2- فرمولبندی روش مرسوم
برای سادگی کریستال فونونیک دوبعدی درنظر گرفته میشـو د .
این فرمولبندی را میتوان به آسانی به حالت سه بعدی تعمـیمداد .آخالها در راستای محور z قرار گرفته و درون صـفحهxy تکرار میشوند. انتشار امواج الاسـتیک بـا معـادلات زیـر قابـلتوصیف است:
 vi ij,j (1) v ui  i (2)
(3)  ij Cijmnum,n در این معادلات ui ، Cijkl(x,y) ،(x,y) وvi بهترتیـب چگالی، تانسور استحکام الاستیک13، مؤلفـهi ام جابـه جـا یی و مؤلفه i ام سرعت ساختار است. قرارداد جمع روی اندیسهـا ی تکراری اعمال میشود. با توجه به فرض انتشار موج الاسـتیکدرون صفحه xy، جابهجایی، سرعت و تانسور تنش شبکه بـهz بســتگی نــدارد یعنــی:ui  u (x,y,t)i و vi  v (x,y,t)i و
. ijij(x,y,t)
حال معادلات (1) تا( 3) را میتوان گسسـته سـازی و بـا روشمرسوم تفاضل محدود در حوزه زمان حل کرد. فرض کنید کـ ه آخالها و زمینه ایزوتروپیک باشند و مد ترکیبی مورد نظر باشد ،در آن صورت فرم گسستهسازی شده معـادلات (1) تـا ( 3) در گره نمونه (l,m) در گام زمانی n+1 بهصورت زیر بیان میشود: (4) v1l,m;n12/ v 1l,m;nt / l,m12/ [(11l12/ ,m;n 11l12/ ,m;n )/ x 
(12l,m12/ ;n 12l,m12/ ;n )/ y ]
v2l12/ ,m12/ ;n12/   t /v2ll12/ ,m12l/ ,m ,m12/ ;n12// ;n[(12/22l12/ ,ml,m121/ ;n;n )/ x22l12/ ,m;n])/
y( 1211212
(5)
u1l,m;n1 u1l,m;n v1l,m;n12/ t
u2l12/ ,m12/ ;n1 u2l12/ ,m12/ ;n v2l12/ ,m12/ ;n12/ t
11l12/ ,m;n  C(u11l2l12/ ,m12/ ,m(u121/ ;nl1,m;nu2l12u/ ,m1l,m;n12)/ ;n/ x )/ yC12l12/ ,m( )8
12l,m12/ ;n (Cu44l,ml12/ ,m12/ [(12u/ ;n1l,m1;nu2l12/ ,mu1l,m;n12/ ;n) /) /yx] (9)
2
22l12/ ,m;n  C 11l12/ ,mCl(12u/ ,m2l12/ ,m(u1l112,m;n/ ;n uu2l1l,m;n12/ ,m)/12/ ;nx )/( )10
y12

معادله( 4) نشان میدهد که برای بهروزرسانی مؤلفه x سـرعتدر گره (l,m)، لازم است تا مؤلفههای تانسـور تـنش در چهـار مختصــــات (یعنـــ ی:12l,m12/ ;n ،11l12/ ,m;n ،11l12/ ,m;n و 12l,m12/ ;n) محاسبه شود .همان طـور کـه معـادلات( 8) و( 9) نشان میدهد محاسبه هر یک از این مؤلفههای تانسور تنش بـهعملیات پایه حسابی قابل توجهی نیاز دارد. برای بهدست آوردن طیف عبور یک کریستال فونونیـک از مؤلفـه هـا ی جابـه جـا یی تبدیل فوریه گرفته میشود. بنابراین مؤلفـه هـای تانسـور تـنشمحاسبه شده تأثیر مستقیمی در محاسبات ندارند.

