Hu
میرایی  ماتریس تابع انتقال سرعت روش عددی

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

Hv
میرایی جعلی روش عددی

 ماتریس یکه I
ماتریس متغیر حالت υ ماتریس سختی K
فرکانس طبیعی سازه n ماتریس جرم M
فرکانس عددی n خطای کشیدگی دوره تناوب PE

عددی
۱- مقدمه
روشه ای ع ددی انتگ رالگی ری مس تقیم ب رای محاس به پاسخهای دینامیکی سازهها از دهـه ۷۰ مـیلادی توسـعه دادهشدهاند و معموًلًا در دو دسـته طبقـهبنـدی مـی شـوند. یکـی براساس حل مستقیم معـادلات تعـادل مرتبـه دوم و دیگـریتبدیل معادله مرتبه دوم به مرتبه اول و انتقـال آن بـه فضـایحالت. روشهـای مرتبـه دوم بـه دو نـوع صـریح و ضـمنیتقسیمبندی میشوند که هرکدام نیز میتوانند در قالـب تـکگامی و یا چنـد گـامی قـرار گیرنـد [۱]. پا یـداری مشـروط ، خطای کشیدگی دوره تناوب، خطای کـاهش دامنـه، خطـای وجود فرکانسهای جعلی و وابستگی این روشها به انـدازه گام زمانی از مشکلات این روش ها است. لـیکن، روش هـایمرتبه دوم بهصورت گستردهای مورد استفاده قرار گرفتهاند و در بین آنها تعـدادی دارای کـاربرد بیشـتر هسـتند . محققـینمختلف در گذشته تحقیقات جامعی را در زمینـ ه روشهـایمرتبه دوم انجام دادهاند. بته و ویلسون [۲]، وود [۳] و هیـوز [۴] تعدادی از روشهای عددی را معرفی نمودند. دوکـانیش و ساباراج [۵] بررسـی دقیقـی از روشهـای عـددی قبـل اززمان خود را ارائه دادند. از میان روشهای مرتبه دوم، روش شـتاب متوسـط نیومـارک ، علیـرغم دقـت مناسـب پایـداری نامشروط، دارای خطای فرکانسهای جعلی بـوده و توانـاییحذف اثر نامطلوب مدهای بالا را ندارد. با ایـن وجـود، ایـنروش پرکاربردتر از بقیه روشها است. برای دستیابی بهدقتی بالاتر و فائق آمدن بر مشکل پایداری و دقـت در روشهـایمرتبه دوم، با کاهش مرتبه و تبدیل معادلات به فضای حالت، روشهای عددی مرتبه اول بهوجود میآیند. این روشها نیز دارای مشکلات پایداری، دقت و خطـا ی معکـوس مـاتریس حالت هستند. اگر ماتریس حالت منفرد و یا بـدحالت باشـد، خطای بزرگی در محاسبات وارد میشود. محققـ ین مختلـفدر سـال اهـ ی اخیـر تحقیقـات جـامعی را د ر زمینـه تحلیـل دینـامیکی در افضـ ی حالـت انجـام دادهانـد. در سـال ۱۹۹۴ توسط زانگ و ویلیام روش مرتبه اولی معرفی شد کـه در آن با یک تغییر متغیر، معادله مرتبه دوم بهروش مرتبه اول تبدیل میشود [6]. روش آنها به HPD-L۱ معروف شد. ایـن روشبراساس معادله تعادل دینامیکی تحت اثر بـار خطـی اسـتواربوده و در نقـاط انتگـرالگیـری جـواب دقیقـی را بـهدسـتمیدهد. لیکن دقت این روش بهدلیل خطـای ذاتـی مـاتریسمعکوس و معادلسـازی نیـرو، بـه ویـژه زمـانی کـه سیسـتمغیرهمگن است، بسیار کاهش مییابد. شـن و همکـاران [۷] روشHPD-F ۲ را برای معادله تعادل غیرهمگن ارائه نمودند؛ لیکن دقت آن نیز با معادلسازی بار و خطای معکوسسـازیماتریس حالت کاهش مـی یافـت. گوانژیـان و همکـاران [۸] نسخه جدیدی از PIM۳ را با استفاده از روش بسـط ابعـادی ارائه کردند که معادله غیرهمگن را به معادلـ ه همگـن تبـدیلمیکند. محاسبات ا یـن روش نیازمنـد فضـای ز یـادی بـرای ذخیرهسازی بوده و با وجود اینکه نیازی به محاسبه معکوس ماتریس حالت ندارد، لیکن استفاده از آن غیرکاربردی اسـت. ونگ و ژو [۹] با بررسی جزئ یـات پا یـداری مـدل گوانژیـان نشان دادند که این روش دارای پایداری مشروط است. ونگ و آوو [۱۰] روش PTSIM۴ را ارائــه نمودنــد کــه در آن از روش گوس برای حل معادلات استفاده شده است. دقت این روش تنها به تعداد نقاط گوسی و اندازه گـام زمـانی وابسـته است؛ لیکن این روش دارای پایداری مشروط است. ونـگ وآوو [۱۰] روش NICPIM ۵ را ارائه نمودند که بـا اسـتفاده ازروش تجزیه ماتریس، نیاز به محاسـبه معکـوس مـاتریس رابرطرف ساخته و پایـداری آن را نامشـروط گـزارش کردنـد.لیکن، این روش نیز در صورت منفـرد بـودن و یـا بـدحالتبودن ماتریس حالت، دارای خطای بالایی است.

