ت نگهداری محصول i در مرکز توزیع kدر دوره t N jkt: ظرفیت حمل محصول از کارخانه j به مرکز توزیع k در دوره t Dikt: تقاضا برای محصول i از طرف مرکز توزیع k در دوره t
PTij: زمان فرایند تولید هر واحد محصول i در کارخانه j STijk: زمان مورد نیاز برای حمل محصول i از کارخانه j بـهمرکز توزیع k DTikt: زمان تحویل محصول i از مرکز توزیع k در دوره t f ijt: سطح کیفیـت محصـول i در کارخانـه j در دوره t(منظـورمیزان پیروی از نیاز مشتری، در تولید کردن محصول است) µij: نسبت رشد سطح کیفیت محصول i در کارخانه j

۲ -۴ متغیرهای تصمیم Xijt: مقدار محصولi که در کارخانهj در دوره t تولید می شود.
Yijkt: مقدار محصول i که به مرکز توزیع k از کارخانه j در دوره tتحویل داده میشود.
Iikt: میزان موجودی محصول i در مرکز توزیع k در پایان دوره t این صورت برابر صفر است.
Uikt: مقدار محصول i که توسط مرکز توزیع k در دوره t توزیع میشود. Rikt: میزان تقاضای محصول i که از مرکز توزیع k در دوره t برآورده نمیشود.

٢ -۵ مدل ریاضی مدل ریاضی مسئله، با استفاده از معادله های (۱) الی (۱۲) ارائـهشدهاست:
TIKTIJK
MAX Z1 =∑∑ ∑pit Uikt − {∑∑∑∑ctijkt Yijkt + t 1i 1= = k 1= t 1i 1j 1k 1= = = =
IJTIJTIK
∑∑cv Zijij +∑∑∑cpijt Xijt +∑∑∑chikt Iikt +
i 1j 1= =t 1i 1j 1= = =t 1i 1k 1= = =
TIKTIK ∑∑∑coikt Uikt +∑∑ ∑cs itRikt}
t 1i 1k 1= = =t 1i 1= =k 1=
TIJ (۱)
MAX Z2

fij0 et ijµ Xijt (٢)
s.t.: Iikt M i, k ,t ≤ ikt∀ (٣)
PT Xijijt + ST Yijkijkt ≤DT i,j, k ,ikt∀t
I (۴)
∑Yijkt N≤ jkt j, k,t ∀ i 1=
J (۵)
254001-32692

