Ψ =Ψ22 0W /( a)η طول هر ضلع مقطع کانال، m ظرفیت گرمایی ویژه، J/kg.K عدد برینکمن برای حالت شار ثابت BrT عدد برینکمن برای حالت دما ثابت عدد دین بر مبنای سرعت مرجع عدد الاستیک
ضریب انتقال گرمای جابه جایی، .W /m2.K ضریب انتقال گرمای هدایتی، W/m.K عدد ناسلت
فشار استاتیکی، pa فشار استاتیکی بی بعد محیط مقطع کانال، m عدد پرانتل
شار گرمایی، 2W/m
عدد رینولدز بر مبنای سرعت مرجع عدد رینولدز بر مبنای سرعت متوسط شعاع گام کانال خمیده، m شعاع گام بی بعد کانال خمیده
ماکزیمم سرعت بی بعد جریانهای ثانویه دمای سیال، K دمای متوسط سیال، K دمای دیواره کانال، K TH دمای بی بعد برای حالت دما ثابت دمای بی بعد برای حالت شار ثابت a c
BrH = η0 0W 2 / (aq )′′
=η0 0W 2 / (k(Tm −T ))w Dn = Reδ1/2 En =Ψ1 / Re h k
Nu = ha / k
P
P = Pa / Wη 0
p′
Pr = η/(ρα)
q′′
Re =ρW a /0η
Reb =ρUa /η
R
R = R / a
Smax
T

Tm =1/ (UA) v TdA

Tw
= (Tw −T)/(Tw −T )m
TT = (T−T )/(q a / k)w′′

١- مقدمه
از سـالها پـیش تـاکنون، مطالعـه جریـان و انتقـال گرمـا در کانالهای خمیده یکی از موضوعات مورد علاقـه محققـان بـودهاست. این جریان یکـی از جریانهـای مهـم و پایـه در مکانیـکسیالات محسوب میشود. هرچنـد تـاکنون تحقیقـات فراوانـیبهصـورت تحلیلـی، عـددی و آزمایـشگاهی در خـصوص ایـنجریان انجام شده اما بیشتر این تحقیقـات مربـوط بـه سـیالاتنیوتنی بـوده و تعـداد تحقیقـات صـورت گرفتـه در خـصوصسیالات غیرنیوتنی و بـه ویـژه سـیالات ویـسکوالاستیک بـسیارانــدک بــوده اســت. از جملــه کاربردهــای جریــان ســیالویسکوالاستیک در مجاری خمیده میتوان به خطوط انتقال ایـنمواد در صنایع نفت و پتروشیمی، صـنایع تولیـد مـواد غـذایی،تولید مواد شیمیایی و شوینده، کاربرد در زیست سیالات، تزریق مواد پلیمری و … اشاره کرد.
اولین تحقیق در مورد جریـان سـیالات نیـوتنی در مجـاریخمیده توسط دین١ [۱ و ۲] و با استفاده از حـساب اخـتلالات٢ انجام شده است. وی نشان داد که اثر نیروی گریز از مرکز ناشیاز انحنا منجر به ایجاد جریانهای ثانویه تیلور-گورتلر٣ میشـود .
وی عدد دین را به عنوان معیار مناسبی برای این جریان معرفـیکرد که این عدد بهصورت نسبت نیروهای زیر تعریف می شود:
394716-68378