3- فرمولبندی بر مبنای جابهجایی
همانطور که در بخش 2 گفته شد، روش مرسوم تفاضل محدود در حوزه زمان به محاسبه مؤلفههای تانسور تنش نیـاز دارد کـهاین مؤلفهها تنها در بهروزرسانی مؤلفههای جابـه جـایی کـاربرددارند. با بهدست آوردن فرم بر مبنای جابهجایی معادلات مـوجالاستیک و گسستهسازی معادلات نتیجه، مـی تـوان مؤلفـه هـا ی تانسور تنش را از معادلات بهروزرسانی حذف کـرد. ایـن کـارمعادلات بهروزرسانی بهینه را حاصل میدهد که به عملیات پایه حسابی کمتری نسبت بهروش مرسوم تفاضل محدود در حـوزهزمان نیاز دارد. بنابراین هزینه محاسباتی مورد نیاز این معادلات بهروزرسانی بهینه از روش مرسوم کمتر است .فرایند اسـتخراجاین معادلات بهروزرسانی در ادامه توضیح داده میشود.
برای نقاط دور از تداخل آخال و زمینه میتوان نوشت:
 ij,j Cijmnum,nj
با قرار دادن معادله( 11) در معادله( 1) فرمولبنـدی بـر مبنـایجابهجایی معادلات انتشار موج الاستیک در کریستال فونونیـکبهصورت زیر بهدست میآید:
 v Ciijmnum,nj
حال مـی تـوان بـا اسـتفاده از تفاضـل محـدود، معادلـه بـر مبنـای (17)
جابهجایی( 12) را در هر دو حوزه زمان و مکان گسستهسازی کرد .
فرم گسستهسازی شده معادله( 12) که در این مقالـه روش تفاضـلمحدود بر مبنای جابهجایی در حوزه زمان نامیده میشـو د در ادامـهارائه میشود. برای گسستهسـازی معادلـه ( 12) همـه مشـتقات بـاتقریب تفاضل مرکزی14 جایگزین شدهاند. معادلات بـه روزرسـانی حاصل را میتوان برای بهدست آوردن سرعت و جابهجـا یی نقـاطغیرتداخلی15 شبکه بهکـار بـرد. بـرای نقـاط تـداخلی شـبکه فـرمگسستهسازی شده معادلات (1) تا( 3) اعمال میشود .
فرض کنید که جنس ماده آخال و زمینه ایزوتروپیک باشـد.
برای مطالعه مد ترکیبی در این حالت معادله( 12) بهصورت زیر قابل بازنویسی است:
 v1C u11 111, C u44 122, (C12 C )u44 212,
,44 211 v2 C u11 222, (C12 C )u44 112, C u برای نمایش مناسب فرم گسستهسـازی شـ ده معـادلات ( 13) و
ضرایب زیر معرفی میشوند:
 1l,mC11l,m / x 2
 2l,mC44l,m / y 2
 l,m3(C12l,m C44l,m)/( x y  )

1l12/ ,m12/  C11l12/ ,m12/ / y 2
2l12/ ,m12/  C44l12/ ,m12/ / x 2
3l12/ ,m12/  (C12l12/ ,m12/ C44l12/ ,m12/ )/( x y  )
ضرایبی را که معادله( 15) معرفی میکند میتوان قبـل از حلقـهزمانی روش تفاضل محدود بر مبنای جابهجایی در حوزه زمـانمحاسبه و در ماتریسهای مناسب ذخیره کرد. در این صورت به محاسبه آنها در هر گام زمانی نیازی نیست .گسستهسازی معادله (13) با استفاده از تکنیک تفاضل محدود به معادلـه زیـر منجـرمیشود:
v1l,m;n12/  v1l,m;n12/   ( t / l,m )
که در آن:
  2( 1l,m2l,m )u1l,m;n 1l,m (u1l1,m;n  u1l1,m;n )
2l,m (u1l,m1;n  u1l,m1;n )l,m3 (u2l12/ ,m12/ ;n 

