تأثیرگذار می باشد. در مطالعـات انجـام شـده توسـط گـوردن وویکسوم [٢۵] به منظـور همـوار کـردن تـابع درونیـابی 1α > درنظر گرفته شده است.rj فاصله بین نقطهx و نقطهxj است که در فضای دو بعدی به صورت زیر تعریف می شود:
rj = (x−x )j 2 +(y−y )j 2

(۳)
معادله (٢) به فرم ماتریسی زیر بازنویسی می شود: (۴) u(x) = F .Us
Us بردار مقادیر گره ای مربوط به گر ههای مجاور نقطهx وF توابع شکل شپارد برای N گره محلی است:
Us =[u ,u ,…,u1 2 N ]T (۵) F (x) = Φ[ 1(x),Φ2(x),…,ΦN (x)] (۶) :به صورت زیر تعریف می شود Φi (x) که
∏rjα
Φ

(x) = Nj =1,2,…,N (۷)
∑∏rjα
i 1= j i≠

شکل١ – مدلسازی هندسی دامنه مسئله شکل٢ – دامنه تکیه گاهی نقطه x

توابع شکل شپارد دارای دو خاصیت منحصر به فرد هستند کـهدر تحلیل حدی مرز پایین بسیار مفید هستند. خاصیت اول دارا بودن خاصیت دلتای کرانیکر٢٧ است که اعمال شرایط مـرزی راساده می سازد و خاصیت دوم، که از اهمیت بیشتری برخـورداراست، ارضای اصل حداکثر می باشد [ ٢۴]. براسـاس ایـن اصـلکلیه مقادیر درونیابی شده توسط روش شپارد بین مقادیر گر های حداقل و حداکثر قرار می گیرند. اصل حداکثر در ارضای شرایط عدم تسلیم کاربرد دارد که در بخش های آینـده بـه آن پرداختـهمی شود.

۴ – فرمو لبندی تحلیل حدی عددی مرز پایین
همان طور که پیش از این اشاره شـد، میـدان تـنش مجـاز بایـدتعادل و شرایط مرزی را برای کل دامنه به صـورت کامـل ارضـانماید و وضعیت تنش در هیچ نقطه ای از دامنه از معیـار تسـلیمتجاوز نکند. از طرفی با توجه به رابطه (۴) و با در نظـر گـرفتناین واقعیت که در تحلیل حد پایین متغیر میـدانی تـنش اسـت ، می توان مقدار تنش در هر نقطه را به وسیله توابع شکل به مقادیر تنش گره ای ارتباط داد و به عبارتی می توان مجزاسـازی میـدانتنش پیوسته را توسط روش شپارد براساس رابطه زیر به انجـامرساند:

(۸)
(σij (x مقدار تنش در مختصات فضاییΦz(x) ، x تابع شـکلتعریف شده در رابطـه (7) و (σij (xz مقـدار تـنش گـره ای در مختصات فضاییxz می باشند.K نیز مجموعه گـره هـای قـرار گرفته در دامنه تکیه گاهی نقطهx می باشد.
در ادامه نحوه ارضـای معـادلات تعـادل، شـرایط مـرزی وشرایط عدم تسلیم برای کل دامنه به تفصیل بیان می گردد.

۴ -١ – ارضای معادلات تعادل
برای ایجاد یک میدان تنش مجـاز اسـتاتیکی، تـنش در سراسـردامنه مسئله باید از معادلات تعادل پیروی کند:
∂σij

∂x j + bi = 0 (۹)
σij وbi به ترتیب مؤلفه هـای تانسـور تـنش و نیـروی حجمـی
هستند. ارضای معادله (٩) در گره ها، به معنای ارضای تعادل در همه نقاط دامنه نمی باشد. از ایـن رو، یـک سـلول ورونـویی٢٨ اطراف هر گره ساخته می شود (شکل٣) و مشـتق تـنش در هـرسلول هموار می گردد. به عبارت دیگر هر سلول ورونویی یـکگره را نمایندگی می کند و هموارسـازی مشـتق تـنش در واقـعارضای رابطه به صورت میانگین در کل سلول ورونویی است. از طرفی، با توجه به اینکه اجتماع سلول های ورونویی کل دامنه را پوشش می دهد، در واقع روابـط تعـادل بـه صـورت متوسـط درتمامی نقاط محیط ارضا می گردد.
مشتق تنش در سراسر سلول به صورت زیر هموار می گردد:
9448899592

