از آنجا که در اکثر موارد زمین واقعـی تحـت مطالعـه دارایپیچیدگیهای ذاتی است لذا انجام مدلسازیهای یک بعدی و یـاحتی دو بعدی برای نیل به مقاصد اکتشافی کافی نبوده و نیاز بهانجام مدلسازی سه بعدی به خوبی احساس مـی شـود . ولـی بـهدلیل پیچیدگیهای محاسباتی موجود در فرایند مدلسازی پیـشروسه بعدی، انجام مدلسازی با مشکلات متعددی مواجه است. لذا تلاشهای زیادی برای تسهیل محاسـبات مربـوط بـه مدلـسازیپیشرو صورت گرفته است که از آن جمله میتوان به محاسباتمبتنی بر روش تفاضلات محـدود مکـی و همکـاران (۱۹۹۴) واسمیت (۱۹۹۶)، روش اجزای محـدود وانـامیکر و همکـارانش(١٩٨٧)، روشهای مبتنی بر معادلات انتگرال وانامیکر (١٩٩١) و

شکل ۱- تصویر راست نمایش حالت ناهم مبدا و تصویر چپ حالت هم مبدا را برای توابع برداری E,H نشان می دهد.

روشهای مبتنی بر استفاده از چند جملـهایهـا پیـر آنـدره چنـگ(۱۹۹۹) اشاره کرد[۳ و ۴]. موارد یاد شده پیـشگامان مدلـسازیسه بعدی پیشرو مگنتوتلوریک محسوب میشوند و تلاش برایبهینه ساختن محاسبات عددی مورد نیاز براساس روشهای فوقهمچنان در دستور کار محققان قرار دارد [۵].
از میان روشهای فوق، روشهای تفاضلات محدود بـه دلیـلساده بود ن الگوریتم گسستهسازی برای تشکیل ماتریس ضرایبو قابلیت ساخت مدلهای پیچیـده از اهمیـت بـالایی برخـورداراســت. مکــی و همکــارانش (۱۹۹۶) بــا اسـ تفاده از روش گسستهسازی ناهم مبدا ارائه شده توسط یـی (۱۹۵۶) الگـوریتممدلسازی پیشرو سه بعدی برای مگنتوتلوریک را ارائه کردند. از جمله مهمترین مشکلات این روش عدم امکـان ارضـای کامـلمعادلات ماکسول و عدم امکان استفاه از الگوریتم یـاد شـده درحالت دو بعدی به دلیل استفاده از انتگرالهای سه بعـدی اسـت.
لازم به ذکر است که موثرترین روشـهای مدلـسازی پیـشرو دوبعدی مگنتوتلوریک از طریق استفاده از روش اجزای محـدود ودر حالت هم مبدا حاصل شده اند[۶ و ۷].
با توجه به موارد یاد شده، این تحقیق به ارائه روشی نـو دراین خصوص میپردازد. روش حاضر بر پایه تفاضلات محـدوددر حالت هم مبدا اجرا شده و در طـی آن از الگـوریتمی بـرایدستیابی به پاسخ کاملا سه بعدی مگنتوتلوریک استفاده می شود. در این تحقیق نخست نحـوه مدلـسازی عـددی بـا بررسـیچگونگی ایجاد مش درانجام حل عددی و شرایط مـرزی مـوردنیاز برای روشهای حل عددی بررسی میشـود . در ادامـه روشاصلی استفاده شـده در تحقیـق حاضـر یعنـی روش تفاضـلاتمحدود سه بعدی به طور کامـل تـشریح شـده و ضـمن بررسـیمشکلات موجود، تکنیکهای لازم برای حل آنها ارائه شده است.