(١) Dn ≡ CentrifugalViscous×Inertial در واقع عدد دین، همان عدد رینولدز اسـت کـه در آن انحنـایمسیر جریان تصحیح شده است. روشی را کـه دیـن بـرای حـلجریان سیال نیوتنی ارائه کرد، بعدها توسـط برخـی از محققـان برای مطالعه جریان سیال ویسکوالاستیک در لولـههـای خمیـدهمورد استفاده قرار گرفت. از آن جملـه مـیتـوان بـه تحقیقـاتتوماس و والترز۴ [۳]، را برتسون و مولر۵ [۴] و سارین۶ [۵ و ۶] در خــصوص جریــان ســیال اولدرویــد-بــی٧، جیتچــوت و رابرتسون٨ [۷]، بون٩ و همکاران[۸] و شارما و پراکاش۱۰ [۹] در مورد جریان سیال مرتبه دو و ایمتو۱۱ [۱۰و۱۱] در مورد جریـانسیالات توانی و وایت- متزنر۱۲ در لولههای خمیده اشاره نمود.
مطابق این تحقیقات، ازدیاد عدد وایزنبرگ و خاصیت الاسـتیکسیال سبب افـزایش شـدت جریانهـای ثانویـه و متمایـل شـدنموقعیت مرکز گردابههـا بـه سـمت دیـوارههـای جـانبی مجـرامیشود. همچنین در محلولهای پلیمری با ازدیاد زمان رهـایی ازتنش۱۳ محلول، میزان افت فشار مجرا افزایش می یابد. هـر چنـداستفاده از حساب اختلالات منجر به پاسـخهای تحلیلـی بـرایجریان سیالات ویسکوالاستیک در لولههای خمیده میشود، امـادر عمل استفاده از این روش دارای محدودیتهایی اسـت کـه ازآن جمله می توان به غیرفیزیکی بودن پاسخهای این روش بـرایاعداد دیـن بزرگتـر از ۳۰ (کـه عـدد دیـن کـوچکی محـسوبمیشود) اشاره کرد [۴]. همچنین بسته به نـوع سـیال و هندسـهجریان، شرایط منفرد١۴ یکی از مسائلی است که در یافتن پاسـخیکتا برای این جریان مشکل آفرین است. شایان ذکر اسـت کـهتمامی تحقیقات پیشین به مقطع هندسی مدور محدود بـوده انـد .
با توجه به محدودیتهای ذکر شده برای روشهای تحلیلی، برخیاز محقق ان با استفاده از روشهای عددی به مطالعـه ایـن جریـانپرداختهاند. ژانگ۱۵ و همکارانش [۱۲] با استفاده از روش المانمحدود جریان سیال اولدروید-بی را در اعداد دین و وایزنبـرگ بزرگ بررسی کردهاند. فن تین و ژنگ۱۶ [۱۳] نیز مع ادلات خودتشابهی را برای جریان سیال اولدروید- بی در نسبتهای انحنـایکوچک ارائه دادند و با اسـتفاده از روشـهای عـددی و تحلیلـیتقریبی اقدام به حل این معـادلات کردنـد. فـن۱۷ و همکـارانش[۱۴] تحقیقات خود را بر روی جریان توسـعه یافتـه خزشـی واینرسی سیال اولدروید-بی و اولدروید سـه ثابتـه در یـک لولـهخمیده به انجام رساندهاند. آنها با استفاده از تحلیل مرتبه بزرگینشان دادند که ازدیاد اختلاف تنش نرمـال اول منجـر بـه ایجـادتنش نرمال محوری قدرتمندی در جریان میشـود کـه افـزایششدت جریانهای ثانویه را در پی دارد. همچنین آنها نشان دادنـدکه اختلاف تنش نرمال دوم منفی دارای اثر معکوسی بوده و بـهکاهش شدت جریانهای ثانویه منجر میشود که ایـن پدیـده بـهخوبی با نتایج آزمایشگاهی [۱۵-۱۷] سـازگار اسـت. چـن ۱۸ وهمکارانش [۱۸] نیز تحلیل مشابهی را برای جریان در لولههـایخمیده چرخان انجام داده اند و داس۱۹ [۱۹] نیـز جریـان سـیالبینگهام را بررسی کرده است. همچنین برخی از محققان جریـاندر مجاری خمیده نامدور را مورد بررسی قرار دادهانـد . هلـین ۲۰ [۲۰] و بوتابا۲۱ [۲۱] جریان سـیال فـن- تـین-تنـر ۲۲ را در یـککانال خمیده دارای مقطع مربعی مطالعه کردهاند و نـشان دادنـدکه افزایش خاصیت الاستیک سـیال مـیتوانـد بـه تغییـر شـکل

