در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

بررسی کوپلینگ پیزوالکتریکی و آنیزتروپی بر انتشار امواج صوتی
در بلوره صوتی لیتیوم نیوباته

شاهرخ رضائی، مرتضی اسکندری قادی و محمد رحیمیان*
دانشکده فنی، دانشگاه تهران

(١٣٩۵/٠٣/٠٨ :دریافت مقاله: ٢۴/٠٨/١٣٩۴ – دریافت نسخه نهایی) DOI: 10.18869/acadpub.jcme.36.1.161

چکیده- سرعت صوت در اغلب مواد بستگی به الاستیسیته و چگالی مواد دارد، ولی بررسی انتشار امواج در بلورههای صـوتی پیزوالکتریکـی بهسبب آنیزتروپی و بهویژه کوپلینگ پیزوالکتریکی یک مسأله کاربردی مهم و چالش برانگیز است. در این مقالـه بـا اسـتفاده از حـل تحلیلـی- عددی معادله کریستوفل اصلاح یافته، براساس مفهوم سرعت گروهی، اثر کوپلینگ پیزوالکتریکی و آنیزتروپی بر سـرعت امـواج صـوتی (شـبهطولی، شبه عرضی عمودی و شبه عرضی افقی) در ویفرهای مختلف بلوره صوتی لیتیوم نیوباته (آنیزتروپی قوی) بررسی میشـود و بـا دادههـایآزمایشی تصدیق میشود و دامنه سرعتهایی که این بلوره صوتی میتواند دارا باشد، تعیین میشود. نتایج ایـن مطالعـه بـرای طراحـی فرامـوادصوتی و بلورهای فونونی و موجبرهای پایه پیزوالکتریکی کاملاً اساسی است. واژههای کلیدی: بلوره صوتی، لیتیوم نیوباته، انتشار امواج صوتی، کوپلینگ پیزوالکتریکی.

Investigation of Piezoelectric Coupling and Anisotropy Effect on
Acoustic Wave Propagation at LithiumNiobate Crystalloacoustic

S. Rezaei, M. Eskandari-Ghadi and M. Rahimian*

School of Engineering, University of Tehran, Tehran, Iran

Abstract: The acoustic wave velocity depends on elasticity and density at most materials, but because of anisotropy and especially piezoelectric coupling effect, the acoustic wave propagation at piezoelectric based crystalloacoustic materials, is an applied and challenging problem. In this paper, using modified Christoffel’s equation based on group velocity concept, the effect of anisotropy and piezoelectric coupling at different wafers of lithium niobate crystalloacoustic (strong anisotropy) on acoustic wave velocity (semi-longitudinal, semi-vertical transverse wave and semi-horizontal transverse wave) is investigated, and validated by experimental data. Then, the acoustic wave velocity ranges that can be supported are determined. The result of this study can be essential at acoustic metamaterials design, Phononic crystal and piezoelectric based wave-guides.

Keywords: Crystalloacoustic, Lithium niobate, Acoustic wave propagation, Piezoelectric coupling.

* : مسئول مکاتبات، پست الکترونیکی: shrezaei@ut.ac.ir
فهرست علائم
بردار جابهجایی ui تانسور ضرایب الاستیسیته c
ijkl
چگالی ماده  میدانهای بردار جابهجایی الکتریکی Di
تانسور تنش کوشی ij میدان الکتریکی
Ei
پتانسیل الکتریکی 
ثوابت پیزوالکتریسته eijk

