دک (1-?)- ام توزیع کای اسکور با درجه آزادی p(k-1) میباشد.
1-3-2- آماره آزمون تحت فرض مجهول بودن ماتریسهای کوواریانس

در این قسمت به معرفی آماره آزمون تحت فرض مجهول بودن ماتریسهای کوواریانس میپردازیم. بدین منظور در آماره ?(Y ?_i,? ?_i ) که در قسمت قبل محاسبه شد، S ?_i را جایگزین ? ?_i میکنیم تا آماره ?(Y ?_i,S ?_i ) به دست آید. فرض کنید W_i=S ?_i^(-1),i=1,…,k و W=?_(i=1)^k?W_i باشد. در این صورت برآوردگر ?_0 را به صورت زیر تعریف میکنیم:
? ?_0^*=W^(-1) ?_(i=1)^k??W_i Y ?_i ?
در نتیجه آماره آزمون عبارت است از:
?(Y ?_i;S ?_i )=?_(i=1)^k??(Y ?_i-? ?_0^* )^’ W_i (Y ?_i-? ?_0^* ) ?
=?_(i=1)^k??Y ?_i^’ W_i Y ?_i ?-(?_(i=1)^k??W_i Y ?_i ?)^’ W^(-1) (?_(i=1)^k??W_i Y ?_i ?) (1-3-4)
استفاده از آماره فوق به منظور انجام آزمون برابری بردارهای میانگین، مستلزم اطلاع از توزیع آماره ?(Y ?_i;S ?_i ) میباشد که به دلیل مشکل بودن یافتن توزیع آماره فوق، از آزمونهای تقریبی که در فصلهای آینده معرفی خواهد شد، استفاده میکنیم.
فصل دوم: مقایسه بردارهای میانگین دو جامعه نرمال
مقایسه بردارهای میانگین دو جامعه نرمال
در این فصل به منظور آشنایی بیشتر با مفاهیم گفته شده در فصل اول، به بررسی آزمونهای مربوط به برابری بردارهای میانگین دو جامعه نرمال میپردازیم.
فرض کنید Y_i1,…,Y_(?in?_i ) یک نمونه تصادفی از توزیع نرمال p – متغیره با بردار میانگین ?_i و ماتریس کوواریانس ?_i , i=1,2 باشد. همچنین فرض کنید Y ?_i و S_i به ترتیب نشان دهنده بردار میانگین و ماتریس کوواریانس نمونهای باشند. یعنی:
Y ?_i=1/n_i ?_(j=1)^(n_i)??Y_ij , S_i=1/(n_i-1) ?_(j=1)^(n_i)??(Y_ij-Y ?_i ) (Y_ij-Y ?_i )^’ , i=1,2??
آزمون زیر را درنظر بگیرید:
?_0:?_1=?_2 vs ?_a:?_1??_2
2-1- آزمون ?^2- هتلینگ زمانیکه ?_1=?_2

در این بخش از روش نسبت درستنمایی به منظور به دست آوردن آماره آزمون استفاده میکنیم.
فضای پارامتری تحت فرض صفر و در حالت کلی به صورت زیر تعریف میشود:
?={(?_1,?_2,?):?_i?R^p,i=1,2 , ? is a positive definite matrix}
?_0={(?_1,?_2,?):?_1=?_2=??R^p , ? is a positive definite matrix}
تابع درستنمایی به صورت زیر میباشد:
L(?_1,?_2,?)=?_(i=1)^2??_(j=1)^(n_i)??(2?)^((-p)/2) |?|^((-1)/2) exp{-1/2 (y_ij-?_i )^’ ?^(-1) (y_ij-?_i )} ?
=?_(i=1)^2??(2?)^((-pn_i)/2) |?|^((-n_i)/2) exp{-1/2 ?_(j=1)^(n_i)??(y_ij-?_i )^’ ?^(-1) (y_ij-?_i ) ?} ?
