/ Si ={j∈Ω : i }
بقیه مراحل مطابق الگوریتم درشتسازی استاندارد است.
در کد تدو ین شـده بـرای درشـت سـازی خـشن حالتهـای p =1,l = 2 و p = 2,l = 2 مــورد اســتفاده قــرار مــیگیــرد.
همچنین این روش تنها برای نخست ین مرحله درشتسازی مورداســتفاده قــرار گرفتــه و بقیــه مراحــل بــه روش اســتاندارددرشتسازی م یشود. دو حالت مذکور به ترتیب درشت سـازی 1A و 2A نامیــده مــیشــود. در کــد تهیــه شــده، تکنیــک درشتسازی خشن بر اساس مطالب بیان شـده در نظـر گرفتـهشده است.

۲-۳- عملگر میانیابی
پس از آنکه تجز یه درشت و ریز انجام شد عملگر میان یـابی۱۳ رامیتوانیم محاسبه کنیم. وظیفه اصل ی عملگر میانیابی انتقال خطـااز شب که درشت به شب که ریز اسـت . بـه عبـارت دیگـر تخمـین مقدار خطا در گره های ر یز از طریـ ق عملگـر میان یـابی صـورتمیگیرد.
دو روش متـداول بـرا ی ایـن منظـور وجـود دارد: میانیـابی مستقیم و میانیاب ی استاندارد.
ای ن روشها با استفاده از معادله زیر بنا شدهاند [۵]. (۶) a eii i + j N∑∈ i a eij j = 0 , i∈F
که در آن ei مؤلفه خطا مربوط به گرهi ام است.
در میانیابی مستق یم مقاد یر مربوط به گرههای شـبکه درشـتبدون تغییر به گره متناظر (i∈C) در شبکه ریز انتقال می یابد.
در معادله (۶) هدف محاسبهei است اما با توجه بـه اینکـه پس از درشتسازی برخ ی از مقـادیر خطـاej (کـ ه مربـوط بـههمسای ههای ر یز گرهi میشوند) در دسترس نیست لـذا مجبـورهستیم وزن تأثیرگذاری این مؤ لفه ها را به سایر گره های درشـتهمسایه منتقل کنیم. بیان ر یاضی این فرایند در معادله (۷) ارائـهشده است.
ei = ∑ωik ke
k P∈ i
⎧−
ω =ik ⎪⎩⎪⎨−α−βi iki ikaa/ a (k/ a (kiiii∈∈P )P )ii+ , (۷)
∑ j N∈ i− aij∑ j N∈ +aij

α =i ∑ j P∈ i− aij , β =i ∑ j P∈ i+i aij
به این ترت یب برا ی سا یر گرههای ر یـز (i∈F ) از معادلـه فـوقاسـتفاده مـیشـود. در معادلـه (۷) Pi (مجموعـه میانیـاب) بـه صــورت Pi = C ∩Si (مجموعــه گــره هــای درشــت دارای همبستگی قوی با گرهi ) تعریف میشود و برای هر مجموعهM شامل اعداد حقیقی غیر صفر، +M به صورت زیر مجموعه ای از M که فقط شامل همه عناصر مثبت M است تعریف میشـودو −M ن یز به طور مشابه فقط شامل همه عناصر منفیM است . البته معادله (۷) بر مبنای نظریه خطای جبری هموار۱۴ شده، قابل استنباط است [۵] اما بیان قضا یا و فرضیات مورد نیاز آن خـارجاز حوصله این مقاله است.
در مسائل مورد بررسی این مقاله ، +Pi تهـی اسـت ز یـرا درمسائل د یفیوژن، همه عناصر غیر قطـری Ah منفـی هـستند . در ایـن صـورت 0β =i و معادلـه (۷) بـه صـورت زیـر اصـلاح می شود:
ω =−αiki ika/ a (kii∈P )i
aii = +aii ∑ aij (۸)
+j N∈ iبه هر حال به منظور جامعیت کد بـرای حـل مـسائل مختلـف،احتمال وجود عناصر مثبت در مجموعه میانیاب در نظـر گرفتـهشده است.
عملگر م یانیابی نه تنها برای انتقال خطا از شبکه درشـت بـهشبکه ر یز بهکار می رود بل کـ ه در تـشکیل عملگـر محدودسـاز، معادله (۱۱)، و تشکیل عملگر شبکه درشت نیـ ز نقـش اساسـی دارد، لذا دقت این عملگر بر روی کارایی چنـد شـبکهای تـأثیر بسزایی دارد . یکی از روشهای افزایش دقت میان یـابی اسـتفاده از میانیابی استاندارد (نسخه اصلاح شده میانیابی مـستقیم) اسـت .
در م یانیابی مستق یم بـرای گـرهi تنهـا از گـره هـای موجـود درمجموعهC که دارا ی ارتبـاط قـوی بـا گـرهi هـستند اسـتفادهمی شود. در م یانیابی استاند ارد علاوه بر گرههای مورد استفاده درمیانیـابی بـه روش مـستقیم، آن دسـته از گـره اهـ ی موجـود در مجموعه F که دارا ی ارتباط قوی با گرهi هستند نیـ ز بـه طـورغیـر مـستقیم در میانیـابی نقـش دارنـد. بـرا ی ایـن منظـور در معادلــــه (۶) هــــر ej کــــه j∈F∩Si بــــه صــــورت
ej →−∑k N∈ j ajk ke/ ajj جا یگزین م یشود. به این ترت یـ ب معادلات ر یز مربوط به همسایههای ر یز دارا ی همبستگی قـوی، با معادله مربوط به گرهi ادغام شده و باعث بهبود دقت میانیابی میشود. در این صورت معادله جدید حاصـل مـیشـود کـ ه بـاجمع آوری ضرا یب گرهها می تـوان آن را بـه شـکل معادلـه (۶) نوشت. اگر ضرا یب جمع آوری شده را با بالانویس “مد” نمایش دهیم خواهیم داشت:

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

a eˆii i +∑ a eˆij j = 0 ,
j N∈ˆ i (۹)
Nˆ i ={j: j ≠ i,aˆij ≠ 0}
مجموعــــه میانیــــاب در ایــــن حالــــت بــــه صــــورتPi =C [S∩ ∪ ∪i(j F S∈ ∩ i S )]j (مجموعه گره هـای درشـت دارای همبستگی قوی با گره i و یا با همسایه ریز i) تعریف میشود و با جایگزین کردن تمامa ها با ˆa وNi باNˆ i در معادلـه هـای (۷) و (۸) فرمول میانیابی استاندارد به دست میآید.
اگر تجز یه درشت و ریز بر اساس الگـوریتم درشـت سـازی خشن باشد (و یا در مواردی خاص در درشتسازی استاندارد ) امکان استفاده از میانیابی استاندارد و مـستقیم تنهـا بـرای تعـدادمحدودی از گرهها ام کانپذیر اسـت. در ایـ ن مـوارد از میان یـابی چندگذر۱۵ استفاده میشـود . بـرای گـره هـایی کـه میان یـابی بـهروش های مــذکور امکانپ ـذیر اســت ( ∅≠Pi ) از معادلــه (۷) استفاده میشود. گرههایی که م یانیابی شـدهانـد را بـا *F نـشانمیدهیم. سپس برا ی تمام گره هـای باق یمانـده ( *i∈ −F F) کـ ه ∅≠ *Si ∩ F ، میانیابی به این طر یق انجام میشود که در معادله
(۶) تمــ ام گــ ره هــ ای مثــ ل j کـــه *j∈Si ∩F ، بــ ه صورتej →∑ωjk ke جا یگزین می شـود. بـه ایـ ن ترت یـ ب
k P∈ j
معادلهای مشابه معادله (۹) حاصل مـی شـود و فرمـول میان یـابی همانند آنچه در میانیابی استاندارد انجام شد به دست م یآید. در
این حالت مجموعـه میانیـ اب بـه صـورتj S∈∪iF* Pj تعر یـ ف ∩
می شود.
برای افـزایش دقـت میان یـابی بـه خـصوص در مـواردی کـ ه درشتسازی خشن انجام میشود م یتوان از هموارساز ژا کـوبی۱۶ استفاده کـرد. در ایـ ن حالـت ابتـدا عملگـر م یانیـ اب بـه یکـی ازروشهای مستق یم یا استاندارد محاسبه شده سپس بـرای هـر گـرهریز (i∈F) در معادله (۶)، همه گره هـای j∈ =FiF∩ Ni ، بـهصورتej →∑ωjk ke جا یگزین م یشود. (معادلـه ای مـشابه
k P∈ j
معادله (۹) همانند میانیابی اسـتاندارد حاصـل مـیشـود .) در ایـ ن حالت مجموعه میانیاب به صورت (C∩ ∪ ∪N ) (ij F∈ i P )j تعر یف میشود. میانیابی به روش فوق میانیابی ژا کوبی کام ﹰلا هموار شـدهنامیده میشود[۳ و ۴]. البته ا ین فراینـد مـیتوانـد بـیش از یکبـار مورد استفاده قرار گیرد که موجب افزایش دقت میانیابی م ی شـود . در برخ ی موارد به جای آن که همه گرههای j∈Fi به صورت بیان شده جا یگزین شود، تنها جایگزینی برا ی گرههایj انجام میشود کــــه j∈F∩Si و مجموعــــه میانیــــاب بــــه صــــورت