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

78028899592

∂σij = ∫ΩL Ψ ∂σ∂xijj dΩ (۱۰)
∂xj

شکل٣ – تشکیل سلول ورونویی در اطراف هر گره شکل۴ – سلول ورونویی اطراف نقطه q

بهطوری کهΨ ، σij وΩL بـه ترتیـب تـنش همـوار شـده، تـابعهموار کننده و دامنه سلول ورونویی می باشند. در مطالعات چن و همکاران [٢۶] تابع هموار کننده به صورت زیـر معرفـی شـ ده است:


A1Lx∈AL (۱۱)
Ψ = 0x∉AL
AL مســاحت ســلول ورونــویی اســت. بــا اســتفاده از تــابع هموارکننده چن و همکـاران و بـا قضـیه دیـورژ انس٢٩، معادلـه
(١٠) به صورت زیر ساده تر می شود:
103632114490

∂σij = 1 ∫ σijn dj Γ (۱۲)
∂xjAL ΓL
ΓL مرز سلول ورونویی وnj بـردار واحـد نرمـال در جهـتj می باشد، که در شکل(۴) نشان داده شده اند.
بـا جـای گـذ اری رابطـه (١٢) در رابطـه (٩) معادلـه تعـادلبه صورت زیر تعریف می شود:

A1L Γ∫L σijn dj Γ + bi = 0 (۱۳)
با ارضای رابطه (١٣) در هر سلول ورونویی، شرط تعادل در کل دامنه ارضا خواهد شد؛ سپس مجزا سازی معادلات تعادل توسط روش بدون شبکه شپارد، با جـای گـذاری رابطـه (٨) در رابطـه
(١٣) انجام می شود:

(۱۴)
z KΓL
و در نهایت با در نظر گرفتن کلیه گره های تعریف شده در دامنه مسئله، معادله (١۴) به فرم ماتریسی زیر نوشته می شود:
Aeqs = Beq (۱۵) که
Aeq =[A1A2 …AM]T (۱۶)
Beq = [B1B2 …BM ]T (۱۷)
s = [s1 s 2… s M ]T (۱۸)
در روابط بالا،M تعداد کل گره های سازنده هندسه مسئله است.
در شرایط کرنش صـفحه ای بـردار تـنش هـا ی گـره ای (si ) و نیرو های حجمی (Bi ) به صورت زیر می باشند:
s i = σ[ 11(xi ) σ22(xi ) σ12(xi )]T (۱۹) Bi =[b1i b2i]T (۲۰)
کهb1i وb2i به ترتیب نیروی حجمی وارد بر گره i در جهت ۱ و ۲ هستند. ماتریس های 1A تا AM به گره های قرار گرفته در دامنه تکیه گاهی گره های ١ تا M بستگی دارند. با فـرض اینکـهگره های s ،r و t در دامنه تکیـ هگـاهی گـرهi قـرار گرفتـه انـد ،
ماتریسAi به صورت زیر تعریف می شود:
Ai =[0 … 0 Are 0 … 0 Ase 0 … 0 Aet 0 … 0]
(۲۱)
Aem = A0em1A0em2AAmeem12  (۲۲)
به منظور محاسبه 1Aem و 2Aem باید از یک تکنیک انتگرال گیری عددی استفاده کرد. در اینجـا بـا اسـتفاده از روش ذوز نقـه ای٣٠ ابر ی هر قطعه در شکل ۴ ، 1Ame و 2Aem به صورت زیر به دست آمده است:
Ns
Aem1 =

A1 Φm (xqD )n1D L2D +Φm (xqD 1+ )n1D L2D  L D 1=
Ns
Aem2 =

A1L D 1∑= Φm (xqD )n2D L2D +Φm (xqD 1+ )n2D L2D 
Abos =Bbo (۲۷)
(۲۳)
که در این روابط،Ns تعداد کل ضلع های سلول ورو نـویی مربـوطبه گره xDq ، q و1+xqD دو نقطه انتهـا یی ضـلع مـرزیΓDk وLD طولΓDk هستند.n1D و 2nD نیز به ترتیـ ب طـول م ؤلفـه هـا ی بـردارنرمال وارد بر ضلعΓDk در جهت ۱ و ۲ می باشند.