۱- مقدمه
در
شاخهای از مصالح مهندسی هوشمند موسـوم بـه پیزوالاسـتیک(پیزوالکتریک) مورد توجه محققان قرار گرفتـه اسـت بـه ویـژه اینکه این مواد در کنترل ارتعاشات صوتی از طریق تبدیل انرژی مکانیکی به الکتریکی و برعکس بهکار گرفته مـی شـو ند. نشـانداده شده است که چگونه مـی تـوان تـنش هـا را بـا اسـتفاده ازمیدانهای الکتریکی کنترل کرد[ 1]. اگرچه سـرعت صـوت درمواد بستگی بـه الاستیسـیته و چگـالی آنهـا دارد، امـا بـه سـبب آنیزتروپی در بلورههای صوتی1 نظیر پیزوالکتریکها و بـه ویـژه بــهســبب کوپلینــگ پیزوالکتریکــی، انتشــار امــواج در محــیط پیزوالکتریکی با درنظر گرفتن کوپلینگ یک مسـأله کـاربردی ومهم و چالش برانگیز است زیرا آنیزتروپی در بلورههای صـوتیمنجر به خلق پدیدههای کیفی با خواص منحصر بهفـرد جدیـدبهویـژه در طراحـی فرامـواد2 صـوتی مـی شـود . انتشـار امـواجمکانیکی یا صوتی در یـک محـیط همـوژن و نامحـدود امـواجصوتی حجمی3 نامیده میشوند. برای بلورههایی که دارای درجه بالایی از تقارن هستند، اگر جهت انتشار همراستا با جهتهـا ی اصلی باشد، در آن صورت سرعت فازی موج بـه سـادگی قابـلمحاسبه است، ولی برای یک جهـت دلخـواه کـه نیازمنـد حـلمعادله مشخصه4 یا معادلـه ک ریسـتوفل 5 از طریـق تعیـین مقـایراصلی6 است ،مسأله کاملاً پیچیده میشود، زیرا انتشار امـواج درمحیطهای آنیزتروپی7 مستلزم حل معادلات جبری درجـه سـومیا بالاتر است که فقط بـرای حالـتهـا ی سـاده پاسـخ هـا ی آن مقدور است. محققان حالتهای خاصی از انتشار مـوج دلخـواهدر این محیطها را بررسی کردهاند [1، 2، 3 و 4]. بررسی انتشار امواج الکتروالاستیک در پیزوالکتریکها به لحاظ طراحـی هـا ی کـــاربردی در حـــوزه پـــردازش ســـیگنال، فرســـتندههـــای رادیوفرکانسی، کنترل ارتعاشـات صـوتی و طراحـی فیلترهـایبالاگذر8و پایینگذر9 صوتی در زمینه کنترل فرکانسهای صوتی کاملاً حائر اهمیت است[ 5، 6، 7، 8، 9، 10 و 11]. از آنجا کـهسرعت امواج صوتی در پیزوالکتریکها در حدود صد هزار بار کمتر از سرعت انتشار امواج الکترومغناطیسـی در ایـن مصـالحاست، از ایـنرو فـرض مـی شـو د کـه امـواج الکترومغناطیسـیبهصورت بلادرنگ منتشر خواهنـد شـد و میـدان الکتریکـی ازپتانسیل الکتریکی بهدسـت مـی آیـ د. ایـن فـرض تقریـب شـبهاستاتیکی10 نامیده میشود که در نتیجه میتوان فرض نمود کـهدر یک محیط هموژن و بینهایت، امواج به فرم امواج مسطح11 منتشر میشود. تئوری محورهای صوتی12 بهوسیله مرجـع [10] توس عه یاف ت ک ه در آن جه ته ای انتش ار ام واج را ب رای بلورههای صوتی غیرمقید ارائـه نمـود. تئـوری وی وابسـته بـهمحورهای مختصات بود، بنابراین معیارهای متعـددی بـه منظـور مستقل نمودن انتشار امواج از دستگاه مختصـات ارائـه شـد[ 4، 11 و 12]. اثر آنیزتروپی بر انتشار امواج صوتی توسـط مرجـع
[13] ارائه شد. تفسیر سطوح کندی13 (عکـس سـرعت فـاز) وسرعت فازهای مختلف توسط مرجع [14] ارائـه شـد. سـرعتامواج در بلورههای ارتـوتروپی 14 و شـش وجهـی15 در مرجـع [15] ارائه شد. همچنین [16] شرایط لازم و کافی برای حضـورامواج طولی و عرضی در این بلورهها را ارائه نمود .
این مقاله به بررسی اثر کوپلینگ پیزوالاستیکی و آنیزتروپـیبر انتشار امواج صوتی در بلوره صـوتی لیتیـوم نیوباتـه16 (ایـنبلوره بهواسطه خلوص ذاتی و حساسیت شیمیایی ویژه آن و نیز قابلیت ساخت مینیاتوری با استفاده از آن، یک کاندیدای مناسب برای تجهیزات الکتروصـوتی اسـت ) کـه دارای سـاختار بلـور ه
تریگونال17 است از طریق حل عددی معادله کریستوفل اصلاح شده میپردازد و دامنه سرعتهـا یی کـه بلـوره صـوتی لیتیـومنیوباته میتواند داشته باشد را نشـان مـی دهـد . سـپس درسـتیمحاسبات از طریق نتایج آزمایشگاهی برای امتـدادهای خـاصتصدیق میشود.