(C∩ ∪ ∪N )i (j F S∈ ∩ i P )j تعریف می شود. استفاده از میانیابی ژاکوبی، به دلیل وجـود گـره هـای دارای همبستگی غیر مستق یم در مجموعه میانیاب، مم کن است باعـثافزایش تعداد اجزای غ یر صفر۱۷ در عملگر میانیاب و در نتیجـهافزایش هز ینه محاسبات برا ی تشکیل عملگرها شود. بـه منظـوراجتن اب از م شکل م ذکور، در فرم ول میانی ابی، معادل ه (۷)، ض رایبی کـه نـسبت آنه ا ب ه بزرگت رین ض ریب، از ف اکتور
مقایسهεtr (در عمـل 0.2ε =tr[۳]) کـوچکتر بـوده حـذف وضرایب باقیمانده در عددی ضرب شده به طـوری کـه مجمـوعآنها نسبت به حالـت اولیـ ه عـوض نـشود. البتـه در حـالتی کـ ه ضرایب مثبت و منفی هر دو در فرمـول میان یـابی وجـود دارنـدبرای اصلاح ضرایب به طور جداگانه عمل میشود. (در مـسائلمورد بررسی این مقاله چنین حـالتی وجـود نـدارد ولـی بـرای عمومیت دادن به کد، الگور یتمهای مربوط به این مورد نیز لحاظشده است.)
سرانجام عملگر میانیابی با اسـتفاده از روشـهای مـذکور بـهصورت زیر محاسبه میشود:
⎧ eH if i∈Ch eih = (I ehH H)i =⎪⎨⎪∑i h ωik kh eH if i∈Fh (۱۰)
⎩k P∈ i

1201666-1566501

شکل۲- فضای حل و شرایط مرزی مسئله برای دو حالت مختلف شرایط مرزی (۱) و (۲)
عملگر محدودساز ۱۸ به صورت ترانهاده عملگر میانیاب محاسبه می شـود : IHh = (Ih TH) و سـرانجام عملگـر شـبکه درشـت بـااستفاده از اصل گالرکین محاسبه می شود:
AH = I A Ih h HHh (۱۱)
آنچه بیان شد خلاصـهای از نظریـه مربـوط بـه الگـوریتمAMG است. این الگور یتم در کدی به زبانC++ پیادهسازی شده اسـت.
در این مقاله نتایج عددی، بر مبنای کد مذکور ارائه میشود.

۳- حل معادله انتقال گرمای دائم دو بعدی به روش AMG
معادله پخش گرما در حالت دائم برای مسائل دو بعـدی دردستگاه مختصات کارتزین با فرض ضریب هدا یت ایزوتروپیک و عدم وجود چشمه گرمایی به صورت زیر است:
143256106162

∂2T2 +∂2T2 = 0 (۱۲)
∂x∂y
که در آنT دما و x وy مختصات فضاییاند. گسـسته سـازی بـهروش تفاضل محدود به صورت پـنج نقطـه اسـتاندارد۱۹ صـورتمی گیرد. دو حالت برای شرا یط مرزی در نظر گرفته شده است. در حالت (۱) همه شرایط مرز ی از نوع دیریکله است . در حالـت (۲) شرایط مرزی شامل دو شرط نویمن می شود. برای گسستهسازی در روی دو مرز بالا و پایین در حالت (۲) کـ ه شـرط عـایق