ei f h
F h ,hxy
IhH
IHh

١- مقدمه
گسستهسازی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جز یی از نـوعبیضوی توسط کلیه روشـهای گسـسته سـازی، نهایتـﹰا منجـر بـهتشکیل دستگاه معادلات خطی به شکل ماتریس ی زیر م یشود:
A uhh = f h (۱)
در معادله (۱)، Ah ماتریس ضرایب (تانسور ضریب) بوده کـ ه نوعﹰا تن ک و با ابعاد بزرگ است. بـردارuh شـامل مجهـولات وf h بردار معلومی است که معمو ﹰلا به شرایط مرزی و جملههای چشمه در معادلات دیفرانسیل بستگ ی دارد . در این معادله نمـادبالانویس برا ی بردار و نماد پایین نـویس بـرای تانـسور بـه کـ ار میرود. نمادh برای مشخص کردن اجزای مربـوط بـه شـبکه ریز بهکار میرود.
بزرگ بودن ابعاد (مرتبه) ماتریس ضرایب، لـزوم اسـتفاده ازیک حلگر مؤثر را ایجاب میکند چرا که اسـتفاده از حل گرهـای مستقیم (مثل روش حذفی گوس-جردن) هزینه محاسبات بسیار بالایی به همراه دارد. از طرفـی روشـهای ت کـراری ا یـ ستا (مثـلروش گوس-سایدل) در شب کههای بس یار ر یز، همگرا یی ک نـدی دارند. نرخ پایین همگرا یی در روشـهای تـک شـبکهای از آنجـاناشی مـی شـود کـ ه فرکانـسهای پـایین خطـا توسـط روشـهای هموارکننده متداول به سـادگی حـذف نمـی شـوند . ایـده اصـلیروشهای چند شبکهای آن است که فرکانسهای پایین خطا را بـهشـبکه اهـ ی درشـت منتقـل کـرده و ایـن گـروه از خطاهـا در شبکه های درشت حذف شود. در دهههای اخیر روشـهای چنـدشبک های هندس ی [۱] و چند شبکهای جبری۱ (AMG) [۲-۵] به دلیل مؤثر بودنشان در حل ا ینگونه مسائل بـسیار مـورد توجـهقرار گرفته اند. در یک سیکل از روشهای چند شبکهای، دامنه هرکدام از طیفهای فر کانس خطا در مرتبه درشـت۲ (در ا یـن مقالـهلفظ “مرتبه” -که مناسبتر است- بـه جـای لفـظ ” شـبکه” مـورداستفاده قرار می گیرد، ز یرا در روشAMG ه یچ شـبکه درشـتهندسی وجود ندارد.) مربوط به آن طیف کاهش مـییابـد و بـهاین ترتیب کلیه مؤلفههای خطـا در هـر سـیکل چنـد شـبکهای کاهش مییابند. چنـد شـبکه هندسـی ک لاسـیک در مـسائل بـاهندسه پیچیده [۶] و همچنین در مسائل با تفاوت مرتبه بزرگـی ضرایب [۷ و ۸] و یا در مسائل ناهمگن [۹] محدودیتهایی دارد .
در برخ ی موارد کاربران برای مقاصد محاسباتی مـورد نظرشـاننیاز به حلگرهایی دارند که بتوان از آنها به صورت جعبه سـیاه۳ استفاده کرد [۱۰] (یعنی از ورودی تنها ماتریس ضرایب و بردار معلوم را گرفته و در خروجی بـردار جـواب را نتیجـه دهـد) و بتوانند به سادگی آن را به کد الحاق کرده و به کـار گ یرنـد . ایـ ن عوامل باعث افزایش تقاضا بـرای چنـد شـبکهای جبـری شـدهاست. در نوع کلاسیک چند شـبکهای جبـری مراتـب درشـت،بدون ن یاز بـه اطلاعـات هندسـی مـسئله و تنهـا بـا اسـتفاده ازاطلاعات ماتر یس ضرا یب، به طور خودکار تول یـ د مـی شـود. در AMG مراحل درشتسازی۴ (که مرحله نصب۵ نامیده میشـود ) هزینه محاسـباتی ز یـادی نـسبت بـه نـوع هندسـی دارد کـه ازمحدودیتهای AMG محـسوب مـیشـود . در عـوض بـه سـببالگوریتم مرحله نصب درAMG این روش نسبت به چند شبکه هندسی قابلیت تطبیـ ق ب یـشتر ی دارد. بـا توجـه بـه ک اربردهـای موفقیتآمیزAMG ، تلاشـهای بـسیاری در جهـت تعمـیم ا یـن الگوریتم به حالات کل یتر صورت گرفته است. از جمله می توان به تعم یم الگور یتم به اعداد مختلط [۱۱] و تعم یم آن برای طیف گسترده تری از ماتریسها ی ضرایب [۱۲] اشاره کرد.
هدف این مقاله بهکارگیری روش چند شـبکهای جبـری بـراساس الگور یتم درشت سازی ۶RS [۳ و ۴] و بررسـی عمل کـ رد تکنیکهای مختلف درشتسازی برا ی حل مسائل دیفیوژن است . بررسی نتا یج نشان خواهد داد که چه انتخابها یی برای حـل ایـ ن نوع مسائل مفید است . در بخش (۲) نظریه چند شبکهای جبر ی بر اساس الگوریتمRS و انتخابهای مختلف آن تشریح میشـود . در بخش (۳) مسائل نمونهای توسط کد تـدوین شـده بـه ازای پارامترهای مختلف درشتسازی حل شـده و نتـایج بـه دسـت آمده تحل یل م یشود. در نها یت در بخش (۴) نت یجهگیری انجـاممیشود.