شکل ۱ – هندسه کانال خمیده در تحقیق اخیر

جریانهای ثانویه از دو جفت به چهار جفت گردابه منجر شـود.
ژانــگ۲۳ و همکــاران [۲۲] نیــز جریــان توســعه یافتــه ســیالاولدروید- بی را در یـک کانـال خمیـده چرخـان دارای مقطـعمربعی بررسی کـردهانـد . در خـصوص انتقـال گرمـای اجبـاریسیالات ویسکوالاستیک در کانالهای خمیده تحقیقـات انگـشتشماری صورت گرفته که از جمله آنها مـیتـوان بـه تحقیقـاتژانگ و همکاران [۲۳] و شن۲۴ و همکاران [۲۴] در مورد انتقالگرمای اجباری سیال اولدروید-بی اشاره کرد.
در این تحقیق انتقال گرمـای اجبـاری توسـعه یافتـه سـیالویسکوالاستیک در یک کانـال خمیـده دارای مقطـع مربعـی بـهروش عددی بررسی شده است. در شـکل (۱) هندسـه جریـاننشان داده شده اسـت. در اینجـا از معادلـه متـشکله کریمینـال-اریکسون- فیلبی۲۵ به عنوان مدل ویسکوالاستیک اسـتفاده شـدهکه این معادله متشکله قادر به مدلسازی اثر هر دو اختلاف تنشنرم ال اول و دوم اس ت. در اینج ا انتق ال گرم ای جری ان در حالتهای شار ثابت و دما ثابت بررسی شده است. پیشتر جریـاناین سیال در کانالهای خمیده توسط نـوروزی و همکـاران [۲۵] مورد بررسی قرار گرفته است. همانند فان و همکاران [۱۴]، آنها نیز به مطالعه بر روی اثر متضاد اخـتلاف تنـشهای نرمـال اول ودوم بر میدان جریان در مجاری خمیده پرداخته اند که مشاهداتآزمایشگاهی نیز بر این موضوع صحه گذاشـته اسـت [۱۵-۱۷].
در تحقیق حاضر بر اساس پاسخهای میدان جریان بهدست آمدهتوسط نوروزی و همکـاران [۲۵] انتقـال گ رمـای جریـان سـیالویسکوالاستیک در کانال خمیده مورد بررسی قرار گرفته اسـت. مهمترین نوآوریهای تحقیق حاضر عبارتاند از:
در تحقیـق حاضـر بـرای اولـین بـار انتقـال گرمـای سـیال ویــسکوالاستیک در کانــال خمیــده دارای مقطــع نامــدور
(مربعی) مورد بررسی قرار گرفته است.
تحقیق حاضر نخستین تحقیقی به شمار میآید که در آن اثراختلاف تنشهای نرمال اول و دوم بر انتقال گرمای اجبـاریسیال ویـسکوالاستیک در مجـاری خمیـده (اعـم از مقـاطعمدور و نامدور) در حالات شار ثابـت و دمـا ثابـت مطالعـهشده است.
در این تحقیق برای نخستین بار اثر کار میـدان تـنش سـیالویسکوالاستیک و عدد برینکمن بر انتقـال گرمـای اجبـاریجریان این سیال در مجاری خمیده بررسی شده است.

