θ=π(1+η) (١)

٣- درونیابی میدانهای جابه جایی و توابع شکل
327676833632

میدانهای جابهجایی در میان تار ورق دارای دو مؤلفه مستقلجابه جایی w,u به ترتیب در امتدادهای, z, r هستند که به شکل زیر بیان میشود (٢) Up = u w T با استفاده از توابع درونیابی مناسب، میدان جابهجایی به صورتزیر درونیابی می شود
n u

Nui uˆi
n (٣)
w =∑ Nwi wˆ i
=i 1 که در روابط فوق ˆ ˆw,u مختصات تعمیم یافته نامیده می شـوند .
همچنـین Nui توابـع شـکل داخـل سـطح و Nwi توابـع شـکل خ ارج س ـطحاند. در ادام ه رابط ه (٣) به ش کل ماتریسی زیر
⎨⎧ ⎫wu⎬=∑n ⎡⎣⎢N0uiN0wi ⎤⎥⎦⎨⎩⎧wuˆˆii ⎬⎭⎫ (۴)
⎩ ⎭i 1=
و یا به صورت زیر بازنویسی میشود
n
Up =∑ Ni ∆i (۵)
=i 1 همچنین در حالت کلی می توان نوشت (۶) ∆Up = N
توابع شکل بهکار رفته در خارج از سـطح در جهـت شـعاعیξ شامل ده تابع چند جملهای بوده که چهـار تـابع اول آن، توابـع هرمیت درجه سه هستند که در شرایط مـرزی مختلـف، ممکـناست تعدادی از آنها حذف شوند. شش تابع دیگـر نیـز از نـوعتوابع شکل طبقاتیاند که در مختصات طبیعی از فرمول کلی زیرتبعیت میکنند.
r
664464-109914

N ( )r ξ =∑2 ( 1) (2− nnr −2n −7)!!( )ξ r 2n 1− − (٧)

توابع شکل بهکار رفتـه در داخـل سـطح در جهـت شـعاعی ξ شامل ده تابع چنـد جملـهای بـوده کـه دو تـابع اول آن، توابـعلاگرانژ مرتبه اول بوده کـه در شـرایط مـرزی مختلـف، ممکـناست یکی از آنها حذف شود. هشت تابع دیگر نیز از نوع توابعشکل طبقاتی اند[٢٨].

۴- فرمولبندی مسئله بر اساس روش ریلی- ریتز
۴-١- کمانش

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

انـرژی کرنـشی ناشـی از خمـش ورق بـا شـعاع داخلـی a وخارجی b را می توان به صورت زیر بیان کرد[٢] (٨) Ub =

12 ∫∫A κTDb κ dA
که در آنDb ماتریس تنش کرنش مسئله ورق بوده که به شـکلزیر نوشته می شود:
Db = 12(1

Et−ν3 2) ⎡⎢⎣ν1 ν1⎤⎥⎦ (٩)
که ν ضریب پواسون و t ضخامت ورق و E مـدول الاستـسیتهمیباشد. همچنین بردار انحنا در میان صفحه ورقκ به صورتروابط زیر ارائه میشود
⎡∂2⎤


⎧κr ⎫ ⎢0∂r2⎥⎧ ⎫u κ =⎨⎪⎪κ ⎪⎬=⎢⎢⎥⎥⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪w (١٠)


85802869342

⎩ θ⎭ ⎢⎢01r ∂∂r + r12 ∂θ∂22 ⎥⎥⎦⎩ ⎭
⎣با جاگذاری رابطه (٧) در رابطه فوق داریم
κ = L Ubp = L Nb ∆= Bb∆ (١١)
که در رابطه فوق Bb , Lb به ترتیب اپراتورهای مـشتق گیـری دررفتار غشایی و ماتریس حاصل از اثر آن بر توابع شکل هـستند.
حال میتوان معادله (٨) را به شکل زیر بازنویسی کرد (١٢) ∆Ub =

12 ∫∫A ∆T TB D Bb b b∆ dA =

12∆T Kb که در آنKb ماتریس سختی خمش ورق، به صورت زیـر بیـانمی شود
Kb = ∫∫A B D B dATbbb (١٣)
کارانجام شده ناشی از بار شعاعی Nr وارد شده به میان صفحه را می توان به صورت زیر نوشت
⎡ ∂w ⎤

⎢ ∂r ⎥
W

⎣⎦⎢⎡⎣θ⎥⎤⎦⎢⎢⎢1 ∂ ⎥⎥⎥dΩ (١۴)