– امــواج الاســتیک در محــیط کریســتال صــوتی پیزوالکتریکی
2-1- معادلات حاکم
بدینمنظور محیط باز B شامل ماده مگنتوالکتروالاستیک درنظـر گرفته میشود. اگر دستگاه مختصات دکارتی(O : X ,X ,X1 2 3 ) به ایــن محــیط نصــب شــود و اگــر تانســورتنش کوشــی بــاij(i, j 123, , ) و جرم حجمی محیط با نمایش داده شـود ، معادله حرکت در هر نقطه ودر هـر 0t ، در غیـاب نیروهـایحجمی بهصورت زیر نوشته میشود:
97776113984

ij(x , x , x ,t1 2x j3 ) 2u (x , x ,x , t)i1 2t23
با فرض اینکه محور 3x بردار عمود بر صفحه تقارن در ساختار شــبکهای مونوکلینیــک باشــد، معــادلات پیزوالکتریــک کوپــل برحسب معادله حرکت و شارژ الکترواستاتیک به فـرم اندیسـیبهصورت زیر بیان میشود [10]:
2u
5481841691

cijkl  x xl k j ekij  x k2 xj 2tu2i
20553064892

2ui ki  x k2 xi 0
ekij  xk xj
و رابطه وابسته به آن بهصورت زیر بیان میشود:

 ij c sijkl kl ekij xk

Dk e skij ij ki xi
253251399397

همچنین رابطه تغییرمکان – کرنش نیز بهصورت زیر بیان میشود: (6) sij 1xuij  uxij 
2
Ek xk (7)
که ui مؤلفههای بردار تغییر مکان و تانسور تنش در هـر نقطـهij است و میدان الکتریکی و جابهجایی الکتریکی بهترتیب بـاتوابع برداری Ei و Di نشان داده میشود .بهعلاوه در روابـطفوق ij،cijkl بهترتیب تانسور الاستیسیته و مـاتریس ضـرایبدیالکتریک است. eijk تانسور پیزوالکتریک و  نیز پتانسـیلاسکالر الکتریکی است.
ماتریس ضرایب پیزوالکتریک اغلب شبیه ماتریس ضـرایب
بردار پلاریزاسیون اسـت کـه برحسـب نـوع کریسـتالوگرافی وگروههای کوری18 در 17 گروه تعریف میشود. بهدلیل کوپلینگ پیزوالکتریــک، دو کــلاس از ایــن مصــالح کــه متعلــق بــه گروههای”2″ و “m” گروههـای کـوری هسـتند، دارای تقـارن مونوکلینیک هستند و شرایط کوپلینگ پیزوالکتریکی (اثر مستقیم و معکوس) را به نمایش میگذارند. فرم ماتریسی جهت کلاس گروه “m” کوری به فرم زیر بیان میشود:
11 c1111 c1122 c113300c1112 e211 e2110 s11
22 c1122 c2222 c223300c2212 e122 e2220 s22
33 c1133 c2233 c333300c3312 e133 e2330 s33
23  000c2323 c2331000e32323
13  000c2331 c3131000e33113
12 c1112 c2212 c331200c1212 e112 e2120 12
D1  e111e122e13300e11211120 E1
D2  e211e222e233e3230e3310e212012202220033 EE23 (8)
D3   000

و فرم تانسوری جهت کلاس گروه “2” کوری به فرم زیر بیان میشود:
11 c1111 c1122 c113300c111200e311s11
22 c1122 c2222 c223300c221200e322s22


33 c1133 c2233 c333300c331200e333s33
23  000c2323 c23310e123 e2230 23
13  000c2331 c31310e131 e2310 13
12
D1 

D2 
D3 
 c1112 
 0
 0

e311 c2212
0
0 e322 c3312
0
0 e333 0
e123 e223
0 0
e131 e231
0 c1212
0
0 e312 0
11 12
0
0e312 12
120 E1
0220 EE32
33 

.کرنشهای برشی هستند  ij 2s ,iij  j

2-1- انتشار امواج در یک محیط نیم بینهایت پیزوالکتریک شکل جواب جهت معادله حرکت برای یک موج مسطح به فرم زیر میتواند باشد:
uk A expik  t (k x1 1k x2 2k x )3 3  expi t (k x1 1k x2 2k x )3 3  (11)
در روابط فوق ،uk، مؤلفه k امین میدان جابهجـایی نسـبت بـه
1552148-40703