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

u2l12/ ,m12/ ;n  u2l12/ ,m12/ ;n u2l12/ ,m12/ ;n )
فرم گسستهسازی معادله( 14) بـه صـورت زیـر قابـل توصـیف :است v2l12/ ,m12/ ;n12/ (v 2lt /12/ ,ml12/ ,m12/ ;n1212// ) (18)
که در آن:
 2( 1l12/ ,m12/ 2l12/ ,m12/ )u2l12/ ,m12/ ;n 
1l12/ ,m12/ (u2l12/ ,m3 2/ ;n  u2l12/ ,m12/ ;n ) 

2l12/ ,m12/ (u2l3 2/ ,m12/ ;n  u2l12/ ,m12/ ;n ) 
l312/ ,m12/ (u1l 1,m 1;n  u1l1,m;n  u1l,m1;n  u1l,m;n )
(19)
سپس مؤلفههای جابهجایی ساختار توسـط معـادلات( 6) و(7) قابل بهروزرسانی است. بـا مقایسـه معـادلات( 16) و( 17) بـامعادلات (4)، (8) و( 9) بهینه بودن روش تفاضـل محـدود بـرمبنای جابهجایی در حوزه زمان به آسانی قابل درک است. ایـنمقایسه نشان میدهد که عملیات پایه حسابی معـادلات ( 16) و
(17) در حدود 50 درصد کمتر است.

4- مثالهای عددی
فرض کنید که موج الاستیک درون صفحه xy منتشـر مـی شـو د .
بنابراین جابهجایی شبکه و تانسور تنش آن به z بستگی ندارد. با

شکل 1 – کریستال فونونیک با آرایش مربعی فولاد در اپوکسی: نمونهای با 5 سلول واحد (سمت چپ)، ناحیه بریلئون کاهش یافته (سمت راست)

این فرض، مد ترکیبی که جابهجایی آن درون صـفحهxy اسـتاز مد جانبی16 که جابهجایی آن در راستای محور z است مجـزامیشود. در مثالهایی که در ادامه مـی آیـد، انتشـار مـد ترکیبـیدرون صفحه xy تحلیل میشود. در محاسبات عـددی، آرایـشمربعی استوانههـا ی فـولادی در زمینـه اپوکسـی درنظـر گرفتـهمیشود. در اعمال روش تفاضل محدود بر مبنای جابه جـایی در حوزه زمان، شبکهای متشکل از 60×60 نقطه در سـلول واحـدفرض میشود. چگالی و ثابتهـا ی الاسـتیک 11C و 44C فـولاد بهترتیب 7780 کیلوگرم بر مترمکعـب، 264 و 81 گیگاپاسـکالاست. این مقادیر برای اپوکسـی بـ هترتیـب 1142 کیلـوگرم بـرمترمکعب ،54/7 و 48/1 گیگاپاسکال است. معـادلات حرکـتدر ضمن217 گام زمانی حل شدهاند. مثالهای عددی بـه کمـک یک برنامه که براساس پردازش موازی در نرمافزار فرترن نوشته شده است محاسبه شدهاند. برنامه فوق گرههای شبکه را به چند بخش تقسیم و بهروزرسانی جابهجایی هر یک از این بخشهـارا به یک هسته پردازنده محول میکند.

