یرسـاختاری ( تـدریجی) تشریح می شود.
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
1. Fréchet distance
تشکیل خوشه جدید
در صورتی که تعداد معناداری از مشاهدات مجاور یکدیگر از مراکز پیشین فاصـله ز یـادی داشـته باشند (درجه عضویت آنها در تمام مراکز، به صورت معناداری کم باشد)، نیـاز بـه تشـکیل خوشـهجدید وجود دارد. بنابراین شرایط زیر به طور همزمان برای تشکیل خوشه جدید باید برقرار باشد:
رابطه 3) ≥ ( ),

,>
که در آن حداقل تعداد مشاهدات؛ حداقل چگالی لازم بـرای تشـکیل خوشـه جدید؛ و به ترتیب شماره خوشه و شماره مشاهده و تعداد خوشه موجود است.
ادغام خوشه ها
در صورت وجود تعداد معناداری از مشاهدات با درجات عضویت بالا در بیش از یک خوشه که در فاصله نزدیکی قرار دارند، ادغام خوشه ها قابل بررسی است. در صـورت برقـراری شـرایط فـوق،میزان مشابهت دو خوشه با رابطه 4 محاسبه می شود:
رابطه 4)

که در آن ( ) مجموع درجات عضویت مشاهداتی است که درجه عضویت آنها در خوشه از α بیشتر است.
اگر میزان شباهت دو خوشه بیش از آستانه تعیین شده باشد، خوشه هـا ادغـام شـده و درجـاتعضویت مشاهدات در خوشه جدید از رابطه 5 محاسبه میشود، که در آن و شماره خوشه و k شماره مشاهده است:
رابطه 5)

,∪
تفکیک خوشه ها
در صورتی که یک خوشه دارای کاهش همگنی معنادار نسبت به دوره قبل باشـد، مشـاهدات آنخوشه بار دیگر خوشه بندی و تفکیک می شوند. برای تشخیص این موضوع نسبت

() محاسبه می شود که در آن (1) چگالی خوشه در مقطع اول و ( ) چگـالی خوشـه در مقطـع فعلـیاست. در صورتی که نسبت فوق بیش از مقدار آستانه باشـد، مشـاهدات درون خوشـه بـار دیگـرخوشه بندی شده و مراکز جدید تعیین می شود.
حذف خوشه ها
در صورتی که درجه عضویت مشاهدات یک خوشه، کاهش یافته و تمام مشاهدات درجه عضویت پایینی در آن خوشه داشته باشند (کمتر از /1 که k تعداد کل خوشههاست)، مرکز خوشـه فـوقپس از دو مرحله متوالی حذف خواهد شد.
تغییر در مراکز خوشه
پس از بررسی تغییرات ساختاری فوق، تغییر در مراکز خوشه بررسی می شود. بـرای ایـن منظـور،شاخص فشردگی از طریق رابطه 6 محاسبه شده و با مقطع قبل مقایسه می شود.
246892-15817

رابطه 6)

در رابطه 6، شماره خوشه؛ شماره مشاهده؛ µ درجه عضویت مشاهده در خوشـه ؛ مرکـزخوشه و حداقل درجه عضویت قابل قبول است. در صورت کاهش شاخص فشردگی نسبت به مرحله قبل، مراکز خوشه از طریق رابطه 7 با دیگر محاسبه می شوند.
رابطه 7)

در رابطه 7، t مقطع زمانی است و مقادیر و به ترتیب از رابطه هـای 8 و 9 بـه دسـتمی آیند.
رابطه 8) ()()= (1−)
رابطه 9) ()= (1−)
مقایسه الگوهای رفتاری
در این مقاله برای مقایسه میزان شباهت تغییر رفتار مشتریان با یکدیگر، از تـابع فاصـله فرشـتگسسته (آیتر و مانیلا، 1994) استفاده خواهد شد که با رابطه 10 تعریف می شود.
(,) = min∈ (,…,max |−|) (10 رابطه
در رابطه 10، , دو مسیر و نشان دهنده مجموعه تمـام دنبالـه هـا ی زوج مرتـببه صورت {,,…,,1} است. به بیان دیگر، فاصله فرشت، طول کوتاه تـرین اتصال بین دو مسیر برای پیمایش بدون بازگشت در امتداد هم با طول گام متفاوت اسـت( 0). در این مقاله، یک مسیر، دنباله ای از درجات عضویت فازی در مقاطع زمانی متوالی است.