مبداء ،Ak دامنه موج ،1 ،i   فرکـانس زاویـهای و k
بردار موج ،x بردار مختصات و اندازه بردار k برابر با / 2 است بهطوری که طول موج است.
پاسخهـا ی نـوع اول منجـر بـه 3 نـوع مـوج آکوسـتیکی وپاسخهای نوع دوم منجر به موجهای الکترومغناطیسی میشـود.با جایگذاری این عبارات در معادلـه حرکـت و معادلـه شـارژالکترواستاتیک، روابط زیر بهدست میآیند:
 2u c kkuiijkl j l k e kkmij j m
0e k k ujkl lj k mjk kj m
443343502550

جهت بررسی موجهای آکوستیکی، پارامتر  حذف و برحسب u حل میشود. مؤلفههای بردار موج بهصورت زیر بیان میشود: (14) ki  Ni
که در این رابطه  سـرعت و فرکـانس زاویـهای بـوده وNi کسینوس هادیهای موج نرمال یا زوایای بردارهای هـادی هسـتند.در این صورت معادلات حرکت بهصورت زیر بیان میشوند [8]:
7103795876

73283495876

1 cijklN Njl  N em mijNNm mjjN eNj jklNl 2uk 0
 1 ik 
j
(15)
جمله اول داخل کروشه، معادله کریستوفل کلاسیک اسـت کـهاندرکنش موج مسطح در مصالح الاستیک را برحسب نرمالهای جبهه موج و ضـرایب الاستیسـیته بیـان مـیکنـد و جملـه دوماندرکنشهای موج مسطح با مصـالح پیزوالاسـتوالکتریک را بـادرنظر گرفتن عوامل برشـمرده فـوق در حالـت کوپـل درنظـر میگیرد. با توجه به معادله فوق مشاهده میشود که جملـه دومدارای ارتبــاط معنــیداری بــرای انتشــار امــواج در برخــی ازجهتهای مشخص اسـت، در حـالی کـه بـرای جهـات دیگـرمشخص نیست یعنی قطبش مدها دقیقاً موازی یا عمود بر بردار موج نمیشود و سطوح کندی برای مـواد پیزوالکتریـک شـامل سطوح محدب، مقعر و زینی خواهند بود که بهوسـیله خطـوطپارابولیک تقسیمبندی میشوند و بـرای هـر نـوع مـوج در هـرامتداد دلخواه، دارای مقداری خاص است. بـه همـین جهـت درانتشار امواج در بلورههای صوتی پیزوالکتریکی، جهت مـوج وسرعت هر دو بهصورت توأم در انتشار امواج مؤثرند.
در قالب ماتریسی برای جمله اول معادله فوق میتوان نوشت:
31916458270

Cik  1c N Nijkljl
جهت لحاظ نمـودن انـدرکنشهـای پیزوالکتریکـی ، از عملگـرماتریسی ثانویه استفاده میشود [8]:
Ci N e Nm mijj
مزیت این عملگر این است، ضرایب تانسور پیزوالکتریکی eijk (3-1i,j,k=) بـــــه ضـــــرایب ماتریســـــیi=1-3) eim و
6-1m=) تبدیل میشود. از سوی دیگـر ضـرایب دی الکتریـک
[10] بهصورت زیر بیان میشود:
C N N m mjj (18)
بنابراین فرم کامل معادله اصلاح شده کریستوفل [10]، بـه فـرمزیر در میآید [8]:
52636092041