۲- مدلسازی پیشرو مگنتوتلوریک به روش تفاضلات محدود
به طور کلی برای انجام مدلسازی پیشرو، توزیع مؤلفـههـایمیدان بر روی شبکه مسئله به دو صورت زیر قابل تصور است،شکل (۱)
در حالت هم مبدا، شکل (۱- چپ ) بر روی هر نقطه واقـعبر شبکه هر سه مؤلفهy،x وz میدان در نظر گرفته میشـوند امـادر حالت غیر هم مبدا، شـکل (۱- راسـت) مؤلفـههـایy،x وz میدان منطبق برهریک از یالهای متـوازی مربـوط بـه خـود( در شکل (۱) برای میدان الکتریکی) و یا به صورت عمود بر وجوه(در شکل (۱) برای میدان مغناطیسی) در نظر گرفته مـیشـوند .
بدین ترتیب واضح است همه مولفههـای میـدان در یـک نقطـهحاضر نخواهند بود.
روش ناهم مبدا نخستین بار توسط مکـی همکـارانش(۱۹۸۹) برای مدلسازی پیشرو سه بعدی مگنتوتلوریک به کار گرفته شد[۶] که در سالهای (۱۹۹۳) و (۱۹۹۴) بهبـود یافـت [۷] و از آن زمـانمبنای انجام کلیه مدلسازیهای سه بعدی پیـشرو مگنتوتلوریـک بـهروش تفاضلات محدود قرار گرفته است. به عنوان مثال میتوان بهروش کورالت و همکارانش (۲۰۰۷) اشاره کرد [۸].
در روشهای ناهم مبدا میدانهای الکتریکـی و مغناطیـسی بـهصورت به هم وابسته ظاهر میشوند و درواقع با استفاده از یکیاز آنها دیگری قابل محاسبه خواهد بود. اما اشـکال عمـده ایـنروشها عدم امکان ارضای همزمان معادلات مربـوط بـه ایـن دومیدان است [۷]. همچنین خطـای محاسـبه میـدانها بـه یکـدیگروابسته خواهند بود[۹]. ضمنا به دلیل ماهیـت سـه بعـدی روشحل، اصولا امکان استفاده از ایـن روشـها در حالـت دو بعـدیمیسر نیست [۶ و ۷].
اما در حالت هم مبدا این امکان وجود دارد که بتوان مقـادیرمربوط به میدانها را به طور مستقل از یکدیگر محاسبه کرد و درهر نقطه از محیط مسئله کلیه مؤلفههای میدان را به دست آورد.
به دلایل یاد شده، برای نخستین بار، این روش مبنای مدلـسازیپیشرو سه بعدی مگنتوتلوریک به روش تفاضـلات محـدود درتحقیق حاضر قرار گرفته است.

۲-۱- فرمولبندی مدلسازی پیشرو مگنتوتلوریک هم مبدا
در حالت هم مبدا لازم است روابـط پایـه مـورد نیـاز بـرایگسستهسازی هریک از میدانها به شکلی مستقل به دست آید. به عنـوان مثـال بـه دو رابطـه ذیـل کـه منـتج شـده از معـادلاتماکسول اند اشاره می شود[۹]:
∇×∇× = ωµ σEi0 E (۱)
∇×⎜⎝⎛

σ1 ∇×H⎟⎠⎞= ωi µ0H (۲)
در حالت کاملتر این امکـان وجـود دارد کـه میـدانهای اولیـه وثانویه به صورت مجزا از یکدیگر مورد بررسی قرار گیرند. ایـنامر در نهایت بـه ارائـه تحلیلـی بهتـر از نتـایج مـسئله خواهـدانجامید. از این رو، با فرض تخت بودن مـوج الکترومغناطیـسیاولیه، روابط ارائه شده توسط هامن (۱۹۸۳) مبنای مدلسازی درتحقیق حاضر قرار گرفته است[۵]:
245516459885

∇2Es +∇⎝⎛⎜E .s

∇σσ ⎠⎞⎟+k E2s =−k Ea2p −∇⎛⎝⎜E .p ∇σσa ⎞⎠⎟ (۳)
∇2Hs +σ ∇×(Hs)×∇⎛ ⎞⎜ ⎟1 +k H2 s
⎛σa⎝ ⎠⎞σ (۴)
=−k Ha p2− σ∇⎜⎟×Ep
⎝ σ ⎠
کـه در آنهـا E و H بـه ترتیـب معـرف میـدانهای الکتریکـی و مغناطیسی،ω معرف سرعت زاویهای، p وs به ترتیـب معـرفمؤلفههای اولیه و ثانویه، 0µ گذردهی مغناطیسی خلأ،σ معـرفرسانش الکتریکی وσa معرف اختلاف رسـانش الکتریکـی درهر نقطه از محیط مسئله با همان مقدار در حالـت حـذف تـودهناهمگن است. k وka نیز به صورت زیر تعریف میشوند:
304800-37070

