پایدار سینوسی را از موج الکترومغناطیسی 2 و 3 بعدی در ساختار ماده را تشکیل دادند.
Holland :1977 و Kunz و Lee الگوریتم Yeeرا در مسائل EMP به کار بردند.
1891:Mur شرط مرزی جذب ABC مرتبه اول و دوم را برای شبکه Yeeبه کار برد.
Choi : 1986 و Hoeffer شبیه سازی FDTD از ساختارهای موجبری را ارائه دادند.
فصل اول: معرفی روش FDTD7
Sullivan :1988 اولین مدل FDTD سه بعدی از جذب موج الکترومغناطیسی توسط بدن انسان را
ارائه داد.
:1988 مدل FDTD یک مایکرواستریپ توسط Zhing ارائه شد.
:1990-91 مدل FDTD از پرمیتیویتی دی الکتریک وابسته به فرکانس توسط Kashiva و Luebbers
و Joseph ارائه شد.
:1992 مدل FDTD از عناصر مداری الکترونیکی فشرده در دو بعد به وسیله Sui بیان شد.
Berenger :1994 شرط مرزی جذب 1 PML را برای شبکه های FDTD دو بعدی مطرح کرد که به
وسیله Katz به سه بعد و توسط Re uter به پایانه های موجبری تفرقی منجر شد.
Schneider :1999 و Wagner آنالیز جامعی از پراکندگی شبکه FDTD مربوط به عدد موج مختلط را
بیان نمود.
-2-1 مشخصه FDTD و تکنیک های حوزه زمان شبکه مکانی مربوطه
FDTD و تکنیک های حوزه زمان شبکه مکانی وابسته به آن روش های حل مستقیم معادلات ماکسول
می باشند. این روش ها بر اساس نمونه برداری از میدان های الکتریکی E و مغناطیسی H در داخل و
اطراف ساختارمورد نظر و در دوره ای از زمان می باشند. نمونه برداری مکانی در ضریبی از طول موج می
Perfectly Match Layer 1
فصل اول: معرفی روش FDTD8
باشد که به وسیله کاربر برای نمونه برداری صحیح از بالاترین فرکانس های مکانی میدان نزدیک ایجاد
می شود که این امر در فیزیک مسئله مهم است. معمولاً 20-10 نمونه در هر ?0 نیاز است. نمونه برداری
در زمان به گونه ای انجام می شود تا پایداری عددی الگوریتم تضمین شود.
به طور کلی، FDTD و تکنیک های مربوطه اش شیوه های گام زمانی می باشند که امواج
الکترومغناطیسی پیوسته در یک ناحیه مکانی محدود را به وسیله اطلاعات نمونه برداری شده عددی در
فضای اطلاعاتی کامپیوتر شبیه سازی می کنند. در فضای شبیه سازی نامحدود، ABC 1 ها در صفحات
خارجی شبکه به کار می روند تا تمام امواج از محیط با انعکاس قابل چشم پوشی از منطقه خارج شوند.
FDTD -3-1 در یک بعد
ابتدا برای آشنا شدن با روش FDTD با ساده ترین حالت آغاز می کنیم و انتشار یک پالس را در فضای
آزاد و در یک جهت بررسی می کنیم. معادلات کرل ماکسول در فضای آزاد و در حوزه زمان به صورت
زیر می باشند:
(1-1).?× H1??E?t?0(2-1).?×E1????H?0?t
Absorbing Boundary Condition 1
فصل اول: معرفی روش FDTD9
E و H بردارهای سه بعدی هستند، یعنی هر یک از دو معادله فوق نمایانگر سه معادله می باشند. ما با
حالت یک بعدی آغاز می کنیم، یعنی فقط مولفه های Ex و H y را در نظر می گیریم. در نتیجه خواهیم
داشت:
(3-1)?H y1??E.x?z?0?t(4-1)?Ex.1????H y?z?0?tمعادلات فوق مربوط به موج صفحه ای با میدان الکتریکی در جهتx و میدان مغناطیسی در جهت yاست که در جهت zمنتشر می شود.با استفاده از تقریب تفاضل مرکزی در مشتق های زمانی و مکانی داریم:1n1n11() ? H y (k ?H y (k ?1(k)2(k) ? Exn?2Exn?(5-1)22???.x?0t111n1n?1(k)2(k ?1) ? Exn?2Exn?.1???(H y (k ?) ?(k ?H y(6-1)22tx?0
در این دو معادله زمان با نماد n مشخص شده که به صورت زیر تعیین می شود:
t ? t .n(7-1)
n ?1 ، گام زمانی بعدی را نشان می دهد.