4-1- کریستال فونونیک فولاد در اپوکسی بهعنوان مثال اول، عبور امواج الاستیک توده ای17 درون کریستال فونونیک مربعی فولاد- اپوکسی بررسی میشـو د. ثابـت شـبکه وش عاع اس توانهه ای ف ولادی ب هترتی ب a و r هس تند. نس بت پرکنندگی18 ( 2 2f r /a) 4/0 فرض میشـو د. بـرای محاسـبهطیف عبور کریستال فوق نمونهای متشکل از 5 سـلول وا حـ د در راستای x و یک سلول واحد در راستای y درنظر گرفته میشـو د (شکل (1)). این نمونـه در راسـتایГX ناحیـه بریلئـون19 قـرارگرفته و توسط دو ناحیه همگن احاطه شده است. بهعنوان شـرطمرزی جاذب20، در راستای محور x از لایههـا ی کـاملاً منطبـق21 [22 -21] استفاده شده است. برای مرزهایی که در راستای y قرار دارند شرط مرزی متناوب اعمال شـد. در ناحیـه همگـن سـمتچپ یک موج گوسی در راستای x ایجاد شده اسـت . بـا اعمـالتبدیل فوریه به میانگین مؤلفه x جابهجایی (مؤلفه y جابـه جـا یی) نقاط واقع روی خطی با طول ثابت شبکه در ناحیه همگن سمت راست، طیف عبور امواج طولی (عرضی) بهدست میآیـد . شـکل(2) طیف عبور کریستال را برای حالتی که موج اعمالی طولی یـاعرضی باشد نشان میدهد. ایـن نتـایج بـه کمـک روش تفاضـلمحدود بر مبنای جابهجایی در حوزه زمان بهدست آمده است.
شکل( 2) نشان میدهد که در محدوده فرکانسی بدون بعد 8/3 تــا 7/8 کریســتال از انتشــار مــوج الاســتیک در راســتایГX جلوگیری میکند خواه موج اعمالی عرضی باشد خـواه طـولی.بهعبارت دیگر شکل( 2) نشان میدهد که یـک شـکاف22 بـین8/3 تا 7/8 وجود دارد. شکاف نواری محاسبه شـده بـر نتیجـهمحاسبه شده از روش مرسوم تفاضل محـدود در حـوزه زمـانبسیار منطبق است (5/8-8/3) [23].
زمان مورد نیاز برای محاسـبه طیـف عبـور مـوج طـولی (یـاعرضی) در روش تفاضل محدود بر مبنای جابهجـا یی در حـوزهزمان 3 دقیقه و 28 ثانیه و برای روش مرسوم تفاضل محـدود درحوزه زمان 5 دقیقه و 47 ثانیـه اسـت. محاسـبات بـه کمـک 10 هسته پردازنـده GHz Intel Xeon CPU3 انجـام شـده اسـت. دربهدست آوردن طیف عبور، سلول واحد بـه شـبکهای متشـکل از60×60 نقطه گسستهسازی و معادلات در طی216 گام زمانی حل شدهاند. بنابراین زمان محاسباتی روش تفاضل محدود بـر مبنـایجابهجایی در حوزه زمان 40 درصد از روش مرسوم کمتر است.

4-2- هدایت کننده کریستال فونونیک ابرسلولی23 متشکل از 12×5/8 سلول واحد درنظر گرفتـه شـدهاست. عرض هدایت کننده( فاصله بین دو اسـتوانه همسـایه در دو سمت هدایت کننده) 6 میلیمتر است. شرایط مـرزی ماننـد مثال قبل است. دو ناحیه همگن ابرسلول را احاطه میکنند. یکموج گوسی در راستای محور x در ناحیه همگـن سـمت چـپایجاد میشود. معادلات حرکت طی 2 گام زمـانی کـه هـر یـک08/7 نانو ثانیه طول میکشد حل شدهاند. با اعمال تبدیل فوریه به میانگین مؤلفه x جابهجایی روی عـرض هـدایت کننـده (درناحیه همگن سمت راست) و همپایـه نمـودن24 آن بـه کمیـتمتناظر در حالتی که بهجای کریستال فونونیک نیز ناحیه همگـنقرار گیرد، ضریب عبور محاسبه مـی شـو د. شـکل (3) ضـریبعبور هدایت کننده را برای موج اعمالی طولی نشـان مـی دهـ د .این شکل بهکمک روش تفاضل محدود بر مبنای جابهجـا یی در حوزه زمان بهدست آمده است.
شکل (3) نشان میدهد کـه بـرای فرکـانس هـا ی زیـر 104 کیلوهرتز و محدوده فرکانسی 156 تا 175 کیلوهرتز یک شکاف وجود دارد. روش مرسوم تفاضل محدود در حوزه زمـان نشـانداده است که برای فرکانسهای زیر 102 کیلـوهرتز و محـدوده155 تا 172 کیلوهرتز شکاف وجود دارد [15]. بنـابراین روش تفاضل محدود بر مبنـای جابـه جـا یی در حـوزه زمـان و روش