IiktIikt 1YijktUikt i,k,t (۶) j 1
Rikt = Rikt 1− + Dikt − Uikt i, k ,t∀
K (٧)
∑Yijkt = Xijt i, j ,t ∀ k=1
J (٨)
∑Yijkt = Uikt i, k,t∀ j 1= (٩)
1 if Xijt > 0
Zij =0 if Xijt = 0
 (۱۰)
Xijt ≤ M Z i, j ,tij∀ (١١)
Xijt , Yijkt , Uikt , Rikt , Iikt ≥ 0 i, j, k,t∀ (١٢)
تابع هدف در معادله (۱)، سود زنجیره را نشان می دهد و از
کم کردن هزینههایی از جمله هزینه حمل محصول به مرکـزتوزیع، هزینه کارخانه جهت تولید محصـول، هزینـه تولیـدمحصول در کارخانه، هزینه نگهداری محصول توسط مرکـزتوزیع، هزینه مرکز توزیع جهت ارسـال محصـول و هزینـه کمبود محصول از درآمد حاصل میشود. معادله (۲) بیـانگرسطح کیفیت محصول میباشد. کیفیت محصول وابسـته بـهزمــان و کارخانــه ای اســت کــه محصــول در آن تولیــدمی شود. 0f ij سطح کیفیت در اولـین دور ه اجرایـی را نشـانمی دهد. محدودیت ظرفیـت سـطح موجـودی در هـر دوره
زمانی با استفاده ازمعادله (۳) ارائه شـده اسـت . معادلـه (۴) محدودیت زمان تحویـل را تضـمین مـیکنـد . محـدودیت ظرفیت حمل به مراکز توزیع در دورهای زمانی با استفاده از معادله (۵) بیان شده است. معادله (۶) تـوازن موجـودی درمراکز توزیع را نشان میدهد. باید مقدار محصـولی کـه بـهمرکز توزیع وارد میشود با مقـدار محصـولی کـه از مرکـزتوزیع خارج میشود برابر باشـد . تـوازن سـطح پـس افـتمحصول در هر دوره زمانی با استفاده از معادلـه (۷) نشـانداده شده است. معادله(٨) ضمانت می کند که هیچ موجودی در کارخانجات باقی نمی ماند و تمام محصولات در هر دوره زمانی به مراکز توزیع حمل می شوند. معادله (٩) بیان می کند که باید مقدارمحصولی که از مرکز توزیع ارسال می شـود بـامقدار محصولی که از کل کارخانجات به مرکز توزیع حمل می شود، برابر باشد. معادله(۱۰) بیانگر ایـن اسـت کـه اگـرمحصولi در کارخانه j تولید شود متغیر مربوطه یـک و در غیر این صورت صفر می باشد. از آنجائی که حالت های مربوط به متغیرZij ، بعد از تولید شدن متغیر Xijt ، بررسی میشود اگر مقدار متغیر Xijt در کل دوره زمانی مثبت باشد (یعنـیمحصولi در کارخانهj تولید شده اسـت ) آنگـاه متغیـرZij مربوطه یک است ودر غیر این صورت مقدار متغیر Zij صفر میباشد، معادله (١١) ارتباط میان متغیرZij را با میزان تولیـد در هر دوره نشان میدهد و M، یک عدد بسیار بزرگ است.
متغیرها نشـان دهنـده میـزان محصـولی کـه تولیـد وتوزیـعمی گردد، هستند لذا مقادیر کوچـک تـر از صـفر بـرای آنهـابی معنی خواهد بود. این موضـوع بـا معادلـه (۱۲) تضـمینمی شود.