شکل 1. فاصله فرشت میان دو مسیر فرضی
مزیت استفاده از این روش در مقایسه با روشهای (قطعی) موجود در ادبیات موضوع، استفاده از درجات عضویت فازی برای مقایسه شباهت الگوی رفتاری مشـتریان اسـت. همچنـین وجـودتأخیر زمانی، تأثیری در فاصله دو الگوی مشابه نمی گذارد. از سوی دیگر، این روش تحـت تـأثیر داده های پرت قرار نگرفته و هزینه محاسباتی پایینی دارد.
یافتههای پژوهش
در این مقاله، مشتریان یک اپراتور تلفن همراه بر اساس میزان استفاده از خدمات مختلف، در یک دوره 10 ماهه خوشه بندی شدند و مسیر تغییـر الگـوی مصـرفی آنهـا بـه دسـت آمـد. داده هـای بررسیشده در هر مقطع (ماه) شامل 2100 مشتری می شود؛ به طـوری کـه هـر مـاه 100 نفـر ازمشتریان جدیدالورود و 100 نفر از مشتریان ریزش یافتـه را دربـردارد . متغیرهـای بررسـی شـده شامل، طول مکالمه درون شبکه، طول مکالمه خارج شبکه، طول مکالمه با تلفن ثابت، م یـانگین مکالمه داخل شبکه (نسبت طول مکالمه به تعداد مکالمات)، میانگین مکالمه خارج شـبکه، تعـدادپیام کوتاه، حجم استفاده از اینترنت و میزان استفاده از سایر خدمات مخابراتی است.

آماده سازی و تبدیل داده ها
با توجه به اینکه متغیرهای بررسی شده دارای توزیع نمایی هستند و پراکنـدگی نامتقـارنی دارنـد،کلیه متغیرها با استفاده از تبدیل لگاریتم، متقارن شدند؛ سپس از تبدیل Z (رابطه 11) برای حذف مقیاس داده ها استفاده شده است.
رابطه 11) −

=
که در آن و به ترتیب میانگین و انحراف معیار متغیر ام است.
ساختار اولیه خوشهبندی
در اولین مقطع زمانی (هر مقطع زمانی یک ماه است) کلیه داده ها خوشه بندی شدند که 5 خوشـه(جدول 1) با توجه به شاخص کارایی، در این مقطع حالت بهینه را نشان دادند.
جدول 1. تعداد مشاهدات در نزدیکی هر خوشه ها
5 4 3 2 1 خوشه
389 544 561 241 365 تعداد مشاهدات