فصل اول: معرفی روش FDTD10
k نماد فاصله است که به صورت زیر مشخص می شود:
z ? z.k(8-1)
فرض می شود که میدان های E و H از نظر زمانی و مکانی یک در میان واقع شده باشند. H از
آرگومان های k ? 12 و k ? 12 برای نشان دادن این که مقادیر میدان H بین مقادیر میدان E واقع شده
اند استفاده می کند. این امر در شکل (1-1) به طور واضح نشان داده شده است. به طور مشابه n ? 12 و
n ? 12 نشان می دهند که کمی بعد یا قبل از میدان واقع شده است.
1Exn?k2k ?1k ?111H nk ?k ?y221Exn?2k ?1kk ?1
شکل(: (1-1 یک در میان قرار گرفتن میدان های E و H از نظر زمانی و مکانی در فرمول بندی FDTD
معادلات (5-1) و (6-1) می توانند در الگوریتم تکرار به صورت زیر نوشته شوند:
(9-1)1n1nt1n?1n?() ? H y (k ?[H y (k ?2 (k) ?2 (k) ? ExEx22?0 . x
فصل اول: معرفی روش FDTD11
(10-1)1n?1n?t1n1n?12 (k)]1) ? Ex2 (k ?[Ey) ?) ? H y (k ?(k ?H y?0 . x22
همان طور که در معادلات فوق مشاهده می شود محاسبات در زمان و مکان یک در میان می باشند. در
معادله (10-1) مقدار جدید Ex از مقدار قبلی Ex و جدید ترین مقادیر H y به دست آمده است. این یک
مثال ساده از الگوریتم FDTD است.
معادلات (9-1) و (10-1) بسیار مشابه می باشند، اما چون ?0 و ?0 از نظر مرتبه بزرگی بسیار متفاوت
می باشند، Ex و H y نیز از مرتبه بزرگی بسیار متفاوت خواهند بود. از این مشکل می توان با تغییر
متغیر زیر اجتناب نمود:
(11-1)E?0~0?E ?با جای گزینی معادله (11-1) در معادلات (9-1) و (10-1) داریم:(12-1)1n1nt11~ n?1~ n?2)]y (k ?) ? H. x [H y (k ? 2?0 .?02 (k) ?2 (k) ? ExEx(13-1)1~ n?1t ~ n?11n1n?12 (k)]1) ? Ex2 (k ?x [Ey?0 .?02) ?H y (k ?) ?2(k ?H xدر ابتدا xانتخاب می شود و سپس گام زمانی tبه صورت زیر تعیین می شود:(14-1)xt ?2.c0که در آنc0 سرعت نور در فضای آزاد است. بنابراین خواهیم داشت:
فصل اول: معرفی روش FDTD12
(15-1)10x 2.ct1?x ? c0 ..2x?0 .?0
آن چه در برنامه FDTD باید مد نظر قرار گیرد به شرح زیر است:
Ex -1 و H y در حلقه های جدا محاسبه می شوند و اینترلیوینگ که در بالا بیان شد در آن ها به کار
می رود.
-2 بعد از محاسبه مقادیر Ex سورس محاسبه می شود که می تواند منبع سخت یا نرم باشد. اگر منبع
مقدار مشخصی را به Ex اختصاص دهد، منبع سخت و اگر مقداری را به Ex در نقطه مشخصی اضافه
کند منبع نرم نامیده می شود.
به طور خلاصه انتخاب های زیر باید در روشFDTD انجام شود:-1استفاده از واحدهای نرمالیزه شده:معادلات ماکسول به صورت زیر نرمالیزه می شوند.(16-1)??0~0?E ?
فصل اول: معرفی روش FDTD13
دلیل استفاده از این نرمالیزاسیون سادگی در فرمول بندی می باشد. میدان های E و H مرتبه یکسانی
از مغناطیس دارند. این امر یکی از مزایایی می باشد که در فرمول بندی لایه تطبیق کامل PML به کار
می رود، که بخش ضروری در شبیه سازی FDTD می باشد.
PML -2 در شرایط مرزی:
شرایط مرزی جذب ABC مسائل مهمی در شبیه سازی FDTD می باشند. ABC از ایجاد انعکاس
در لبه های فضای مسئله جلوگیری می کند. روش های مختلفی برای این کار وجود دارد، اما ما از روش
PML استفاده می کنیم.