۳ – الگوریتم تکامل تفاضلی پیشنهادی
الگوریتم فـر ا ابتکـاری تکامـل تفاضـلی ١٨(DE) یـ ک روش محاسباتی تکاملی مبتنی بر جمعیت جواب ها اسـت . ماننـدسایر الگوریتم هـای فـرا ابتکـاری، الگـوریتم مـذکور ابـزاربهینه سازیی است که میتواند بـرای حـل انـواع مختلفـی ازمسایل بهینهسازی تک هدفه روی فضای پیوسته بهکار گرفته شود. این الگوریتم نسخه توسعه یافتهای از الگوریتم ژنتیک (گلدربرگ۱۹، ۱۹۸۹) برای بهینه سازی سریع تـر اسـت [۱۷].
نخستین بار مفهوم الگوریتم تکامل تفاضلی روی فضاهای -پیوسته۲۰ توسط اسـترن و پـرایس۲۱ در سـال ۱۹۹۵ مطـرحگردیدهاست. روشی آسان و قوی است که بـه تعـداد کمـیمتغیرهای کنترلی نیاز دارد و با بررسی های زیاد ثابت شده که همگرایی سریع تـری نسـبت بـه دیگـر روش هـا دارد [۱۸]. مسائلی که بهینهسازی سراسری روی فضای پیوسته را شامل میشوند ویژگی هـای مشخصـی از یـک سیسـتم را توسـطانتخاب سیستم پارامتر، بهینه میسـازند ؛ کـه بـرای راحتـی،جواب های یک سیستم معمو ﹰلا به صورت یک بـردار ارائـهمی شوند.
الگوریتمDE یک روش تکـاملی اسـت کـه ازN بـردارجواب D بعدی۲۲، Xi,T، به عنـوان یـک جمعیـت بـرای هـرنسل۲۳ (تکرار) استفاده می کند. منظـور از یـک تکـرار، ایـناست که عمل موردنظر برای تمام N عضو جمعیـت انجـام
شــود. Xi,T بــرداری از متغیرهــای تصــمیم مــی باشــد کــه نشان دهنده عضو انتخابی iام در جمعیت در تکرار Tام است.
N در طول فرایند مسئله تغییر نمیکند و یک عـدد صـحیحمیباشد. ساختار کلی الگوریتم تکامل تفاضـلی در شـکل ۲ ارائه شده است.
ابتدا جمعیتی از بردارها به صورت تصادفی انتخاب می شوند که باید تمام فضای جواب را بپوشـاند . یـک توزیـع یکنواخـت رابرای انتخاب تصادفی فرض مـی کنـیم . هـر بـردار از جمعیـت،یک بار به عنوان بردار هدف مطرح مـی شـود بنـابراینN امکـانرقابتی در یک نسل وجود دارد. سپس سـه انـدیس بـه صـورتتصادفی از میان جمعیت جواب ها انتخاب میشوند تا با استفاده از اپراتور جهش و ترکیب جواب جدید ساخته شود و درنهایت با ارزیابی جواب ها، معلوم میشود که کدام جواب به نسل بعـد منتقل میشود.
مراحل الگوریتم تکامل تفاضلی به صـورت زیـر شـرح دادهمی شود:
۱. یک جمعیت ازجواب ها به صورت تصادفی تولید می شوند.
۲. انتخاب سه اندیس از میان جمعیت به طور تصادفی
۳. اپراتور جهش به صورت زیر اعمال میشود:
برای هر بردارهدف Xi,T، یک بردار تغییرپذیر، 1+Vi,T بـر طبـقرابطه (١۴) تولید میشود. 1+Vi,T نشان دهنده جـواب جدیـدیاست که در تکرار T+1ام متناظر با عضـوi ام جمعیـت، توسـطعملگر جهش تولید شدهاست.

رابطه (١٣) بیان می کند که i از ١ تا N تغییر میکند یعنی در این روش N تا جواب (بردار) اولیه داریم. i نشان دهنده شـمارهجواب ها است، یعنی از بین N جوابی که داریم هربار چنـدمینجواب، در لیست مورد نظر می باشد:
i =1,2…,N (۱۳) Vi,T 1+ = Xr ,1 T + F.(Xr T2, −Xr T3, ) (۱۴) r r1 , 2 , r3 ∈{1,2,…,N} (۱۵)
3r r1 , 2 , r اندیس های تصادفی وصحیح میباشند و ۰ F > است:
F∈[0,1] (۱۶)
F یـک ضـریب ثابـت و حقیقـی اسـت تـا افـزایش اخـتلاف
(Xr 2,T −Xr3,T) را کنترل کند. در واقع جواب های جدید را با اضافه کردن اختلاف بین دو بـردار از جمعیـت بـه بـردار سـومتولید میکند. شکل۳ یک مثال از تابع دو بعدی را بـرای تولیـد
1+vi,T توسط اپراتور جهش نشان میدهد.
۴. اپراتور ترکیب به صورت زیر اعمال می شود:
377951-5269670

ع
و
شر

ه
ی
ل
او

ت
ی
ع
جم

ید
ل
تو
به

ی
دف
ا
تص

ت
ر
صو

س
ی
اند

سه

ب
ا
خ
انت
ا
می

از

ت
ی
ع
جم

ن
به

ی
دف
ا
تص

ت
ر
صو

ی
ا
ه
ر
گ
ل
عم

ل
ا
م
اع

ش
جه

و

ب
ی
ک
تر
ی
ل
تو

ت
جه
ب
ا
جو

د

د
ی
جد

ی
گ
ست
ی
شا

ی
ب
ا
ارزی
د
ی
جد

ب
ا
جو

ف
ق
تو

ط
شر

ا
آی

ه
شد

ه
د
ر
و
آ
بر
؟
ت
اس

ن
ا
ی
پا

  • 2