بنابراین برآورد درستنمایی ?_i و ? به صورت زیر میباشد:
? ?_i=Y ?_i , i=1,2 , ? ?=1/(n_1+n_2 ) ?_(i=1)^2??_(j=1)^(n_i)??(Y_ij-Y ?_i ) (Y_ij-Y ?_i )^’ ?
در نتیجه
?sup?_? L(?_1,?_2,?)=(2?)^((-(n_1+n_2 )p)/2) |? ? |^((-(n_1+n_2 ))/2) exp{(-(n_1+n_2 )p)/2}
اگر ?_1=?_2=? باشد، آنگاه
L(?_1,?_2,?)=?_(i=1)^2??(2?)^((-pn_i)/2) |?|^((-n_i)/2) exp{-1/2 ?_(j=1)^(n_i)??(y_ij-?)^’ ?^(-1) (y_ij-?) ?} ?
در این حالت برآورد درستنمایی ? و ? به صورت زیر میباشد:
? ?=(n_1 Y ?_1+n_2 Y ?_2)/(n_1+n_2 )=(?_(i=1)^2??n_i Y ?_i ?)/(n_1+n_2 ) , ? ?_0=1/(n_1+n_2 ) ?_(i=1)^2??_(j=1)^(n_i)??(y_ij-? ? ) (y_ij-? ? )^’ ?
در نتیجه
?sup?_(?_0 ) L(?_1,?_2,?)=(2?)^((-(n_1+n_2 )p)/2) |? ?_0 |^((-(n_1+n_2 ))/2) exp{(-(n_1+n_2 )p)/2}
در این صورت آماره آزمون عبارت است از:
?=(?sup?_(?_0 ) L(?_1,?_2,?))/(?sup?_? L(?_1,?_2,?) )=|? ?_0 |^((-(n_1+n_2 ))/2)/|? ? |^((-(n_1+n_2 ))/2) =|C|^((n_1+n_2)/2)/|C+(n_1 n_2)/(n_1+n_2 ) (Y ?_1-Y ?_2 ) (Y ?_1-Y ?_2 )^’ |^((n_1+n_2)/2)
به گونهای که C=?_(i=1)^2??_(j=1)^(n_i)??(Y_ij-Y ?_i ) (Y_ij-Y ?_i )^’ ? میباشد.
براساس آزمون نسبت درستنمایی فرض برابری بردارهای میانگین رد میشود اگر:
|C|^((n_1+n_2)/2)/|C+(n_1 n_2)/(n_1+n_2 ) (Y ?_1-Y ?_2 ) (Y ?_1-Y ?_2 )^’ |^((n_1+n_2)/2) <?_0
و یا به طور معادل
|C|/|C+(n_1 n_2)/(n_1+n_2 ) (Y ?_1-Y ?_2 ) (Y ?_1-Y ?_2 )^’ | <?_1
براساس قضیه 3 پیوست
|C+(n_1 n_2)/(n_1+n_2 ) (Y ?_1-Y ?_2 ) (Y ?_1-Y ?_2 )^’ |
=|C+{?((n_1 n_2)/(n_1+n_2 )) (Y ?_1-Y ?_2 )} {?((n_1 n_2)/(n_1+n_2 )) (Y ?_1-Y ?_2 )}^’ |
=|C|(1+{?((n_1 n_2)/(n_1+n_2 )) (Y ?_1-Y ?_2 )}^’ C^(-1) {?((n_1 n_2)/(n_1+n_2 )) (Y ?_1-Y ?_2 )})
=|C|(1+(n_1 n_2)/(n_1+n_2 ) (Y ?_1-Y ?_2 )^’ C^(-1) (Y ?_1-Y ?_2 ))
با توجه به مطالب فوق آماره آزمون را میتوان به صورت زیر نوشت:
?=1/(1+(n_1 n_2)/(n_1+n_2 ) (Y ?_1-Y ?_2 )^’ C^(-1) (Y ?_1-Y ?_2 ) )=1/(1+(n_1 n_2)/(n_1+n_2 ) (Y ?_1-Y ?_2 )^’ (1/(n_1+n_2-2)) S_p^(-1) (Y ?_1-Y ?_2 ) )
=1/(1+?^2/(n_1+n_2-2))
به گونهای که
S_p=1/(n_1+n_2-2) ?_(i=1)^2??_(j=1)^(n_i)??(Y_ij-Y ?_i ) (Y_ij-Y ?_i )^’ ?=((n_1-1) S_1+(n_2-1) S_2)/(n_1+n_2-2)
و
?^2=(n_1 n_2)/(n_1+n_2 ) (Y ?_1-Y ?_2 )^’ S_p^(-1) (Y ?_1-Y ?_2 ) (2-1-1)
فرض برابری بردارهای میانگین رد میشود اگر:
1+?^2/(n_1+n_2-2)>?_2
و یا به صورت معادل
?^2>c .