۲- معادلات حاکم
معادلات حاکم بر جریان و انتقال گرمای سیال ویـسکوالاستیکدر مجاری خمیـده شـامل معادلـه پیوسـتگی، معـادلات انـدازهحرکت و معادله انتقال گرماست:

(۱-۲)

(٢-٢)
ρC V. Tp ∇ = ∇ +Φk2T (٣-٢)
در این تحقیق، میدان جریان بـهصـورت توسـعه یافتـه در نظـرگرفته شده است. در جریان توسعه یافتـه در کانالهـای خمیـده،مشتقات کلیه پارامترهای جریان به جز فشار استاتیکی نسبت بهزاویه انحن ای مسیر (θ) برابر صفر است. بنابراین بـا توجـه بـهشکل (١ ،) معادله زیر برای فشار استاتیکی برقرار است [۴]:

= constan t < 0 (۳)
همچنین گرادیان فشار جریان توسعه یافته در کانالهـای خمیـدهبر اساس گرادیان فشار در جهت گام مجرا تعریف می شود [۴]:
10439485493

R1∂∂θP=−G (۴)
در معادله (۴)،G مقدار ثابتی است که مبـین قـدر مطلـق افـتفشار محوری جریـان اسـت. در اینجـا بـرای بـی بعـد سـازیمعادلات حاکم، از ماکزیمم سرعت جریان توسـعه یافتـه سـیالنیـوتنی در کانـال مـستقیم مـدوری کـه دارای گرادیـان فـشار، ویسکوزیته و قطر هیدرولیکی یکسانی نسبت به جریـان تحـتبررسی است، به عنوان سرعت مرجع استفاده شده است [۴]:
42141390257

W0 = Ga16η2 (۵)
همچنین در جریـان توسـعه یافتـه سـیال نیـوتنی در یـک لولـهمستقیم گرادیان فشار بی بعد محوری برابـر ۱۶- اسـت . در بـیبعد سازی معادلات حاکم، سرعت مرجع بر اساس فرض برابـربودن گرادیان فشار جریان در جهت گام کانال خمیده با گرادیانفشار یک جریان نیوتنی در لوله مـستقیم (مقـدار ١۶-) تعریـفشده است. بنابراین از کمیتهای بـی بعـد ارائـه شـده در بخـشفهرست علائم و معادله (۴)، معادله زیر برای گرادیان فشار بـیبعد جریان توسعه یافته در کانال خمیده بهدست می آید [۴]:

∂∂Pθ =−16R =−

8δ (۶)
در نهایت برای جریان دائمی توسعه یافته هر سیال تراکم ناپذیردر کانال خمیده، صورت بی بعد معادلات پیوسـتگی و مـومنتم در دستگاه مختصات استوانهای به شکل زیر خواهد بود:
78028881853

17145081853

1r ∂∂rr +∂∂vzz = (١-٧)
(rv )0

r ∂vθ + z ∂vθ + v vr
vvθ =
∂r∂zr
310896-172723

1606296193036

1 ⎛161 ∂2∂τzθ ⎞ (٢-٧)
(r τ ) Re ⎜⎝ rδ + r2 ∂r rθ + ∂z ⎠⎟
∂v∂vv 2
vr

vzθ
324612165333

1 ⎛ ∂P ∂τrr + ∂τrz + τ −τrrθθ ⎞ (٣-٧)
Re ⎜⎝− ∂r + ∂r∂zr⎟⎠
r ∂vz + z ∂v =
vvz
285750-191565

1538478164288

1∂r⎛⎜−∂P +∂1z ∂ τ +rz∂τzz ⎞ (۴-٧)
(r)⎟ Re ⎝ ∂zr ∂r∂z ⎠
همچنین شرط مرزی عدم لغـزش بـر روی دیـوارههـا و شـرطتقارن بر روی مرز تقارن برای مولفههای سرعت برقـرار اسـت.
در این تحقیق به دلیل استفاده از شبکه جا به جا شده نیازی بـهاعمال شرط مرزی برای فشار استاتیکی نیست.
از آنجا که در این تحقیق انتقال گرمای توسـعه یافتـه سـیالویسکوالاستیک در دو حالت شار ثابت و دما ثابت بررسی شده،لذا برای هر یک از این دو حالت گرمایی، بی بعد سازی مناسبو البته متفاوتی ارائه شده که در ادامه به آن پرداخته می شـود در.
حالت توسعه یافته گرمایی معادله زیر برای توزیع دما در کانـالخمیده برقرار است [۲۳و۲۴]:
10362858996