⎣r ∂θ⎦
که در رابطه فوقσθ , σr مقادیر تنشهای داخل سطحانـد کـهبرای ورق تحت فشار خـارجی بـه صـورت زیـر و بـرای ورقتحت فشار داخلی به صورت رابطه(١۶) تعریف میشوند[٢٩]
2 22
367284107565

σ =r a b Nro 1 − b Nro b22 2−a2 r2 b2 −2a2 (١۵)
467868141992

a b N1b N σ =−θro −ro
b2 −a2 r2b2 −a2
454914115313

σ =−ra b N2 2ri 1 + a N2ri
2 2b2 −a2 r2b22 −a2 (١۶)
380238140626

a b N1a N σ =θri +ri
b2 −a2 r2b2 −a2
که در روابط فوقNri و Nro بـه ترتیـب نیروهـای داخلـی وخارجی بر واحد طول وارد شده به میان صفحهاند. با استفاده از تعریف ماتریس مشتقات توابع شکل در رفتار کمانشی به شـکلزیر
⎡∂ ⎤
0

15392479888

⎢⎢⎢1∂r ⎥⎥⎥⎨ ⎬⎧ ⎫⎩ ⎭wu = BG∆ (١٧)
⎢⎣r ∂θ⎥⎦
رابطه (١۴) به صورت زیر بازنویسی میشود (١٨) ∆W =−

12 ∫∫Ω ∆T TBGσBG∆ dΩ =

12∆T KG که در آنKG ماتریس سـختی هندسـی بـوده و بـه شـکل زیـرمحاسبه می شود
KG = ∫∫A BGT σBG dA (١٩)
که در روابط فوقσ ، ماتریس شامل مؤلفههای تنش داخل سطحاست. انرژی پتانسیل کل ورق ناشی از نیروهای خارجی وارد بهمیان صفحه و خمش به شکل زیر بیان می شود (٢٠) ∆Π = Ub −W =

12∆T Kb∆-

12∆T KG
بر اساس روش ریتز، بـرای برقـراری تعـادل، تغییـرات انـرژیپتانسیل ارائه شده در رابطه فوق به صورت زیر و مساوی صـفراست
δΠ δ= U+δW =δ∆T (Kb −KG )∆= 0
با توجه به اختاری بودن ∆δ رابطه فوق به شـکل رابطـه زیـرنوشته میشود
(Kb −λKG)∆=0
رابطه فوق یک مسئله مقدار ویژه است که با حل آن،λ می نیمم مقدار ویژه بار بحرانـی ورق و بـردار ویـژه نظیـر آن، مـود اولکمانشی است. ارتباط بار بحرانـی بـا ضـریب بـار بحرانـی بـهصورت زیر است.
Ncr =λcr

bD2

۴-٢- رفتار بعداز کمانش
۴-٢-١- میدان جابه جایی هوکین
میدان جابهجایی هوکین دراکثر موارد کاربردهـای صـفحاتنازک در صنعت، سـخت کننـدههـایی روی جـداره آنهـا تعبیـهمیکنند که موجب افـزایش تـوان بـاربری ورق مـیشـود . ایـنسخت کنندهها ممکن است شامل صفحات ضخیمی باشد که بهورق جوش شدهاند و یا میتواند لبـه تاشـده خـود ورق باشـد.
عمدتﹰا سختی این سخت کنندهها در مقابـل سـختی ورق بـسیارزیاد است به طوری که میتوان برای تحلیل رفتار پس ازکمانشصفحات فرض را بر این گذاشت که صفحه ازاطراف به قطعاتصلب متصل است و یا حداقل بار از طریق قطعـات صـلب بـهورق منتقل میشود که بسته به نوع محل قرار گرفتن این سختکنندهها مسائل متفاوتی مطرح میشود. با توجه به این که عمدتﹰادر کاربرد صفحات نازک درصنعت بار از طریق سخت کنندههـابه ورق منتقل میشود میتوان برای تحلیل رفتار بعد از کمـانشصفحات کنترل مسئله را روی جابهجاییهای مرزی که به میـدانجابه جایی هوکین معروف است قرار داد.
درتحلیـل رفتـار بعـد از کمـانش بـه علـت اینکـه خیـز یـاجابهجاییها بزرگتر از ضخامت ورق میشوند، دیگر نمی تـوان ازتنش و کرنش که در میان صفحه بهوجود میآید صرف نظر کـرد.
پس با تعریف انرژی کرنشی ناشی از کشیدگی میان صـفحه دررابطه (٢۴) به ادامه فرمولبندی مسئله میپردازیم[١] (٢۴) Um

(
)
2
2
2
A
Et
2(1
)
θ
θ
ε+ε+νεε
=
−ν
∫∫

  • 2