از قبیل
Li, J.Kang, Shin روش متوسط گیری را برای به دست آوردن خواص الکترومغناطیسی در مرز دو
محیط غیر یکسان ارائه نموده اند. اولین فرضی که ما در این جا در نظر می گیریم عدم پیوستگی در
خواص الکترومغناطیسی در سطوح مشترک می باشد. البته این عدم پیوستگی باید به صورتی باشد که
فصل اول: معرفی روش FDTD18
میدان الکتریکی در فصل مشترک این چهار محیط واقع گردیده و میدان مغناطیسی در وسط هر سلول
باشد. قبل از پرداختن به روش متوسط گیری باید بدانیم که ?z (i, j, k) ضریب نفوذپذیری است که از
آن برای محاسبه مقدار جدید میدان مغناطیسی در جهت محور z استفاده می کنیم. نفوذپذیری در مرز
بین دو محیط از رابطه زیر به دست می آید:
(35-1)[?zz (i, j, k) ? ?zz (i, j, k ?1)]1?z (i, j, k) ?2در رابطه بالا منظور از?zz نفوذپذیری در جهت z است. شرطی که در اغلب حالات آن را در نظر می
گیریم ایزوتروپیک بودن محیط است که با این فرض ضریب نفوذپذیری در جهت هر سه محور باهم
مساوی خواهند بود. منظور از این عبارت در رابطه زیر مشاهده می شود:
?zz (i, j , k) ? ?yy (i, j, k) ? ?xx (i, j, k) ? ?(i, j, k)(36-1)
آن چه در بالا دیدیم نحوه محاسبه ضریب نفوذپذیری بود که از آن در محاسبه مقدار جدید میدان
مغناطیسی استفاده می نماییم. اما پارامتر دیگری که جزو خواص الکترومغناطیسی محیط است ضریب
دی الکتریک است که از این پارامتر برای محاسبه مقدار جدید میدان الکتریکی استفاده می شود. نکته
ای که در این جا باید به آن توجه کرداین است که میدان الکتریکی روی یال سلول قرار دارد، در نتیجه
این میدان می تواند در نقطه مشترک مربوط به چهار محیط مختلف نیز واقع شود. در چنین شرایطی در
این نقطه ضریب دی الکتریک باز هم با فرض ایزوتروپیک بودن به صورت زیر به دست می آید:
فصل اول: معرفی روش FDTD19
(37-1)[?(i, j, k) ??(i, j ?1, k) ??(i, j, k ?1) ??(i, j ?1, k ?1)]1?(i, j, k) ?4
-8-1 لایه تطبیق کامل [23] PML
وقتی یک موج در فضای مورد نظر منتشر می شود، در نهایت به لبه های مکان مورد نظر می رسد. اگر
در برنامه هیچ شرط مرزی ای در نظر گرفته نشود، انعکاس های غیرقابل پیش بینی ایجاد می شود که
در نهایت به داخل بر می گردد و نمی توان تعیین کرد کدام موج، موج اصلی و کدام یک موج برگشتی
(انعکاسی) می باشد. بنابراین شرط مرزی جذب ABC در FDTD به کار می رود. روش های مختلفی
برای این منظور وجود دارد. یکی از موثرترین و قابل انعطاف ترین ABC ها، PML یا لایه تطبیق کامل
است که به وسیله Berenger ارائه شده است. ایده اصلی به این صورت است: اگر یک موج در محیط A
منتشر شود و وارد محیط B شود، مقدار انعکاس به وسیله امپدانس های ذاتی در محیط به صورت زیر
مشخص می شوند:
(38-1)B??A?? ?B??A?
این امپدانس ها با ثابت دی الکتریکی ? و پرمیبیلیتی ? در محیط مشخص می شوند:
(39-1)?? ??
فصل اول: معرفی روش FDTD20
فرض می کنیم ?ثابت باشد. آنگاه با تغییر ? از یک محیط به محیط دیگر، تغییر در امپدانس ایجاد می
شود و بخشی از پالس طبق معادله (38-1) منعکس می شود. اگر ? با ? تغییر کند، آنگاه ? ثابت باقی
می ماند، در نتیجه ? صفر می شود و هیچ انعکاسی اتفاق نمی افتد. این امر مشکل ما را حل نمی کند،
زیرا پالس در محیط جدید نیز به انتشار خود ادامه می دهد. بنابراین محیط جدید باید با تلفات باشد،
بنابراین پالس قبل از برخورد به مرز از بین خواهد رفت. بنابراین ? و ? در معادله (39-1) باید مختلط
باشند، زیرا بخش موهومی باعث می شود که موج از بین برود. یعنی . ?* ? ? ? ?