شکل 2 نمودار مراکز خوشه های پنج گانه را نسبت به متغیرهـای مـورد بررسـی بـه نمـایشگذاشته است که در آن محور افقی متغیرهای مصرفی و محور عمودی مقدار متغیر در مراکز هـرخوشه را نشان میدهد. از نمودار مراکز خوشه در این مقطع، این گونه برداشت می شود کـه دسـته اول مشتریان (1C)، افرادی هستند که در تمام متغیرهای مصرفی، مشتریان پرمصـرف بـه شـمارمی روند. دسته دوم و سوم به نسبت دسته اول مصرف کمتری دارند. دسته دوم (2C)، مشـترکانی هستند که بیشترین مصرف آنها شامل خدمات مکالمه و پیام کوتاه اسـت . در دسـت ه سـوم (3C)، مشترکان نسبت به سایر خوشه ها مصرف اینترنت بیشتری داشته اند. در خوشه چهارم، مشـترکان نسبت به خوشه اول و دوم مصرف کمتری داشته و از اینترنت و سایر خدمات نیز به طور متوسـطاستفاده کرده اند. خوشه پنجم افرادی هستند که در تمام متغیرهـا کـم مصـرف بـوده یـا مصـرفینداشته اند.
تغییرات ساختاری و تدریجی
پس از محاسبه درجات عضویت مشاهدات در مقاطع بعـدی بـا اسـتفاده از مراکـز خوشـه اول یـه، مشاهده میشود که درجه عضـویت مشـاهدات کـاهش معنـاداری نداشـته و بـه میـزان حـداقل(2/0= 15) نرسیده است. همچنین تعداد مشاهداتی که درجه عضویت بالایی در چند خوشه دارنـد ، طی دوره بررسی، به میزان حداقل در نظر گرفته شده (50 درصد از تعداد کوچـک تـرین خوشـه) نمی رسد. با وجود این، روند تغییرات چگالی خوشه 4 نشـان مـی دهـد در مقطـع هفـتم، چگـالیمشاهدات نزدیک به این خوشه کاهش 20 درصدی داشته است (جـدول 2). بـا توجـه بـه رونـدکمابیش ثابت تغییر چگالی سایر خوشهها، می توان تفکیک خوشه 4 را بررسی کرد.
با تفکیک مشاهداتی که بیشترین درجه عضویت را در خوشـه چهـارم دارنـد و خوشـه بنـدی
مجدد این مشاهدات، مراکز خوشههای تفکیک شده جدید بهصورت شکل 3 به دست می آید.
جدول 2. تغییرات چگالی خوشهها
خوشه 5 خوشه 4 خوشه 3 خوشه 2 خوشه 1 ماه
0/92 0/71 0/68 0/74 0/86 1
0/91 0/67 0/69 0/74 0/88 2
0/93 0/63 0/71 0/75 0/85 3
0/90 0/60 0/71 0/77 0/82 4
0/87 0/62 0/73 0/77 0/84 5
0/88 0/58 0/74 0/78 0/84 6
0/85 0/55 0/74 0/78 0/85 7

شکل 3. نمودار موازی مراکز خوشه در مقطع هشتم
نتایج فوق نشان می دهد در طول دوره بررسی، خدمات پایه از جمله مکالمه، بهدل یـل توسـعه شبکه، جذب مشترکان جدید و ورود اپراتورهای دیگر، در تمام خوشه ها در حـال افـزایش اسـت . این افزایش در برخی از خوشه ها فقط به دلیل افزایش تعداد تماس و در برخـ ی بـه دل یـل افـزایش تعداد و طول مکالمه بوده است. استفاده از خدمت ارسال پیام کوتـاه در خوشـه هـای 1 و 4 رونـدنزولی داشته است که ی کـی از دلا یـل ا یـن موضـوع را مـی تـوان توسـعه اسـتفاده از اینترنـت و جایگزین شدن پیام رسان های اینترنتی دانسـت . همچنـین اسـتفاده از خـدمات اینترنـت در تمـامخوشه ها با روند صعودی و با شیب متفاوت مشاهده اسـت. ایـن موضـوع در خوشـه دوم اهم یـت ویژه ای دارد. در این خوشه، اینترنت بیشترین خدمتی است که مشترکان استفاده کرده اند. استفاده از سایر خدمات در تمام خوشه ها کمترین نسبت را به خود اختصـاص داده اسـت؛ بـا ایـن حـال، می توان در خوشه های 1 و 4 افزایش شایان توجه آن را مشاهده کرد. این موضوع نشان می دهـدسایر خدمات قابل ارائه بر بستر موبایل، هنوز جایگاه خود را میان مشترکان پ یـدا نکـرده اسـت ومشترکان با این خدمات آشنایی ندارند یا برای آنها کاربردی نداشته است.
الگوی جابه جایی مشتریان
با مقایسه مسیر تغییرات درجه عضـویت مشـتریان طـی دوره 10 ماهـه ، الگوهـای تغییـر درجـه عضویت مشترکان با بیشترین درجه شباهت که تعداد بیش از یک درصد از مشـتریان را پوشـشمی دهد، استخراج شدند. جدول 3 الگوهای مشابه استخراج شده بر مبنای کمترین فاصله فرشـترا نشان می دهد. در این جدول، هفت الگوی مشتریان که دارای بیشترین تشابه رفتاری بوده انـد ، به ترتیب تعداد و میزان شباهت مسیر فهرست شده است.
جدول 3. الگوهای مشابه رفتار مصرفی مشتریان
درصد تعداد میانگین فاصله مسیر الگو
47 987 0/967 →
تغییر درجات عضویت بدون تغییر در خوشه 1
4 75 1/17 2 → 4 2
7 147 1/56 4 → 3 3