هدف روشهای مرتبه اول پیشنهاد شده تا به امروز بهبود روش پایداری، دقت و حـذف اثـر معکـوس مـاتریس بـودهاست. در نهایت وو و چوانگ [۱۱] مـدل جدیـدی از روشPIM را ارائه دادند کـه بـا اسـتفاده از اثـر بـازخورد دقـت وپایداری روش PIM را بهبود بخشـید: لـیکن ایـن روش نیـزدارای خطای معکوسسازی ماتریس حالت است.
با توجه به مشکلات ذکر شده فوق در تحقیقات پیشـین،در این مقاله روش مرتبه اول برای معادلات نـاهمگن تحـتبارگذاری دینامیکی درنظر گرفته شده است. از آنجا کـه ایـنروش دارای دقت و پایداری مطلوب اسـت ، در ایـن تحقیـقسعی شده است تا خطای محاسبه ماتریس معکوس برطـرفشود از اینرو با بهکارگیری روش محاسبه مـاتریس معکـوسبا استفاده از مقادیر ویژه ماتریس6 (SVD) این خطـا حـذفشده است. نتایج بیانگر آن است که دقت روش پیشنهاد شده بهمراتب بهتر از روشهـای مرتبـه اول پیشـین و مرتبـه دومرایج نیومارک است.

٢- فرمولبندی روش بهکار رفته در تحقیق
در این بخش به معرفی الگوریتم بهکار گرفته شده و توسـعهداده شده در مقاله پرداخته میشود. این بخش شامل چنـدینزیربخش اصلی است که شامل تئـوری روش انتگـرالگیـریدقیق مرتبه اول PIM، بررسـی پایـداری روش، فیلتـر کـردنپاسـخهـای جعلـی و روابـط مـورد نیـاز بـرای دقـت روش هستند.

٢-١- تئوری روش انتگرالگیر ی دقیق (PIM) این روش برخلاف تمام روشهای مرتبـه دوم قبـل از خـودبهاندازه گام زمانی حساس نبوده و در مقایسه بـا آنهـا دارای دقت بالاتری اسـت . معادلـه تعـادل دینـامیکی مرتبـه دوم رابهصورت رابطه (۱) درنظر بگیرید:

M (t)+x C (t)+xK (t) =x F (۱)

که در آن معادله M مـاتریس جـرم،C مـاتریس میرایـی،K ماتریس سختی و F بردار نیروهای خارجی را نشان میدهـدو X, ، X وX بهترتیب بیانگ ر جابهجایی، سرعت و شـتابدرجات آزادی سازه هستند. در روش PIM با انتقـال معادلـه مرتبه دوم (۱) به معادلات مرتبه اول در فضای حالت، معادله(۲) بهدست میآید:
111252-99074