k = iωµ σ ka = iωµ σ00 a

۲-۲-گسسته سازی مورد نیاز برای تفاضلات م حدود هم مبدا بــه طــور کلــی دو روش بــرای گســسته ســازی در روش تفاضلات محدود تاکنون پیـشنهاد شـده اسـت، نخـست روشگسستهسـازی بلـوکی ارائـه شـده توسـط اریـستاگلیو و هـامن(۱۹۸۳) که از نظر مبنایی دارای مـاهیتی نظیـر اجـزای محـدوداست و دوم روش گسستهسازی نقطهای که روشـی سـادهتـر و متداول در اکثر گسسته سازی هاست[۵ و ۱۰].
گسسته سازی به روش بلوکی یاد شده به کمک انتگرال گیری از روابط دیفرانسیلی امکانپذیر بـوده و در حالـت دو بعـدی بـهخوبی مورد استفاده قرار گرفتـه اسـت [۱۰]. همچنـین اگـر درمسائل شرط نیومان ظاهر شوند گسستهسـازی بلـوکی یکـی ازبهترین حالتها برای پوشش دادن چنین شرطهایی خواهد بود. اما در گسستهسازی بلوکی در حالت سه بعدی ممکن است بعـضیاز مؤلفههای مربوط به مـشتقات ظـاهر شـده در معـادلات (۳) و(۴) صفر شوند [۱۱]. در روش گسـستهسـازی نقطـهای چنـینمشکلی ایجاد نخواهد شد. روش گسستهسازی نقطهای بر مبنایارائه سری تیلور و محاسبه تخمینی از تابع با حـذف قـسمتهاییاز این سری استوار است که به عنوان مثال گسستهسازی جملـه سمت چپ معادله (۳) برای مؤلفهx به صـورت ارائـه شـده درپیوست انجام شده است.
لازم به ذکر است طراحی مش مورد نیاز برای گسستهسازی نیز بر اسـاس پیـشنهادات ارائـه شـده توسـط ویـور (۱۹۷۴) و وانامیکر(۱۹۸۷) صورت گرفته و برای هوا نیز حـداقل ۱۰ لایـهبرای حذف اثر قطبیدگی مغناطیسی لحاظ شده است[۴و۱۳].

۳- شرایط مرزی لازم برای انجام مدلـسازی پیـشرو مگنتوتلوریک
3665232586995

درحالت کلی دو دسته شرط برای حل مسائل مگنتوتلوریکقابل تصور است . نخست شرط حاکم بر مرزهایی که محیطهـایبـا مقاومـت ویـژه متفـاوت را از هـم تفکیـک مـی کننـد و دوم شرایطی که در مرزهای اطراف شبکه مسئله حاکماند. شـرطهایمربوط به مرزهای دارای تغییر در مقاومـت ویـژه الکتریکـی بـااستفاده از روابط ارائه شده توسط تلفـورد و همکـاران (۱۹۷۴) تــامین مــی شــوند [۱۲]. امــا در مــورد مرزهــای اطــراف درمدلسازیهای پیشرو مگنتوتلوریک استفاده از شرط دیریکله امریمعمول است [۴ و ۱۳]. از این رو به طور دلخواه از شرط مرزیمیدان ثانوی برابر صفر در مرزهای شبکه استفاده شده است کـهاین امر مستلزم گسترش بسیار زیاد ابعاد مسئله تا ۸ برابر عمـقپوستهای میشود( عمق پوسته برابر اسـت بـا1σ.freq 500 ).
البته برای کاستن از ابعاد فـضای مـسئله مکـی و همکـارانش ازمدلسازی معکوس دو بعدی در چهار پروفیل دو بـه دو متعامـددر مرزهای جانبی استفاده کردهاند که از جمله محـدودیت ایـنراه حل، نیاز بـه در دسـت بـودن داده هـای برداشـت صـحراییمحسوب میشود. همچنـین لزومـا فـرض زمـین دو بعـدی درمرزهای نزدیک صحیح نخواهد بود. گرچه استفاده از روشـهایچند شبکه ای نیز پیشنهاد شده اند[۷].
در تحقیق حاضر فرض بر استفاده از زمـین همگـن و شـرطمرزی صفر برای میدانهای ثانویه است و مقاومت الکتریکی ویـژههوا نیز مقدار ۱۰۶ اهم متر لحاظ شده اسـت. بـرای اعمـال کلیـهشرایط مـرزی از روش پیـشنهاد شـده توسـط هـوبنر (۱۹۷۵) بـااعمال ضرب یک عدد بزرگ دلخواه در کلیـه مقـادیر مربـوط بـهمرزها در ماتریس ضرایب و بردار مقادیر استفاده شده است[۱۴].