∂θ∂ ⎛⎝⎜⎜T TT Tss−−m ⎞⎠⎟⎟ = 0 (۸)
همچنین دمای بی بعد در حالت شار ثابت (TH ) به شـکل زیـرتعریف شده است [۲۶]:
40539176230

TH = Tq a / k′′−Tm
شایان ذکر است کـه چنانچـه طـرفین معادلـه فـوق در سـرعتمحوری ضرب و حاصل آن در سطح مقطع کانال انتگرال گیریشود، معادله زیر برای متوسط دمای بی بعد در حالت شار ثابتحاصل میشود:
∫v T dA 0θ H =
A
می توان نشان داد کـه در حالـت شـار ثابـت معادلـه زیـر بـرایگرادیان فشار محوری برقرار است [۲۶]:
10515782818

∂θT= dTdθs = dTdθm =

ρ4Uacq R′′p = cte∂ بنابراین با اعمال معادله (١١) در معادلـه (٢-٣) و بـا توجـه بـهپارامترهای بی بعد ارائه شده در فهرست علائم، معادله بی بعـد انتقال گرمایی توسعه یافته در حالت شار ثابت بهدست می آید:
272796-50449

1108715107135

r ∂TH + z ∂TH + v v v=
256039163176

1419607163176

1 ⎜⎛1 ∂ ⎜⎛ ∂TH ⎞+ ∂2TH ⎟⎞+Φ (١٢)
⎜ ∂r⎟2 ⎟ Br
RePr r r⎝⎝∂r ⎠∂z⎠
در معادله فوق،Reb معرف عدد رینولـدز بـر اسـاس سـرعتمتوسط جریان است. همچنین شرط مرزی شـار ثابـت بـر روی دیوارههای کانال برقرار است. این شـرط بـرای دمـای بـی بعـدتعریف شده در معادله (٩) به شکل زیر است:
∂TH =−
∂n1 (١٣)
شایان ذک ر است که حل یـک معادلـه مـشتقات جزیـی تنهـا بـااستفاده از شرط مرزی نیومن بر روی تمامی مرزها میـسر نبـودهو به تعیین عرض از مبدا منجر نمـیشـود . لـذا چنانچـه معادلـه(۱۲) در شرایط نادائمی حل شـود، پاسـخ دائـم آن وابـسته بـهشرایط اولیه است. بنابراین پس از حل معادلـه فـوق در شـرایطنادائمی و یافتن پاسخ حالت دائمی لازم است که عرض از مبدامیدان دما از معادلـه (۱۰) تعیـین شـود. همچنـین بـا توجـه بـهمعادله (۹)، میتوان نشان داد که معادله (۱۴-۱) بین دمـای بـیبعد در سطح کانال (TH,S ) و عدد ناسلت موضعی برقرار بـودهو عدد ناسلت متوسط نیز از معادله (۱۴-۲) تعیین می شود:
NuH =

TH,S1 (١-١۴) NuH,m =

p1′ ∫Nu dpH ′ (٢-١۴)
p′
در این تحقیق، دمای بی بعد برای حالت دما ثابت به شکل زیـرتعریف می شود [۲۶]:
45491472412

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

TT = TTss−−TTm (۱۵)
بـا ضـرب کـردن سـرعت محـو ری در طـرفین معادلـه ف وق و انتگرال گیری در سطح مقطع جریان، معادله زیر حاصل می شود:
178308150771

Wo
UA ∫ v T dAθ T=1 (۱۶)
A
همچنین میتوان نشان داد که در شرایط حرارتـی توسـعه یافتـهمعادلات زیر برای حالت دما ثابت برقرار است:
dTdθm =

2k(Tsρ−Uc aT )NumpδT,m (١-١٧)

  • 1

دیدگاهتان را بنویسید