شکل 2 – طیف عبور کریستال در راستای ГX که بهکمک روش تفاضل محدود بر مبنای جابهجایی در حوزه
زمان بهدست آمده است: موج اعمالی طولی (خط پر) و عرضی (خط تیره)

شکل 3 – ضریب عبور هدایت کننده که توسط روش تفاضل محدود بر مبنای جابهجایی در حوزه زمان محاسبه شده
مرسوم تفاضل محدود در حوزه زمان تطابق بسیار خوبی دارند.

5- نتیجهگیری
در این پژوهش روش تفاضل محدود بر مبنـای جابـه جـا یی در ح وزه زم ان ب رای ش بیهس ازی انتش ار م وج درون کریس تال فونونیک ارائه شده است. در ابتـدا فـرم بـر مبنـای جابـه جـا یی معادلات موج الاستیک استخراج و پس از آن ایـن فـرم توسـطروش تفاضل محدود گسستهسازی شده است.
انتش ار ام واج الاس تیک درون کریس تال فونونی ک مربع ی فولاد- اپوکسی و هدایت کننده مربوطه بهکمک الگوریتم جدید بررسی شده است. مقایسه ضریب عبـور محاسـبه شـده توسـطروش تفاضل محدود بر مبنـای جابـه جـا یی در حـوزه زمـان وروش مرسوم تفاضل محدود در حوزه زمان کارآمدی الگـوریتمجدید را برای تحلیل کریستال فونونیک تأیید میکند. همچنـینمقایس ه هزینــه محاســباتی روش تفاضــل مح دود بــر مبنــایجابهجایی در حوزه زمان و روش مرسـوم تفاضـل محـدود در
مراجع
Position of the Additional Rod”, Physics Letters A, Vol. 362, pp. 494-499, 2007.
Wu, B., Wei, R., Zhao, H., and He, C., “Phononic Band Gaps in Two-Dimensional Hybrid Triangular Lattice”, Acta Mechanica Solida Sinica, Vol. 23, pp. 255-259, 2010.
Tanaka, Y., Tomoyasu, Y., and Tamura, S., “Band Structure of Acoustic Waves in Phononic Lattices: Two-Dimensional Composites with Large Acoustic Mismatch”, Physical Review B, Vol. 62, pp. 73877392, 2000.
Hsieh, P., Wu, T., and Sun, J., “Three-Dimensional Phononic Band Gap Calculations Using the FDTD Method and a PC Cluster System”, IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control, Vol. 53, pp. 148-158, 2006.
García-Pablos, D., Sigalas, M., Montero de Espinosa, F. R., Torres, M., Kafesaki, M., and García, N., “Theory and Experiments on Elastic Band Gaps”, Physical Review Letters, Vol. 84, pp. 4349-4352, 2000.
Khelif, A., Deymier, P. A., Djafari-Rouhani, B.,
Vasseur, J. O., and Dobrzynski, L., “TwoDimensional Phononic Crystal with Tunable Narrow Pass Band: Application to a Waveguide with Selective Frequency”, Journal of Applied Physics, Vol. 94, pp. 1308-1311, .3002
Sun, J. H, and Wu, T. T., “Analyses of Mode Coupling in Joined Parallel Phononic Crystal Waveguides”, Physical Review B, Vol. 71, pp. .5002 ,303471
Pennec, Y., Djafari-Rouhani, B., Larabi, H., Vasseur, J., and Hladky-Hennion, A. C, “Phononic Crystals and Manipulation of Sound”, Physica Status Solidi C, Vol. 6, pp. 2080-2085, .9002
Gao, H. F., Matsumoto, T., Takahashi, T., and Isakari, H., “Analysis of Band Structure for 2D Acoustic Phononic Structure by BEM and the Block SS Method”, CMES: Computer Modeling in
حوزه زمان نشان داد که هزینه محاسباتی روش تفاضل محـدودجابهجایی- مبنا در حوزه زمان 40 درصد کمتر است.