مقدار ثابت c را به گونهای تعیین میکنیم که P_(?_0 ) (?^2>c)=? باشد. بدین منظور باید از توزیع ?^2 اطلاع داشته باشیم.
قضیه 2-1-1: فرض کنید ?^2=Y^’ S^(-1) Y باشد به گونهای که Y~N_p (?,?) و nS~W_p (n,?). در این صورت ?^2 (n-p+1)/np توزیع ? نامرکزی با درجات آزادی p و n-p+1 و پارامتر نامرکزیت ?^’ ?^(-1) ? دارد. اگر ?=0 باشد، ?^2 (n-p+1)/np دارای توزیع ? مرکزی است.
اثبات: به پیوست مراجعه شود.
نتیجه 2-1-1: براساس قضیه 2-1-1 و با توجه به اینکه
(n_1+n_2-2) S_p=(n_1-1) S_1+(n_2-1) S_2~W_p (n_1+n_2-2,?)
برای آماره معرفی شده در رابطه 2-1-1 تحت فرض ?_0:?_1=?_2 میتوان گفت ?^2 (n_1+n_2-1-p)/(n_1+n_2-2)p دارای توزیع ? مرکزی با درجات آزادی p و n_1+n_2-1-p است.
بنابراین مقدار ثابت c را به صورت زیر تعیین میکنیم:
P_(?_0 ) (?^2>c)=P_(?_0 ) (?^2 (n_1+n_2-1-p)/(n_1+n_2-2)p>c (n_1+n_2-1-p)/(n_1+n_2-2)p)
=P_(?_0 ) (?_((p,n_1+n_2-1-p) )>c (n_1+n_2-1-p)/(n_1+n_2-2)p)=?
بنابراین
c= (n_1+n_2-2)p/(n_1+n_2-1-p) ?_((p,n_1+n_2-1-p;1-?) )
در نتیجه فرض برابری بردارهای میانگین رد میشود اگر:
?^2>(n_1+n_2-2)p/(n_1+n_2-1-p) ?_((p,n_1+n_2-1-p;1-?) ) (2-1-2)
2-2- آزمون برابری ماتریسهای کوواریانس

برای اینکه آزمون گفته شده در بخش قبل معتبر باشد بایستی فرض برابری ماتریسهای کوواریانس برقرار باشد. بنابراین ابتدا با استفاده از روش نسبت درستنمایی فرض
?_0:?_1=?_2 vs ?_a:?_1??_2
را آزمون میکنیم.( Muirhead, 2005, p.291 )
فضای پارامتری تحت فرض صفر و در حالت کلی عبارت است از:
?={(?_1,?_2,?_1,?_2 ):?_i?R^p , ?_i is positive definite , i=1,2}
?_0={(?_1,?_2,?_1,?_2 ):?_i?R^p , ?_i=? is positive definite , i=1,2}
تابع درستنمایی عبارت است از:
L(?_1,?_2,?_1,?_2 )=?_(i=1)^2??(2?)^((-pn_i)/2) |?_i |^((-n_i)/2) exp{-1/2 ?_(j=1)^(n_i)??(y_ij-?_i )^’ ?_i^(-1) ?? ?