rrj??0
حال معادلات ماکسول را در حوزه فرکانس تکرار می کنیم. (تبدیل فوریه در حوزه زمان انجام می شود و
dبه jw تبدیل می شود، اما روی مشتقات مکانی اثر ندارد.)dt(40-1)jwD ? c0 .(?× H )(41-1)D(w) ? ?r* (w).E(w)(42-1)jwH ? ?c0 .?× E
برای اعمال شرط مرزی ثابت های دی الکتریکی و مغناطیسی ساختگی را اضافه می کنیم. به عنوان
مثال برای دو معادله (40-1) و (42-1) داریم:
(43-1)(x?H??H yjw?*Fx (x).?*Fy ( y).?*Fz?1 (z).Dz ? c0 (?y?x
فصل اول: معرفی روش FDTD21
(44-1)?H y?E(?xjw?*Fx (x).?*Fy ( y).?*Fz?1 (z).H z ? c0 (?x?yچند نکته قابل توجه وجود دارد: اول آن که مقدار?Fوابسته به چگالی شار D می باشد، اما به Eوابسته نیست.دوم آن که این مقادیر ساختگی?Fو?F در سه جهت z و y و x مقادیری را به
معادلات (40-1) و (42-1) اضافه می کنند. و در نهایت آن که روی معادله (41-1) هیچ اثری ندارند.
Sack نشان داد که دو شرط برای PML وجود دارد:
-1 امپدانس با حرکت از محیط اصلی به محیط PML باید ثابت باقی بماند، یعنی:
?*
?0 ??m ? ? xFx ?1(45-1)
Fx
از آن جایی که واحدها نرمالیزه شده اند، امپدانس 1 است.
-2 در جهت عمود بر مرز، ثابت دی الکتریک و ثابت مغناطیسی مربوطه باید معکوس آن ثابت ها در
سایر جهات باشند، یعنی:
(46-1)
(47-1)
و فرض می کنیم هر یک از مقادیر فوق مختلط باشند، یعنی:
(48-1)
???*Fy????*1?Fz
???*Fy????1*?Fz
???Fm??????Dm
jw 0
?*Fx
?*Fx
?*Fm
فصل اول: معرفی روش FDTD22
(49-1)
فرض می کنیم شرایط برقرار باشند تا شرط 1 مربوط به
(50-1)
(51-1)
و در نتیجه داریم:
?Hm?Fm????*jw?0FmSack برقرار شود:?Fm ? ?Fm ?1?D??Hm??Dm?0?0?0
?(x)1?(52-1)jw?0*Fx??1??0 ??m ??(x)*?jw?01?Fx
حال معادله (43-1) را می توانیم به صورت زیر بسط دهیم:
(53-1)
(54-1)

(55-1)
(56-1)
) ?x?H??H y).((z)z?.(1?).Dz ? c0? y ( y)).(1?(x)x?jw(1??y?xjw?0jw?0jw?0.curl _ h1.?z (z)..curl _ h ?ccjw?000
I Dz ? 1jw .curl _ h
.I Dz )(z)z?c0 .curl _ h ?).Dz ?? y ( y)).(1?(x)x?jw.(1??0jw?0jw?0(1, j, k ?1) ? H yn (i ?1, j, k ?1curl _ h ? H yn (i ?2222(1, k ?1) ? H xn (i, j ?1, k ?1? H xn (i, j ?2222
فصل اول: معرفی روش FDTD23
(57-1)) ?curl _ h1) ? I nDz?1 (i, j, k ?1I nDz (i, j, k ?22) ? gi2(i).gj2( j).0.5.curl _ h1(i, j, k ?1) ? gi3(i).gj3( j).Dzn?1(i, j, k ?1Dzn?222(58-1)121(().I nDz (i. j, k ???gk1(k??22که در آن:tD (i).1??(59-1)(2.?0 )gi3(i) ?tD (i).1??(2.?0 )(60-1)1gi2(i) ?tD (i).1??(2.?0 )t.(1?D (K ?1(61-1)2gk1(k ?) ?2.?02
در محاسبه پارامترهای f لازم نیست هدایت الکتریکی تغییر کند، یعنی می توانیم یک پارامتر کمکی به
نام X n به صورت زیر تعریف کنیم:(62-1)?. tX n ?2.?0
هر چه قدر به PML می رویم، این مقدار افزایش می یابد، پس پارامترها به صورت زیر محاسبه می
شوند:
فصل اول: معرفی روش FDTD24
(63-1))3 , i ?1,2,…,length _ PMLiX n (i) ? 0.333* (length _ PML
توجه کنید که مقدار داخل پرانتز در معادله فوق بین 0 و 1 تغییر می کند و ضریب 0,333 به طور