واژهنامه
inclusion
complete band gap
waveguide
plane wave expansion (PWE)
finite difference time domain
boundary element method
multiple-scattering method
wavelet method
explicit
constitute laws
discretize
transmission spectra
elastic stiffness tensor
central difference estimate
non interfacial grid points
transverse mode
bulk elastic waves
filling fraction
Brillouin zone
absorbing boundary condition
perfectly matched layer (PML)
gap
supercell

normalize

Kushwaha, M. S., Halevi, P., Dobrzynski, L., and Djafari-Rouhani, B., “Acoustic Band Structure of Periodic Elastic Composites”, Physical Review Letters, Vol. 71, pp. 2022-2025, 1993.
Martinez-Sala, R., Sancho, J., Sanchez, J. V., Gomez, V., Llinares, J., and Meseguer, F., “Sound Attenuation by Sculpture”, Nature, Vol. 378, pp. 241-241, 1995.
Montero de Espinosa, F. R., Jime´nez, E., and Torres,
M., “Ultrasonic Band Gap in a Periodic TwoDimensional Composite”, Physical Review Letters, Vol. 80, pp. 1208-1211, 1998.
Khelif, A., Choujaa, A., laihem, R., Wilm, M., Ballandras, S., and Laude, V., “Experimental Study of Band Gaps and Defect Modes in a Two-
Dimensional Ultrasonic Crystal”, IEEE Ultrasonics Symposium, pp. 377-380, 2003.
Pennec, Y., Djafari-Rouhani, B., Vasseur, J. O., Khelif, A., and Deymier, P. A., “Tunable Filtering and Demultiplexing in Phononic Crystals with Hollow Cylinders”, Physical Review E, Vol. 69, pp. 046608, 2004.
Liu, W., Chen, J. W., and Su, X. Y., “Local
Resonance Phononic Band Gaps in Modified TwoDimensional Lattice Materials”, Acta Mechanica Sinica, Vol. 28, pp. 659-669, .2102
Kafesaki, M., Sigalas, M. M., and García, N., “Frequency Modulation in the Transmittivity of Wave Guides in Elastic-Wave Band-Gap Materials”, Physical Review Letters, Vol. 85, pp. 4044-4047, .0002
Khelif, A., Djafari-Rouhani, B., Vasseur, J. O., and Deymier, P. A., “Transmission and Dispersion Relations of Perfect and Defect-Containing Waveguide Structures in Phononic Band Gap Materials”, Physical Review B, Vol. 68, pp. 024302, .3002
Yao, Y., Hou, Z., and Liu, Y., “The TwoDimensional Phononic Band Gaps Tuned by the Phononic Crystal Slabs”, Photonics and Nanostructures Fundamentals and Applications, Vol. 6, pp. 32-37, 2008.
Chew, W. C., and Liu, Q. H., “Perfectly Matched Layers for Elastodynamics: A New Absorbing Boundary Condition”, Journal of Computational Acoustics, Vol. 4, pp. 341-359, 1996.
Sun, J. H., and Wu, T. T., “Guided Surface Acoustic Waves in Phononic Crystal Waveguides”, IEEE Ultrasonics Symposium, pp. 673-676, 2006.
Tanaka, Y., Yano, T., and Tamura, S., “Surface Guided Waves in Two-Dimensional Phononic Crystals”, Wave Motion, Vol. 44, pp. 501-512, 2007.

Engineering & Sciences, Vol. 90, No. 4, pp. 283-301, 2013.
Kafesaki, M.; and Economou, E. N., “MultipleScattering Theory for Three Dimensional Periodic Acoustic Composites”, Physical Review B, Vol. 60, pp. 11993, 1999.

  • 1

دیدگاهتان را بنویسید