۴- روش حل معادله ماتریسی نهایی
پس از تشکیل معادله ماتریسی نهایی و تامین شـرایط مـرزی،امکان حل معادله فراهم میشود. در حالت کلی دو دسته روشهایمستقیم و روشهای تکرار، قابل استفادهاند. توضـیح آنکـه در ایـنبررسی کلیه روشهایی که میتوانند به محاسبه مـاتریس معکـوسمنجر شوند، جزو روشهای مستقیم طبقهبندی شده اند.
روشــهای حــل مــستقیم در حــال حاضــر بــا توجــه بــهپرداشگرهای فعلی رایانههای شخصی توصیه نمیشوند چرا کـهدر انواع مختلف این روش حـل یـک معادلـه ماتریـسی بـسیاربزرگ که حاصل مدلسازی پیشرو سه بعدی مگنتوتلوریک استنیازمن د تعری ف اعــداد بسیار بزرگ بــرای ذخیره ســازیحاصلضربهای مورد نیاز برای روشهای مستقیم در حافظه رایانهخواهد بود . همچنین در صورت حضور خطـا فقـط در یکـی ازدرایهها این خطا به صورت حاصل ضرب به سـایر درایـههـایمربوط به اعماق بیشتر تسری یافته و جواب مـسئله را بـه کلـیدگرگون می سازد[۶].
روشهای تکرار، عمومیترین ابزار بـرای حـل مدلـسازیهایمگنتوتلوریکاند و مزایای اصـلی آنهـا سـرعت بـالا و احتمـالکمتر برای انتشار خطا، هستند. اما مـشکل اصـلی در کلیـه ایـنروشها واگرایی در مسئله است. در میان روشهای اسـتفاده شـدهدر این تحقیق، روشهای ژاکوبی و گوس- سایدل به کلی واگـراشده و فاقد نتیجه خواهند بود. روشـهایی کـه مقاومـت بهتـرینسبت بـه واگرایـی از خـود بـروز دادنـد از خـانواده روشـهایگرادیان مزدوج (CG) هستند. از مهمترین روشهای این خانوادهمیتوان بهBiCGstab ،Bi-CG وBiCGstab(2) (حالت بهبـودیافته BiCGstab) اشاره کرد، شکل (۲) [۱۵].
در ایــن بــین روشBiCGstab ، از نظــر همگرایــی دارایوضعیتی نامعلوم است و امکان دارد رفتـاری بهتـر ازBi-CG ازخود نشان دهد و یا اینکه کاملا واگرا شود. لازم به ذکـر اسـتدر کلی ه م واردی ک ه در تحقی ق حاض ر از روشBiCGstab استفاده شد، واگرایی در پاسـخها شـدیدتر از مـوارد مـشابه بـاروش Bi-CGبـوده اسـت. روش BiCGstab(2) پایـداری قابـل توجهی از خود نشان داد اما به دلیل نیاز به عملیات پیچیده تـر،زمان بیشتری را به خود اختصاص میدهد. بهطور مثال در یـکمورد ۴۰۰ مرتبه تکرار را در مدت ۷۰ دقیقه به اتمام رساند امـادر عین پایداری به همگرایی مورد نظر منجر نشد.
برای افزایش سرعت همگرایی مسئله پیش شـرط سـازهاییمعرفی شدهاند که کارامدترین آنها پیش شرط ساز استفاده شـده توسط مکی و همکارانش تحت عنوانHYPRE است که خـودمستلزم تشکیل ماتریس معکوس است[۶و۷]، لذا در حل مسائلبسیار بزرگ استفاده از آن میسر نیست. پیش شرط ساز دیگـریکه توسط اسمیت (۱۹۹۶) معرفی شده است نیز در مواردی کـهفواصل گرهی زیاد باشد بازدهی خود را از دست می دهد [۷].
لذا عملا استفاده از هر دو پیش شرط سـاز نیازمنـد کـاهشابعاد مسئله است.