تجربی به دست آمده به گونه ای که بزرگ ترین مقداری است که پایدار باقی می ماند. به طور مشابه
توان 3 در معادله (63-1) نیز بهینه ترین تغییرات را نشان می دهد. به طور مشابه اگر روابط را برای -1)
(44 نیز بنویسیم؛ داریم:
(64-1)
که در آن:
(65-1)
و
(66-1)
و
(67-1)
H zn?12 (i ? 12 , j ? 12 , k) ? fi3 (i ? 12). f j3 ( j ? 12).H zn (i ? 12 , j ? 12 , k) ? fi 2 (i ? 12). f j 2 ( j ? 12).0.5.(curl _ e ? fk1 (k).I nhz?12 (i ? 12 , j ? 12 , k))
I nhz?12 (i ? 12 , j ? 12 , k) ? I nhz?12 (i ? 12 , j ? 12 , k) ? curl _ e
, k)1(i, j ?1, k) ? Eyn?1, j ?1(i ?1curl _ e ? ?Eyn?22222, j, k)1(i ?1, j ?1, k) ? H xn?1(i ?1??Exn?2222
?D (k). tfk1 (k) ?2.?0
فصل اول: معرفی روش FDTD
(68-1)1) ?1i2 (i ?t12.(1 ?? D (i ?(2.?0 )2t.(11??D (i ?(69-1)(2.?0 )21i3 (i ?) ?t12.(1??D (i ?(2.?0 )2
25
f
f
در نتیجه با استفاده از پارامتر کمکی می توان مقادیر fو g را در محدوده زیر تعیین نمود:(70-1)from 0 to 0.333 ، fi1 (i) & f j1 ( j)(71-1)from 1 to 0.75، fi 2 (i), gi 2 (i), f j 2 ( j), g j 2 ( j)(72-1)from1 to 0.5، fi3 (i), gi3 (i), f j3 ( j), g j3 ( j)توجه داشته باشید که می توانیم با قرار دادنf j1 و fi1مساوی با صفر و با مساوی یک قرار دادن سایر
پارامترها شبیه سازی را در فضای مسئله انجام دهیم و PML را در نظر نگیریم.
فصل دوم :
مدل کردن عناصر فشرده پسیو و اکتیو با
استفاده از روش FDTD
فصل دوم: مدل کردن عناصر فشرده پسیو و اکتیو با استفاده از روش FDTD27
با پیشرفت کامپیوترها، روش FDTD به یک روش متداول برای آنالیز مسائل الکترومغناطیسی متفاوت،
شامل مدارات مایکروویوی تبدیل شد. وقتی اندازه مدارات مایکروویوی و فاصله بین عناصر مداری کوچک
تر می شود، کوپلینگ بین عناصر مداری که به فاصله کمی از هم قرار گرفته اند، آثار پیچیده ای را در
پرفورمنس مدار ایجاد می کند. مدل کردن صحیح دستگاه های اکتیو و یا پسیو فشرده و امواج
الکترومغناطیسی در شبیه سازی مداری بسیار مهم است. تحقیقات گسترده ای در مقالات ارائه شده که
هدف آن ها گسترش روش FDTD به گونه ای است که دستگاه های فشرده مایکروویوی را در آنالیز
تمام موج در بر بگیرد. این روش توسعه یافت تا جایی که مقادیر مداری یک دستگاه دو پایانه ای را در
این الگوریتم جای داد. در زیر الگوریتم به کار رفته در شبیه سازی عناصر فشرده خطی بیان شده است.
در ابتدا مدل کردن عناصر فشرده شامل مقاومت، خازن، سلف و سیم ارائه می شود. در این جا روش
PicketMay را بررسی می کنیم.
-1-2 عناصر فشرده خطی [24]
در روش FDTD فرض می شود که عنصر فشرده با مولفه میدان E منطبق شود. عناصر فشرده خطی
عناصری همانند طول کوتاهی از سیم هادی کامل، مقاومت، خازن، سلف و منبع ولتاژ مقاومتی را در بر
فصل دوم: مدل کردن عناصر فشرده پسیو و اکتیو با استفاده از روش FDTD28
می گیرد. برای هر عنصر فشرده می توان رابطه I ?V در نظر گرفت. اختلاف پتانسیلی که بر روی عنصر
اعمال می شود باعث ایجاد جریانی می شود که از عنصر عبور می کند که همراه با تاخیر زمانی بسیار