-3به کار بردن معادلات ماکسول با چگالی شار:در فرمول بندی معادلات ماکسول در روشFDTD از فرمول های زیر استفاده می شود.(17-1)???×H?D?t(18-1)D ? ?E(19-1)?×?E1????H?0?t
در این فرمول بندی فرض شده که مواد شبیه سازی شده غیر مغناطیسی باشند، یعنی:
H ? 1 B(20-1)
0?
فصل اول: معرفی روش FDTD14
-4-1 پایداری در روش FDTD
یک موج الکترومغناطیسی که در فضای آزاد منتشر می شود نمی تواند سرعتی بالاتر از سرعت نور داشته
باشد. برای انتشار موج در طول یک سلول حداقل زمان ممکنxt ?خواهد بود. وقتی مسئله در دوc0بعد مطرح می شود زمان انتشار بهxt ? می باشد. این شرط به نام شرط کورانت معروف است، که2c0به صورت زیر بیان می شود.(21-1)xt ?nc0که n بعد شبیه سازی می باشد.در این پروژه ما از تقریب زیر استفاده می کنیم:(22-1)xt ?2c0
-5-1 تعیین اندازه سلول:
انتخاب اندازه سلول که در فرمول بندی FDTD به کار می رود مشابه هر روش تقریب است. باید
اطمینان حاصل شود که نقاط نمونه برداری برای جایگزین شدن به اندازه کافی می باشند. تعداد نقاط در
هر طول موج به عوامل زیادی بستگی دارد. یک تقریب خوب 10 نمونه در هر طول موج می باشد. یعنی:
(23-1)?0x ?10
فصل اول: معرفی روش FDTD15
-6-1 شبیه سازی در سه بعد به روش FDTD در فضای آزاد:
شکل (2-1) نمونه ای از FDTD اصلی در سلول Yee را نشان می دهد. همان طور که در شکل نشان
داده شده است میدان های E و H به طور یک در میان در اطراف سلول Yee قرار گرفته اند که مبداء
آنها i, j, k می باشد. هر میدان E در فاصله 12 از مبداء و در جهت گرایش میدان قرار دارد و هر میدان
H در فاصله 12 از مبداء و درتمام جهت ها به غیر ازجهتی که امتداد یافته قرار گرفته است.
شکل : (2-1) سلول yee
فصل اول: معرفی روش FDTD16
حال با معادلات ماکسول آغاز می کنیم:
(24-1)~?×?H1??D0???t0(25-1)~*~r (w).E(w)D(w) ? ?(26-1)~1?H?×E??????t00
در این جا از نماد ~ اجتناب می کنیم، اما همیشه فرض می کنیم که از مقادیر نرمالیزه شده استفاده می
کنیم.
از معادلات فوق شش معادله دیگر به دست می آید:
(27-1)
(28-1)
(29-1)
(30-1)
(31-1)
.( ??Hyx ? ??Hzy )
.(??Hzx ? ??Hxz )
.(??Hxy ? ??Hyx )
.(??Ezy ? ??Eyz )
.(??Exz ? ??Ezx )
1??Dx?0 ?0?t1??Dy?0 ?0?t1??Dz?0 ?0?t1??H x?0 ?0?t1??H y?0 ?0?t
فصل اول: معرفی روش FDTD17
(32-1)(?Ey??Ex).1??H z?x?y?0??t0
اولین گام استفاده از تقریب تفاضل محدود می باشد. به عنوان مثال از معادلات (29-1) و (32-1)
استفاده می کنیم، سایر معادلات نیز به همین صورت نوشته می شوند.
) ?1, j, k ?1(H yn (i ?t(33-1)22x ?0 ?012) ? H xn (i, j ? 12 , k ? 12)
1 n?11n?1
+ Dz 2 (i, j, k ? 2) ? Dz 2 (i, j, k ? 2)
+ H yn (i ? 12 , j, k ? 12) ? H xn (i, j ? 12 , k
11(Eyn?t11 ,) ? H zn (i ?11H zn?, k) ?(i ?1, j ?2, k) ?j ?(i, j, k ?22?0 ?022(34-1)x211, j ?1, k) ? Exn?11, k) ? Exn?11Eyn?, j, k)(i ?2(i ?2(i, j ?2222
-7-1 خواص الکترومغناطیسی در مرز بین دو سلول:
برای سلول های مرزی یعنی سلول هایی که در مرز بین دو محیط واقع شده اند خواص مغناطیسی
ازقبیل ضریب دی الکتریک و نفوذ پذیری مغناطیسی باید محاسبه شوند. افرادی