CCik  2 ik uk 0 (19)
Cik  C 
692857606686

شرط وجود جواب غیرصفر برای معادله اصلاح شده کریستوفل آن است که دترمینان ضرایب صفر باشد [8]، یعنی: (20) 0det C ik  C Ci k  2 ik 
 C 
اما بهکارگیری عملی معادله( 15)، بهواسطه عدم دقت در تعیین عمود بر سطوح کندی (عکس سرعت فاز) ،بهویـژه در سـطوحکندی سه بعدی و نیز بهواسـطه فقـدان مرکـز تقـارن در مـوادپیزوالکتریک، و عدم جداسازی کامل مقادیر ویژه بسامد مشکل است و بـرای دقـت هـا ی مـورد نیـاز بـرای طراحـی مهندسـیهزینههای محاسباتی (بهواسطه اسـتفا ده از فرضـیات اضـافه) وآزمایشگاهی افزایش مییابد. دلیل آن اسـت کـه قطـبش مـدهادقیقاً موازی یا عمود بر بردار موج نمیشود (بههمین دلیـل نیـزامواج در محیطهای »آنیزتروپی قوی« با مـدهای شـبه طـولی وشبه عرضی افقی و شبه عرضی عمودی تعریـف مـی شـو ند) و سطوح کندی برای مواد پیزوالکتریـک شـامل سـطوح محـدب،مقعر و زینی است که بهوسیله خطوط پارابولیـک تقسـیم بنـدی میشوند و برای تفکیک آنها از یکدیگر بایـد نقـاط بـا انحنـایصفر تعیین شود و یافتن این نقاط به روشهای عددی، بر عدم قطعیتهای پارامترهای مورد نیاز طراحان مهندسـی مـی افزایـد .
علاوه بر این ،روشهای مبتنی بر تفکیـک مـوج هـا ی طـولی وعرض ی در مح یطه ای آنیزتروپ ی، اغل ب در مح یطه ای ب ا آنیزتروپی ضعیف کارآمـد هسـتند و جداسـازی کامـل آنهـا درمحیطهای با آنیزتروپی قوی با تقریب زیادی همـراه اسـت کـهفرضیات اضافهای بر مسأله تحمیل مـی کنـد (مـثلاً حـل مسـأله بهطریق روشهای عددی مبتنی بر آشوب). روش »تکرار خارج قسمت رایلی« یک روش عددی مبتنی بر تکـرار اسـت کـه درهمه الگوریتمهای مبتنی بر یافتن مقدار ویژهها، مؤثر و کارآمـداست، ولی مشروط به اینکه بردار اولیه به بـردار ویـژه مـاتریسمورد مطالعه نزدیک باشد. این الگوریتم میتواند در محیطهـا ی با آنیزتروپی ضعیف (نظیر بلوره صوتی کوارتز) کارآمد باشد.
یک راه حل بـرای بـه کـار گیری عملـی معادلـه کریسـتوفلاصلاح شده و جداسازی امواج در مصالح بـا آنیزتروپـی قـوی،این است که بر مبنای مفهوم سرعت گروهی امواج، عمل شـود،زیرا سرعت گروهی امواج به معنای انرژی امواج تخـت اسـت.
سرعت گروهی، مقدار بردار سرعت گروهی است که وابسته به زاویه انتشار است و این مقدار منحصر بهفرد است و میتوان با »اندیس کریستالوگرافی میلر«، آن را تصدیق نمود.
همانگونـه کـه از محتـوای دترمینـان مشـاهده مـی شـو د ،سرعت و امتداد هر دو در داخل دترمینـان ظـاهر شـدهانـد، ازاینرو در انتشار امواج در محیط پیزوالکتریکی هر دو پـارامترمؤثرند. یعنی بـا معلـوم بـودن سـرعت، مـیتـوان امتـدادهایمجهولی را بهدسـت آورد کـه در آن امتـدادها، مـوج قابلیـتانتشار دارد یعنی انتشار موج به جهت انتشار موج نیز بهسـبب آنیزتروپی وابسته است.
از آنجا که اصلاح پیزوالکتریک19 کوچک است:
591007-45780

Cik CCik C
Cik C uik  k 2ui
سرعتهای فازی از معادله اخیر بهدست میآیـد کـه مـیتـوانبرای گروههای مختلف کـوری مصـالح پیزوالکتریـک محاسـبهکرد.

2-1-1 – حل مسأله برای کریستال صوتی لیتیوم نیوباته لیتیوم نیوباته بهواسطه خلوص ذاتی و نیـز نداشـتن حساسـیتشیمیایی و قابلیت آن در ساخت ساختارهای تناوبی یک کاندید مطلوب از میان بلورههای متنوع صـوتی اسـت . لـذا بـه جهـت کاربردهای متنوع آن در زمینه مهندسی آکوستیک و نیز ابزارهای آزمون غیرمخرب، این بلوره صوتی انتخاب میشود. ضرایب الاستیسیته عبارتند از:
4700

  • 1

دیدگاهتان را بنویسید