۴-۱- ماهیت واگرایی و راهکارهای مقابله با آن:
چنانچه اشاره شد، مشکل عمده پیش رو بر سر به دست آوردنجواب در مدلسازی پیـشرو سـه بعـدی مگنتوتلوریـک، ایجـادواگرایی در روش حل مسئله به روشهای تکـرار اسـت[۷ و ۹].
برای حذف واگرایی روابط زیرباید تامین شوند[۹]:
∇.H = 0 (۵)
∇.(σ =E)0 (۶)
برای ارضای روابط فوق میتوان تابعی را برای حذف واگرایـیبه صورت ذیل فرض کرد. ψ=∇.A

شکل ۲- پایداری روشهای خانواده گرادیان مزدوج با تکرار
کهA میتواند برابرH یاσE باشـد. حـال مـیدانـیم در حالـتایدئالψ باید برابر با صفر باشد اما بهدلیـل اینکـه دارای مقـداراست تابع Ф به صورت زیر تعریف می شود:
∇∇φ=ψ.
با به دست آوردنФ میتوان تـابعA را بـه شـکل زیـر اصـلاح کرد:
Anew = Aold −∇φ
لذا د ر هر مرحله ازعملیات به شـکل قابـل تـوجهی بـر آهنـگهمگرایی مسئله افزوده می شود، شکل (۳).

۵- بررســی مــشکلات عمــده مدلــسازی و ارائــه راهکارهای اصلاحی
۵-۱- ایجاد تکینگی کاذب
از جمله مشکلاتی که در انجـام مدلـسازی بـروز مـیکنـد،وجود حالت تکینه در ماتریس ضرایب مسئله است. این مـسئلهاز آنجا که هیچ الکترود جریان (نظیر حالت جریان مـستقیم) یـاعامل حقیقی ایجاد تکینگی دیگری حضورندارد، عجیب به نظـرمیرسد. در واقع درمسئله سه بعدی پیشروMT ، هیچ دو سـطربا ستون با مقادیر قدرمطلق تحقیقﹰا مساوی وجود نـدارد و کلیـهسطرها و ستونها بردارهای مستقل خطی از یکدیگرند. علاوه بر این عامل ایجاد تکینگی، از قبیـل الکترودهـای بارگـذارینیـز درمـسائل مدلـسازی مگنتوتلوریـک حـضور ندارنـد.
واقعیت آن است که گرچه هـیچ دو بـردار وابـسته خطـیدرماتریسA درمعادلهAx = b قابل شناسایی نیست، ولیرفتار تکینه خود را درحـین انجـام عملیـات حـل معادلـهآشکار می کند.
به طور مشخص ایجاد رفتار تکینه در ماتریسهایی بـا دو یـاچند ستون و یا سطر مشابه اتفاق میافتد. در مورد فوق پـس ازبررسی مشخص شد که در ماتریس تنک ضرایب بسیاری از غیرصفر، کوچکتر از آن هستند که تـأثیری برحـل معادلـه بگذارنـدهمچنین بعضی از ضرایب واقع بر قطرها از نظر مقـدار حقیقـیمشابه عنصر مجاور خود در سطر یا ستونانـد بـه عنـوان مثـالموارد زیرامکان وقوع دارند:
| aii | | a≅ i,i 1+ | (الف)
| aii | | a≅ i 1,i+ | (ب
برای رفع این مشکل، مراجعه به چگـونگی مدلـسازی صـورتگرفته چاره ساز شد:
برای مثال در مورد میدانH ، اگر روابط زیر نمایش قـسمتیاز رابطه جبری منتج از گسستهسازی برای ضرایب روی قطـر و

مرحله

هر

در

خطا

مطلق

قدر

مرحله

هر

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

در

  • 1

دیدگاهتان را بنویسید