدوج یکـدیگر هسـتند، درتئوری زوج تنش، ضریب تانسـور گرادیـان چـرخش یعنـیij مزدوج آن نامیده میشود که دارای دیمانسیون تنش-طول است لذا تانسور کوپل تنش به آن اطلاق میشود. بـا وجـودی کـه درتئوریهای قبلی همه مؤلفههای تـنش و کـرنش در قالـب یـکمعادله واحد با هم در ارتباط هستند ولی در تئوری زوج تـنش،تنشهای کلاسیک با کرنشهای محلی بر اسـاس رابطـه هـوکیعنی معادلات (۲) یا (۳) با هم در ارتباط بـوده و تانسـور زوجتنش نیز در قالب معادلهای مجزا بهصورت زیر با تانسور انحنـا ء در ارتباط است. تعریف این ارتباط به یک ضـریب اضـافه نیـازدارد که در متن حاضر بـرای فـراهم نمـودن امکـان مقایسـه بـاتئوریهای قبلی از همان سـمبل  بـرای ایـن منظـور اسـتفادهمی شود:

  ij 2G 2 ij

تانسور انحناء معادل مشتقات مرتبه دوم تابع تغییر مکـان اسـت که به نوعی بـه جابجـایی در نقطـه مـوردنظر و همچنـین نقـاطهمسایه آن مربوط میشود. بنـابرای ن تئـوری زوج تـنش را نیـز میتوان در زمره تئوریهای غیر محلی قلمداد نمود و پـارامتر  را نیز میتوان به عنوان پارامتر غیر محلی یا ضریب مقیاس طول در نظر گرفت.
بنابراین بهطور خلاصه در کنار تئوری الاستیسیته محلـی یـاهمان کلاسـیک هـوک، چهـار تئـوری دیگـر شـامل غیرمحلـیدیفرانسیلی ارینگن، گرادیان کرنشی مرتبه دوم، گرادیان ضمنـی

شکل ۱- مدل پیوسته گرافین و دستگاه مختصات مورد استفاده

مرتبـه دوم و زوج تـنش مطـرح شـد. در واقـع غیـر از تئـوری کلاسیک، در بقیه تئوریهـا عـلاوه بـر کـرنش در محـل مـوردمحاسبه تنش، کرنشهـا در همسـایگی آن نیـز در شـکلگیـریمعادلات ساختاری نقش ایفا مـی کننـد لـذا در اینجـا از ادبیـاتتئوریهای غیر محلی برای آنها استفاده میشود. همچنین برای امکان مقایسه نتایج کمی این فرمول بنـدی هـا، پـارامتری واحـدبرای مطالعه اثر غیر محلی در نظـر گرفتـهشـد کـه در ادامـه درتحلیل کمانش گرافین مورد استفاده قرار میگیرد.

۳- معادلات حاکم بر کمانش نانوصفحات
برای صفحهای که در شکل (١) نشان داده شدهاست و با توجـهبه دستگاه مختصات انتخاب شده، بـا بـهکـارگیری روش اصـلتغییرات یا با ترکیب معادلات تعادل نیرو و گشـتاور در جهـاتمختلف، معادله کمانش صفحه تحت بـار هـای درون صـفحهایNy ، Nx وNxy و عدم وجود نیروی عرضی، مطابق رابطه زیـربهدست میآید[٢٣]:
139446-33702

2
2
2
2
M
M
M
2
xy
y
x
w








2

2

2

2

M

M

  • 2