_2=(a_ij^2 ) در نظر بگیرید. در این صورت
|A_1 |=a_11^((1) ) |A_22^((1) )-(a_1^((1) ) a_1^'(1) )/(a_11^((1) ) )| , |A_2 |=a_11^((2) ) |A_22^((2) )-(a_1^((2) ) a_1^'(2) )/(a_11^((2) ) )|
و
|A_1+A_2 |=(a_11^((1) )+a_11^((2) ) )|A_22^((1) )+A_22^((2) )-(a_1^((1) )+a_1^((2) ) )(a_1^'(1) +a_1^'(2) )/(a_11^((1) )+a_11^((2) ) )| .
بنابراین آماره V را میتوان به صورت زیر نوشت:
V=((a_11^((1) ) )^(n_1 ) (a_11^((2) ) )^(n_2 ))/(a_11^((1) )+a_11^((2) ) )^(n_1+n_2 ) Z
به گونهای که Z=(|A_22^((1) )-(a_1^((1) ) a_1^'(1) )/(a_11^((1) ) )|^(n_1 ) |A_22^((2) )-(a_1^((2) ) a_1^'(2) )/(a_11^((2) ) )|^(n_2 ))/|A_22^((1) )+A_22^((2) )-(a_1^((1) )+a_1^((2) ) )(a_1^'(1) +a_1^'(2) )/(a_11^((1) )+a_11^((2) ) )|^(n_1+n_2 ) است. در این صورت متغیر تصادفی Z از فاکتور اول در آماره V مستقل است و توزیعش به ? بستگی ندارد.زیرا به عنوان مثال فرض کنید A_22.1^((1) )=A_22^((1) )-(a_1^((1) ) a_1^'(1) )/(a_11^((1) ) ) و ?_1=[?(?&0^’@0&?_(p-1) )] باشند. در این صورت ?_22.1=?_(p-1) است و طبق قضیه 4 پیوست
A_22.1^((1) )~W_p (n-1,?_(p-1) )
و همچنین A_22.1^((1) ) از a_11^((1) ) نیز مستقل است.
متغیر تصادفی Y را به صورت Y=(a_11^((1) ))/(a_11^((2) ) ) در نظر بگیرید. در این صورت (?^(-1) (n_2-1)Y)/(n_1-1) توزیع ? با درجات آزادی n_1-1 و n_2-1 است. همچنین فاکتور اول آماره V را میتوان به صورت Y^(n_1 )/(1+Y)^(n_1+n_2 ) نوشت. بنابراین براساس لم 1 پیوست، یک عدد ثابت ? (?<1) وجود دارد بطوریکه
P( Y^(n_1 )/(1+Y)^(n_1+n_2 ) <k??^(-1) )<P( Y^(n_1 )/(1+Y)^(n_1+n_2 ) <k??^(-1)=1) , ??^(-1)?(?,1)
به دلیل کاستی آزمون نسبت درستنمایی بیان شده، بارتلت ( Bartlett ) در سال 1937 آماره آزمون اصلاح شده را به صورت زیر پیشنهاد داد. این آماره برای حالت i=2 عبارت است از:
?^*=(|A_1 |^((n_1-1)/2) |A_2 |^((n_2-1)/2))/|A_1+A_2 |^((n_1+n_2-2)/2) (n_1+n_2-2)^(p(n_1+n_2-2)/2)/((n_1-1)^(p(n_1-1)/2) (n_2-1)^(p(n_2-1)/2) )
و یا
V^*=?^* ((n_1-1)^(p(n_1-1)/2) (n_2-1)^(p(n_2-1)/2))/(n_1+n_2-2)^(p(n_1+n_2-2)/2) =(|A_1 |^((n_1-1)/2) |A_2 |^((n_2-1)/2))/|A_1+A_2 |^((n_1+n_2-2)/2)
قضیه 2-2-2: برای آزمون ?_0:?_1=?_2 در مقابل ?_a:?_1??_2 آزمون نسبت درستنمایی اصلاح شده با ناحیه بحرانی بفرم V^*<k نااریب است. (اثبات: Muirhead, 2005, p.299)
2-2-1- توزیع مجانبی آماره ?^*
در این قسمت توزیع مجانبی آماره ?^*، زمانیکه اندازه نمونه بزرگ است را به دست میآوریم. بدین منظور فرض کنید
n_i-1=k_i (n_1+n_2-2) , i=1,2
باشد به گونهای که k_1+k_2=1 است. همان طور که از قبل میدانیم، تحت فرض صفر(برابری ماتریسهای کوواریانس)، برای اندازه نمونه بزرگ، -2 log???^* ? دارای توزیع کای اسکور با درجه آزادی برابر با تفاضل تعداد پارامترهای مستقل در فضای پارامتری و تعداد پارامترهای مستقل تحت فرض صفر، دارد. یعنی درجه آزادی f برابر است با:
f=2[p+p+1/2 (p^2-p)]-[2p+p+1/2 (p^2-p)]=1/2 p(p-1)
حال در این قسمت تعدیلی از آماره قبل یعنی -2? log???^* ? را در نظر میگیریم و ? را در ادامه معرفی میکنیم. برای بیان توزیع مجانبی، ابتدا حالت کلی را بررسی میکنیم و سپس حالت خاص یعنی توزیع مجانبی ?^* را مورد مطالعه قرار میدهیم. ( Muirhead, 2005, p.303 )

متغیر تصادفی Z , (0?Z?1) با گشتاورهایی بفرم زیر را در نظر بگیرید:
?(Z^h )=K[(?_(j=1)^m?y_j^(y_j ) )/(?_(k=1)^q?x_k^(x_k ) )]^h (?_(k=1)^q??[x_k (1+h)+?_k ] )/(?_(j=1)^m??[y_j (1+h)+?_j ] ) (2-2-1)
جاییکه
?_(j=1)^m?y_j =?_(k=1)^q?x_k (2-2-2)
و K یک عدد ثابت است به گونهای که ?(Z^0 )=1 است. با توجه به رابطه (2-2-1) تابع مشخصه -2? log?Z زمانیکه 0???1 است برابر است با
?(t)=?[exp(-2it? log?Z )]=K[(?_(j=1)^m?y_j^(y_j ) )/(?_(k=1)^q?x_k^(x_k ) )]^(-2it?) (?_(k=1)^q??[x_k (1-2it?)+?_k ] )/(?_(j=1)^m??[y_j (1-2it?)+?_j ] )
فرض کنید
?_k=(1-?) x_k , ?_j=(1-?) y_j (2-2-3)
باشد. تابع مولد انباشتک (Cumulant generating function) -2? log?Z عبارت است از:
?(t)=log???(t)=g(t)-g(0)? (2-2-4)
به گونهای که
g(t)=2it?[?_(k=1)^q??x_k log??x_k ? ?-?_(j=1)^m??y_j log??y_j ? ?]+?_(k=1)^q?log??[?x_k (1-2it)+?
? ?_k+?_k ]-?_(j=1)^m?log??[?y_j (1-2it)+?_j+?_j ]
و -g(0)=log?K است. حال بسط تابع لگاریتم گاما را به صورت زیر در نظر بگیرید:
log??(z+a)=(z+a-1/2) log?z-z+1/2 log?2?+(B_2 (a))/(1×2) z^(-1)+…
+(-1)^(l+1) (B_(l+1) (a))/l(l+1) z^(-1)+?(z^(-l-1) ) (l=1,2,…,|argz|<?) (2-2-5)
در رابطه ( 2-2-5 )، B_j (a) چند جملهای برنولی از درجه j است که به صورت ضریب z^j/j! در بسط ze^az (e^z-1)^(-1) تعریف میشود. یعنی
ze^az (e^z-1)^(-1)=?_(j=0)^???B_j (a) z^j/j!? (|z|<2?) (2-2-6)
بنابراین با استفاده از روابط گفته شده، ?(t) به صورت زیر نوشته میشود:
?(t)=-1/2 f log?(1-2it)+?_(?=1)^l???_? [(1-2it)^(-?)-1] ?+?(n^(-l-1) )
(2-2-7)
جاییکه
f=-2[?_(k=1)^q??_k -?_(j=1)^m??_j -1/2 (q-m)] (2-2-8)
و
?_?=(-1)^?/?(?+1) [?_(k=1)^q?(B_(?+1) (?_k+?_k ))/(?x_k )^? -?_(j=1)^m?(B_(?+1) (?_j+?_j ))/(?y_j )^? ] (2-2-9)
با در نظر گرفتن l=1 و با توجه به اینکه B_2 (a)=a^2-a+1/6 میباشد، تابع مولد انباشتک -2? log?Z به صورت زیر محاسبه میشود:
?(t)=-1/2 f log?(1-2it)+?_1 [(1-2it)^(-1)-1]+?(n^(-2) )
به گونهای که f در رابطه ( 2-2-8 ) صدق میکند و
?_1=1/2? {-(1-?)f+?_(k=1)^q??x_k^(-1) (?_k^2-?_k+1/6) ?-?_(j=1)^m??y_j^(-1) (?_j^2-?_j+1/6) ?}
میباشد. حال فرض کنید ? را به صورت زیر در نظر بگیریم:
?=1-1/f [?_(k=1)^q??x_k^(-1) (?_k^2-?_k+1/6) ?-?_(j=1)^m??y_j^(-1) (?_j^2-?_j+1/6) ?] (2-2-10)
در این صورت ?_1=0 است و در نتیجه ?(t)=-1/2 f log??(1-2it)+?(n^(-2) )? میباشد. بنابراین با توجه به اینکه ?(t)=(1-2it)^(-1/2 f)+?(n^(-2) ) است، نتیجه میگیریم:
P[-2? log?Z<x]=P[?_f^2?x]+?(n^(-2) ) (2-2-11)
اگر l=2 باشد، مشابه قبل با استفاده از رابطه ( 2-2-7 ) تابع مولد انباشتک عبارت است از:
?(t)=-1/2 f log?(1-2it)+?_2 [(1-2it)^(-2)-1]+?(n^(-3) )
و در نتیجه
P[-2? log?Z<x]+P[?_f^2?x]+?_2 [P(?_(f+4)^2?x)-P(?_f^2?x)]+
?(n^(-3) ) (2-2-12)
حال به بررسی توزیع مجانبی ?^* در آزمون ?_0:?_1=?_2 میپردازیم. با توجه به قضیه 5 پیوست، تحت فرض صفر گشتاور h- ام آماره ?^* عبارت است از:
?(?^(*^h ) )=(n_1+n_2-2)^(ph(n_1+n_2-2)/2)/((n_1-1)^(ph(n_1-1)/2) (n_2-1)^(ph(n_2-1)/2) ) ?(V^(*^h ) )
K[(?_(j=1)^p?[1/2 (n_1+n_2-2)]^(((n_1+n_2-2))/2) )/(?_(j=1)^p??_(i=1)^2?[1/2 (n_1+n_2-2) k_i ]^(((n_1+n_2-2) k_i)/2) )]^h (?_(i=1)^2??_(j=1)^p??[1/2 (n_1+n_2-2) k_i (1+h)-1/2 (j-1)] )/(?_(j=1)^p??[1/2 (n_1+n_2-2)(1+h)-1/2 (j-1)] )
(2-2-13)
اگر رابطه فوق را با رابطه ( 2-2-1 ) مقایسه کنیم، متوجه میشویم که m=p، q=2p، y_j=1/2 (n_1+n_2-2)، ?_j=-1/2 (j-1)، x_k=1/2 (n_1+n_2-2) k_i برای k=(i-1)m+1,…,im(i=1,2) و ?_k=-1/2 (j-1) برای
k=j,p+j(j=1,…,p) است.
با استفاده از رابطه ( 2-2-8 )، f=1/2 p(p+1) به دست میآید که با مقدار f که در ابتدای بحث به دست آوردیم برابر است. همچنین با استفاده از رابطه ( 2-2-10 )
?=1-(2p^2+3p-1)/6(n_1+n_2-2)(p+1) ((n_1+n_2-2)/(n_1-1)+(n_1+n_2-2)/(n_2-1)-1) (2-2-14)
به دست میآید. با توجه به روابط ( 2-2-12 ) و ( 2-2-9 ) و چند جملهای برنولی، ?_2 عبارت است از:
?_2=p(p+1)/(48[(n_1+n_2-2)?]^2 ) {(p-1)(p-2)((n_1+n_2-2)^2/(n_1-1)^2 +(n_1+n_2-2)^2/(n_2-1)^2 -1)-?
? 6(n_1+n_2-2)^2 (1-?)^2 } (2-2-15)
حال M و ? را به صورت زیر تعریف میکنیم:
M=?(n_1+n_2-2)=(n_1+n_2-2)-(2p^2+3p-1)/6(p+1) ((n_1+n_2-2)/(n_1-1)+(n_1+n_2-2)/(n_2-1)-1) (2-2-16)
?=M^2 ?_2=p(p+1)/48 {(p-1)(p-2)((n_1+n_2-2)^2/(n_1-1)^2 +(n_1+n_2-2)^2/(n_2-1)^2 -1)-?
? 6(n_1+n_2-2)^2 (1-?)^2 } (2-2-17)
فرض کنید W=-2? log???^* ? و W_0 مقدار مشاهده شده W باشد.
قضیه 2-2-3: در صورت درست بودن فرض ?_0:?_1=?_2، توزیع W با فرض بزرگ بودن M عبارت است از:
P(W?W_0 )=P(?_f^2?W_0 )+?/M^2 [P(?_(f+4)^2?W_0 )-P(?_f^2?W_0 )]+
?(M^(-3) )
به گونهای که ? و M به ترتیب در روابط ( 2-2-17 ) و ( 2-2-16 ) تعریف شدهاند و f=1/2 p(p+1) میباشد.
اثبات: با توجه به روابط ( 2-2-12 ) و ( 2-2-17 ) قضیه فوق به راحتی اثبات میشود.
همان طور که در قضیه ( 2-2-2 ) گفته شد، آزمون نسبت درستنمایی اصلاح شده با ناحیه بحرانی بفرم