? (y_ij-?_i )}
بنابراین برآورد ماکزیمم درستنمایی ?_i و ?_i به صورت زیر میباشد:
? ?_i=Y ?_i , ? ?_i=1/n_i ?_(j=1)^(n_i)??(Y_ij-Y ?_i ) (Y_ij-Y ?_i )^’ ?=1/n_i A_i , i=1,2
در نتیجه
?sup?_? L(?_1,?_2,?_1,?_2 )=(2?)^((-(n_1+n_2 )p)/2) |? ?_1 |^((-n_1)/2) |? ?_2 |^((-n_2)/2) exp{(-(n_1+n_2 )p)/2}
اگر ?_1=?_2=? باشد، آنگاه
L(?_1,?_2,?,?)=?_(i=1)^2??(2?)^((-pn_i)/2) |?|^((-n_i)/2) exp{-1/2 ?_(j=1)^(n_i)??(y_ij-?_i )^’ ?^(-1) ?? ?
? (y_ij-?_i )}
بنابراین برآورد ماکزیمم درستنمایی ?_i و ? تحت فرض صفر به صورت زیر میباشد:
?? ?_i0=? ??_i=Y ?_i , i=1,2
? ?=1/(n_1+n_2 ) ?_(i=1)^2??_(j=1)^(n_i)??(Y_ij-Y ?_i ) (Y_ij-Y ?_i )^’=1/(n_1+n_2 ) (A_1+A_2 )=1/(n_1+n_2 ) A?
بنابراین
?sup?_(?_0 ) L(?_1,?_2,?,?)=(2?)^((-(n_1+n_2 )p)/2) |? ? |^((-(n_1+n_2 ))/2) exp{(-(n_1+n_2 )p)/2}
در نتیجه آماره آزمون عبارت است از:
?=(?sup?_(?_0 ) L(?_1,?_2,?,?))/(?sup?_? L(?_1,?_2,?_1,?_2 ) )=(|? ?_1 |^(n_1/2) |? ?_2 |^(n_2/2))/|? ? |^((n_1+n_2)/2) =((1/n_1 )^((pn_1)/2) |A_1 |^(n_1/2) (1/n_2 )^((pn_2)/2) |A_2 |^(n_2/2))/((1/(n_1+n_2 ))^(p(n_1+n_2 )/2) |A_1+A_2 |^((n_1+n_2)/2) )
=(n_1+n_2 )^(p(n_1+n_2 )/2)/((n_1 )^((pn_1)/2) (n_2 )^((pn_2)/2) ) (|A_1 |^(n_1/2) |A_2 |^(n_2/2))/|A_1+A_2 |^((n_1+n_2)/2)
بنابراین براساس آزمون نسبت درستنمایی فرض برابری ماتریسهای کوواریانس رد میشود اگر:
?=(n_1+n_2 )^(p(n_1+n_2 )/2)/((n_1 )^((pn_1)/2) (n_2 )^((pn_2)/2) ) (|A_1 |^(n_1/2) |A_2 |^(n_2/2))/|A_1+A_2 |^((n_1+n_2)/2) <?_0
و یا به صورت معادل
V=?^2 ((n_1 )^(pn_1 ) (n_2 )^(pn_2 ))/(n_1+n_2 )^p(n_1+n_2 ) =(|A_1 |^(n_1 ) |A_2 |^(n_2 ))/|A_1+A_2 |^(n_1+n_2 ) <c
قضیه 2-2-1: برای آزمون ?_0:?_1=?_2 در مقابل ?_a:?_1??_2، آزمون نسبت درستنمایی با ناحیه بحرانی بفرم V<c اریب است. (یک آزمون اریب است اگر توان آزمون کمتر از خطای نوع اولش باشد.)
اثبات: به منظور اثبات قضیه فوق فرض کنید ?_2=?_p و ?_1=? باشد به گونهای که ? یک ماتریس قطری است. در حالت خاص فرض کنید ماتریس ? به صورت ?=diag(?,1,…,1) باشد. همچنین ماتریسهای A_1 و A_2 را به صورت A_1=(a_ij^((1) ) )