X D υ== Aνcν+EcF ,
 0I
Ac = -M1K-M1C ,
 
Ec = M01 D,= I 0 , ν    xx (۲)

219303659842

کـه در آن υ متغیـر حالـت، Ac مـاتریس حالـت، D مـاتریس کوپلینگ ورودی- خروجی، Ec ماتریس ورودی نامیده میشـودو کنترل کننده F است. اگر Ec صفر باشد کنترلی روی F وجود نداشته و مستقل از زمان خواهد بـود [۱۲]. فـرم گسسـته شـده معادله (۲) بهصورت معادله (۳) نوشته میشود:

νt = eActν0 +eAc t0t eAc tEc F  s ds , νn1 = Tνn +E F0 n +E F1 n1
E0 = Ac1T+ 1 Ac2(I T- )Ec ,
Δt

(۳) E1 = -Ac1+Δ1t Ac2(T I- )Ec که در آن eAct ، ماتریس انتقال حالت نامیده مـی شـود و دقـتروش وابسته بهدقت محاسبه مـاتریس انتقـال حالـت اسـت . در معادله (۳) ماتریس T(Δt) بهصورت رابطه (۴) نوشته میشود:
m
T( t) eAct eAc

mt  eAcm T( ) m (۴)

در این مقاله بنا بر پیشنهاد مولار و لـئن [۱۳] m 2N و بنـابر پیشنهاد وو و چوانگ [۱۱] ۵ یا ۴=N درنظر گرفتـه شـدهاست. T( ) با استفاده از بسط سری تیلور بهصـورت رابطـه
(۵) محاسبه میشود:
T( )  I Ta0 , Ta0Ac
 Ac 2  Ac 3 AcL (۵)
36499852323

……

2!3!L!
که در آن I ماتریس واحد است و بـه دلیـل دقـت مناسـب چنـدجمله نخست سری تیلور از محاسبه جملات بالاتر صـرف نظـرشـده و بنـا بـر پیشـنهاد ونـگ و آوو، محاسـبات بـرای ۴ L= صورت میگیرد [۱۰] و بهصورت رابطه (6) نوشته میشود:
(6) T(t)  ITa02N براساس روابط بازگشتی ماتریس Tai بـه صـورت رابطـه (۷) بازنویسی میشود:
ITa02  I  2Ta0 Ta0Ta0  I Ta1
2
ITa1  I  2Ta1 Ta1Ta1 I  Ta2

ITa(N )12  I 2 Ta(N )1 Ta(N )1Ta(N )1  I TaN
0
ITaN ΙTa(N )1 2 ITa(N )2 4….. ITa 2N
(۷)
مقدار Taiها بسیار کوچک هسـتند و بـرای اجتنـاب از گـردشدن و حذف مقادیر در خلال محاسبات کامپیوتری، مقـادیرآنها محاسبه و با ماتریس یکه جمع میشـود . بـدین صـورت،دقت محاسباتی ماتریس T(Δt) افزایش مییابد [۱۱]. مطـابقرابطــه (۳) محاســبه پاســخ ســازه در روشPIM نیازمنــد محاسبه معکوس ماتریس حالت Ac است؛ بنابراین زمانیکـهماتریس حالت منفرد و یـا بـدحالت باشـد محاسـبات دارایخطا خواهد بود. در این مقاله برای اجتنـاب از ایـن خطـا ازروش معکوس ماتریس SVD استفاده شده است.