۴ -٢ – ارضای شرایط مرزی
در مباحث مربوط به تحلیل حدی مـرز پـایین، شـرایط مـرزیشامل تنش ها است، به طوری که میتـوان در مرزهـای مختلـف،شرایط را به صورت زیر بیان کرد:
στ =n =constantconstant (۲۴)
کهσn وτ به ترتیب تنش هـای نرمـال و برشـی در طـول لبـهمرزی می باشند. با توجه به ثابت بودن تنش ها مـی تـوان مشـتقتنش را در راستای مربوطه در سلول های ورونویی مـرزی برابـرصفر قرار داد و با توجه به خاصیت دلتای کرانیکر بـرای توابـعشکل شپارد، به سادگی شرط تنش ثابت بر سـلول هـای مـرزیاعمال می شود. با فرض ثابت بودن تنش در راستای j و با در نظر گرفتن رابطه (١٢) خواهیم داشت:
10363256144

∂σ∂xnj = A1LB Γ∫B σnn dj Γ = 0
∂∂τx=

A1 ∫ τn dj Γ = 0 (۲۵)
jLB ΓB
کهALB وΓB مربوط به سلول ورونویی گره مرزی مـی باشـند .
برای برنامه ریزی عددی لازم است که فـرم مجـزا شـده روابـط(٢۵) ایجاد گردد. از اینرو با جای گذاری معادلـه (٨) در معادلـه
(٢۵) داریم:
z K∑∈ B

A1LB Γ∫B Φz (x)σn (x )n dzj Γ = 0
(۲۶) که Abo ماتریس ضرایبی اسـت کـه از اعمـال رابطـه (۲۶) بـه سلول های ورونویی مرزی مسئله به دست می آید و Bbo بـردارمرتبط با مقادیر مشخص تن شها در طول مرز می باشد.

۴ -۳ – شرط تسلیم
یکی از خصوصیات منحصر به فرد تابع شـپارد برخـورداری از اصل حداکثر است. براسـاس ا یـن اصـل ، بـرا ی همـه نقـاط xj کـه j = 1,2,…, N مقـاد یر تـابع ( )u x توسـط حـداکثر مقـدارگره ای (max(u )j ) از بالا و حداقل مقدار گـره ای (min(u )j ) از پایین محدود شده است. این ویژگی را می توان به صورت زیر بیان کرد: (٢٨) let Mm ≤=u xmax(u ) , m( ) ≤jM = min(u ) thenj
با توجه به اینکه متغیر میندا ی در روش پیشنهادی در این مقالـه،تنش ها می باشند؛ بنابراین با در نظر گرفتن اصل حداکثر، مقـاد یر درون یـابی شـده توسـط روش شـپارد همـواره بـین حـداقل و حداکثر تنش های گره ای واقع می شوند. از اینرو اگر کنترل عدم تجاوز از میدان تسلیم برای میدان تنش درون یابی شـده توسـطروش شپارد تنها در گره ها صورت گیرد، متضـمن ارضـا شـرطعدم تسلیم در کل نقاط دامنه خواهد بود.
در مقاله حاضر از معیار تسلیم مـور -کولمـب ٣١ در شـرایطکرنش مسطح استفاده شده است. ایـ ن معیـ ار در فضـا ی (2,1) به صورت زیر تعریف می شود:
295656-53615

F =(σ11 −σ22)2 + σ4 122 + σ( 11 +σ22)sinφ−2ccosφ
(٢٩)
به طوری که،c وφ به ترتیب چسبند گی و زاویه اصطکاک خـاکمی باشند. شرط لازم برای مجـاز بـودن میـدان تـنش بـه لحـاظخمیری آن است که:
F ≤ 0 (٣٠)
در واقع این شرطی است که برای وضـعیت تـنش هـا ی گـره ای باید برقرار باشد تا میدان تـنش در نظـر گرفتـه شـده بـه لحـاظخمیری سازگار باشد.
۵ – تشکیل مسئله بهین هیابی
در قسمت های قبل شرایط تشکیل میدان تنش مجاز بیان گردید.
این میدان تنش ناشی از یک تحریک خارجی است که در