٢-٢- پایداری روش PIM
در معادلات فضای حالت، تابع تبـدیل بیـان کننـده مشخصـاتسیستم اسـت و در ایـن حالـت بـه صـورت کلـی تـابع تبـدیلبهصورت لاپلاس خروجی به لاپلاس ورودی و در شرایط اولیه صفر بیان میشود؛ بنابراین با گرفتن لاپلاس از طرفین رابطه (۲) تابع تبدیل به صورت رابطه (۸) به دست میآید:
493014-66789

s (s)Xν(s) Cν( )ν0(s) Acν(s)EcF(s)  (sIAc) (ν s) EcF(s)
X(s) C I(s Ac)1 Ec (s)F
X(s)  G(s) (s)F G(s) C(sIAc)1  C adj(sIAc)
2062734-45956

det sIAc
(۸)
(G(s بیانگر تابع تبدیل است. باتوجه به رابطه ٨، تـابع تبـدیل یـاG(s) همـواره بـهصـورت یـک تبـدیل کسـری بـهصـورت G(s)  Y(s) / R(s) است کهY(s) معـرف لاپـلاس ورودی وR(s) ریشههای

det

sIAc معرف لاپلاس خروجی است. ریشههای R(s) معادلهی مشخصه سیستم حالت نامیده میشود و این ریشهها را قطبهای تابع تبـد یل مـی نامنـد. نـوع پاسـخزمانی و پایداری روش توسط قطـب هـای تـابع تبـدیل بیـانمیشوند. گـاهی برخـی از قطـبهـا حـذف مـیشـوند کـهاصطلاحًاً به آن حذف صفر- قطب گوینـد. در ایـنصـورتبرخی از مقادیر ویژه ماتریس Ac جزء قطبهای تابع تبـدیلنخواهد بود. در روش PIM مقادیر ویژه ماتریس بـه صـورت زیر است:

det sIAc 0
39624-323745

511302-323745

Ms-1K sMI-1C   0s2 2  s 2 0 , (۹)
1290828-63039

s  2 1i 12 , i  1

s مقادیر ویژه ماتریس Ac و M مـاتریس جـرم،K مـاتریسسختی،  فرکانس سازه و  میرایی سازه است. در حالـتکلی قطبها را بهصورت s   i نمایش میدهند کـه بیانگر شیب میرایی و  نیز فرکانس نوسان را نشان میدهد. در مختصات قطبی با نزدیک شدن بـه محـور مجـازی (j ) میرایی کم و فرکانس میرایـی افـزایش مـییابـد و در سـمتچپ با نزدیک شدن به محور افقی شیب میرایی افزایش پیدا میکند و چنانچه نزدیک شدن به محور افقی از سمت راست محور باشد شیب نامیرایی افزایش مییابد [۱۴]؛ ایـن مفهـومدر شکل (۱) نشان داده شده است.
با توجه به قرارگیری قطبهـا، مـیتـوان در مـورد شـرایطپایداری سازه اظهارنظر نمود. انواع پایداری که در فضای حالت تعریف میشود تحت عنوان پایداری BIBO، پایداری داخلـی وپایداری مرزی است. اگر حذف صفر- قطب اتفاق افتد سیسـتمپایداری داخلی نخواهد داشت [۱۴]. برای تعیین ایـن موضـوع، یعنی اتفاق و یـا عـدم اتفـاق حـذف صـفر- قطـب ، دو معیـاررؤیتپذیری7 و کنترلپذیری8 تعیین میشود. بـا انجـام آزمـونکنتـرلپـذیری و رؤیـتپـذیری بـرای روش PIM، ایـن روش کنترلپذیر و رؤیتپذیر بوده و نیز حذف صفر- قطب صـورت

شکل ۱- جانمایی قطبها در مختصات قطبی

نگرفته و بنابراین سیستم دارای پایداری داخلی اسـت. در روش PIM تمامی قطـب هـا سـمت چـپ محـور j حـادث شـده وقطبهای مکرر نیز وجود ندارد، بنابراین سیسـتم دارای پایـداری BIBO و پایداری مرزی است. در نتیجه مقـادیر ویـژه مـاتریسAc را میتوان بهعنوان قطبهای تابع تبدیل درنظر گرفت. برای پایدار بودن یک روش باید شعاع طیفی (Ac) کوچکتر از یک باشد. شعاع طیفی بیشترین مقدار مقادیر ویژه مـاتریسAc اسـت . در روش PIM مقادیر ویژه ماتریس Ac بهصورت رابطه (۱۰) است:
161904010234

219280310234

 1 2,  iet(cos tisin  t) ,
61703916785

 max(  1 , 2 ) (۱۰)

برای بررسی پایداری روش ذکر شـده، یـک سـازه یـک درجـهآزادی برای تحلیل تحت ارتعاش آزاد درنظر گرفته شده اسـت.
1248918485498

در سیسـتم مـورد مطالعـهM=×(kg) و K=× (kN/m) است. توسط برنامه تهیه شـده در محـیطMATLAB تغییـراتشعاع طیفی روش PIM در برابرdtT که T پریود اصـلی سـازهاست، بهصورت شکل (۲) بهدست آمده است.
با توجه به شکل (۲) این روش بهازای 4N  پایدار اسـتو پیشنهاد 4 5N   توسط وو و چوانگ را تأیید میکند [۱۱].
6941826704

2102358498956

شکل (۲) نشان میدهد که برای 6 /05 10dtT   بهازای تمـاممقادیر N روش PIM بهصورت نامشروط پایدار است. لیکن اگر 6 /05 10dtT   باشد مقادیر N تعیین کننـده بـوده و بـهازایN≥ روش PIM نامشروط است.
٢-٣- فیلتر کردن پاسخهای جعلی فرکانسهای مرتبه بالا در مسائل دینامیکی مودهای اول بیشترین تـأثیر را در پاسـخهـا داشته و پاسخ فرکانسهای مرتبه بالاتر گاهی جعلی و نادرسـت بوده، دقت محاسبات را کاهش داده و گـاهی سـبب ناپایـداری عددی میشوند؛ بنابراین این فرکانسها مطلـوب نبـوده و بهتـراست فیلتر شوند. در سیستمهای خطی در صورت کنتـرل پـذیربودن، میتوان با طراحی کردن کنترل کنندهای مبتنی بر بازخورد سیستم، پایداری داخلی سیستم را تضمین نمود که باعث کاهش حساسیت مدل و حذف اثر اغتشاشات میشود. در سیستمهـایخطیمستقل از زمان9 (LTI) این کنترل کننـده تـابعی خطـی ازυ(t) درنظر گرفته میشود [۱۴].
(۱۱) F(t)Kυ(t) K در ایـن روابـط کنتـرل کننـدهای شـامل ترکیبـات خطـی متغیرهای حالت سیستم اسـت و مـاتریس بهـره حالـت نامیـدهمیشود. علامت منفی تنها در اینجا اشـاره بـه مفهـوم بـازخوردمنفی داشته و بسته به تحققهای مختلف K میتوانـد مثبـت یـامنفی باشد. تنها بهدلیـل پایـداری سیسـتم در بـازخورد منفـی درپایدارسـازی سیسـتم از علامـت منفـی اسـتفاده شـده اسـت. بـا جایگزینی رابطه (۱۱) در رابطه (۲)، رابطه (۱۲) بهدست میآید:

93730-49861

Xν (t)AcνD( (t)tν)kEcν(t)  (AckEc) (ν t) Ac (t)ν (۱۲)

اگر خاصیت پایداری داخلـی مـدنظر باشـد، کـافی اسـتK بهگونهای انتخاب شود که مقادیر ویژه Ac

همگی در صفحه سمت چپ محـورj قـرار گیرنـد. بـا محاسـبه بـازخوردسیستم و یا جایابی مطلوب قطـب هـا از اثـر اغتشاشـات بـرسیستم و اثر پاسخهای جعلی فرکانسهای مراتب بالا کاسـتهمیشود. در روش PIM با محاسبه بازخورد سیستم مـاتریسمیرایی تحت عنوان Ca به ماتریس میرایی C اضافه میشود [۱۱].
طبق معادله (۱۳) پارامتر Ca ترکیب خطی از ماتریس سـختی K و t است:
(۱۳) C     C Ca C 2 K t با توجه به بـازخورد سیسـتم، مقـدار شـعاع طیفـی بـهصـورت که در آن ωn فرکـانس طبیعـی سـازه بـوده و ضـریب میرایـیسیستم باید به مقدار  که بـا رابطـه (۱۵) تعریـف مـیشـود ، اصلاح شود:
  C2  M2 K tn 2

  • 1

دیدگاهتان را بنویسید