۲- چنـ د شـ بکهای جبـ ری بـ ر اسـ اس الگـ وریتم درشت سازی RS
در این بخش به طور مختصر مروری بر الگوریتم ک لاسـیک AMG خواه یم داشت . توضیحات ب یشتر در مراجع [۳، ۴ و ۱۳-
۱۵] به طور مفصل آورده شده است. از آنجـا کـ ه اصـول چنـدشبکهای در تمامی روشها یکسان است در اینجا مفاه یم اول یـ ه ازقبیل هموارساز ی، درشت سازی، عملگرها ی انتقال وسـیکلهای چند شب کهای را دانسته شده فـرض مـیک نـیم ( بـرای اطلاعـاتبیشتر به پیوست (الف) و یا مرجع [۱۶] رجـوع شـود). قبـل ازشرح مفاه یم مذ کور، ابتدا تعریف قطر غالب۷ و قویﹰا قطر غالب۸ را در ماتریس ضرایب بیان م یکنیم [۱۷]:
قطر غالب : اگر مجموع اندازه (قدرمطلق) درایه هـای خـارجقطر هر سطر ماتریسAh کوچکتر از اندازه درایه روی قطـرباشد، آن سطر قطر غالب محسوب می شود.
قویﹰا قطرغالب : اگر مجمـوع انـدازه(قـدرمطلق ) درا یـه هـای خارج قطر هر سطر ماتریسAh کوچکتر از ۵% اندازه درا یـ ه روی قطر باشد، آن سطر قویﹰا قطر غالب محسوب می شود.

۲-۱- درشت سازی استاندارد
برای سـادگی تنهـا یـک مرحلـه درشـت سـازی را بررسـی

شکل ۱ – الگوریتم درشت سازی استاندارد۱۰ [۴]

می کنیم. فرض م یکنیمAh ماتر یس بـا قطـر غالـب بـوده وعناصر قطر ی آن همگی غ یـر صـفر و مثبـت باشـند. اجـزای مربوط به شبکه درشت را بـا انـدیسH و شـبکه ر یـ ز را بـااندیسh نشان می دهـیم. در مـواردی کـه تـشخیص انـدیس مربوطه واضح است، به منظور خلاصه نو یـسی از نوشـتن آنخودداری شده است.
سطرi ام از ماتریسAh نما یانگر اثر سایر گرهها بر گره i ام است. علیرغم همسا یگی فیزیکی برخـی گـرههـا بـا گـرهi ام، ممکن است این گرهها بر گرهi ام تأثیر نداشـته و 0=aij ب اشـد.
لذا مجموعه Ni را به عنوان مجموعه گره های همسایه ی مؤثر بـرگرهi تعریف می کنیم ({Ni ={j:aij ≠ 0 ).
از بین گرههای عضو مجموعهN i، که برای گرهi مـشخصشدهاند، بعض ی از آنها اثر بیشتری بر این گره دارند. این گروه راکه زیرمجموعه ای از Ni هستند در مجموعه Si قرار م یدهیم:
(۲) { j بر i قویﹰا مؤثر باشد Si= { :∀j∈ Ni ملاک انتخاب اعضای مجموعهSi ایناست که نسبت انـدازهaij به حداکثر اندازه درایه غیرقطر، از کمیت εstr بزرگتر باشد[۳]:

ij
a

ij

a

max(a )ik ≥εstr (۳)
kکهεstr یک ضر یب ثابت بین صفر و یک است . در کـ د تـدوین شده این مقدار بـه پیـ شنهاد مرجـع [۳] برابـر بـا ۲۵/۰ در نظـرگرفته شده است.
از طرف ی هم ین گرهi میتواند بر سایر گرهها قو یﹰا مؤثر باشدکه مجموعه گرههایی که گرهi بر آنها قویﹰا مـؤثر اسـت، بـاSiT نمایش می دهیم:
(۴) { i بر j قویﹰا مؤثر باشد =∀ ∈Ωj h : i ∈S j : { SiT که در معادله (۴)،Ωh دامنه تمام اندیسهای گره های مجهول دردستگاه معادلات رابطه (۱) است.
برای درشت سازی، به ز یر مجموعهای از گره هـا ی مجهـو ﹺلشبکه ر یز (شبکه واقع ی حل عددی) نیاز است . این عمل تجزیه درشت و ریز۹ نام یده م یشود. تجزیه درشـت و ریـ ز در حالـتایدئال با ید بهتر ین دقت را برای انتقال خطا از شبکه درشت بـهشبکه ریز فراهم آورد.
الگوریتم پیشنهادی روژ -اشتوبن۱۰ بـرای تجز یـه درشـت وریز که درشتسازی استاندارد۱۱ نامیده میشود، سه مجموعهU وF وC را مورد استفاده قرار میدهد. ابتدا همـه گـرههـا درU قرار داده شده و مجموعههای F (گرههای ریز) وC (گـره هـای درشت) تهی هستند. سپس مراحل زیر انجام م یشود:
۱. کلیه گرههایی که سطر متناظر آنها در ماتریس Ah قو یـﹰا قطـرغالب است، از مـاتریسU خـارج و بـه مـاتریس F منتقـلمی شوند.
۲. از بین گرههای باقیمانده درU ، گرهk که بالاتر ین اولو یـ ت به عنوان گره درشت را دارد، انتخاب و به مجموعهC منتقل شده و کلیه گرههایی که گرهk بر آنهـا قو یـﹰا مـؤثر اسـت وهن وز در U هـستند، } U}SiT ∩، ب ه مجموعـه F منتق ل میشوند. ملاک اولویت گره درشـت پـارامترλk اسـت کـ ه چنین محاسبه می شود:
771906-55771

λ =i

SiT ∩ +U 2SiT ∩F
۳. مرحله ۲، تا صفر شدن λk تکرار شود.
۴. چنانچه در پایان الگور یتم هنوز گره هـایی درU باشـند، بـهمجموعه F اضافه شوند.
در پا یان الگوریتم، دو مجموعهF وC حاو ی گرههای ریز و درشت هستند . روند الگور یتم فوق در شکل (۱) مشخص شـدهاست.
۲-۲- درشت سازی خشن
الگ وریتم دیگ ر ی نی ز ب را ی درش تسـازی، تحـت عنـوان درشتسازی خشن ۱۲، به کار م یرود. این الگـوریتم تعمی مـی ازدرشت سازی استاندارد است. در ا ین روش، با توجـه بـه اینکـ ه گرههایی با چندین واسطه بر گره مورد بررسی مؤثرنـد، فـرضمیشود که گره مجاور مؤثر با طول ۱ و گرههای مؤثر دورتر که باl واسطه به این گره وصل هستند، بـا طـولl باشـند. بنـابراین مفهوم اتصال قوی با طول بلند چنین تعریف مـی شـود: گـرهi دارای اتصال قوی با گرهj بـه طـولl اسـت اگـر دنبالـهای از
گرهها(درحقیقت گـره هـای واسـطه) i ,i ,0 1 ,il کـهi0 = i وil = j وجـــود داشـــته باشـــد بـــه طـــوری کـــه بـــرای
k = 0,1,2, ,l −1 داشته باشـیم: ik 1+ ∈Sik . از طرفـی مـسیر رسیدن از گرهi به گرهj م یتواند بیش از یک مـس یر باشـد. لـذااگر در حالت کلی تعداد این مسیرها را p بنامیم، به ازای مقـاد یر l ≥1 وp ≥1 ، گرهi دارا ی اتـصال قـوی بـا گـرهj اسـت بـااستفاده از این تعری ف معادله (۲) را بازنویس ی میکنیم:
با توجه به( p وj ،(l بر i قویﹰا مؤثر باشد
p,lh (۵)
Si ={j∈Ω : i }
بقیه مراحل مطابق الگوریتم درشتسازی استاندارد است.
در کد تدو ین شـده بـرای درشـت سـازی خـشن حالتهـای p =1,l = 2 و p = 2,l = 2 مــورد اســتفاده قــرار مــیگیــرد.
همچنین این روش تنها برای نخست ین مرحله درشتسازی مورداســتفاده قــرار گرفتــه و بقیــه مراحــل بــه روش اســتاندارددرشتسازی م یشود. دو حالت مذکور به ترتیب درشت سـازی 1A و 2A نامیــده مــیشــود. در کــد تهیــه شــده، تکنیــک درشتسازی خشن بر اساس مطالب بیان شـده در نظـر گرفتـهشده است.

۲-۳- عملگر میانیابی
پس از آنکه تجز یه درشت و ریز انجام شد عملگر میان یـابی۱۳ رامیتوانیم محاسبه کنیم. وظیفه اصل ی عملگر میانیابی انتقال خطـااز شب که درشت به شب که ریز اسـت . بـه عبـارت دیگـر تخمـین مقدار خطا در گره های ر یز از طریـ ق عملگـر میان یـابی صـورتمیگیرد.
دو روش متـداول بـرا ی ایـن منظـور وجـود دارد: میانیـابی مستقیم و میانیاب ی استاندارد.
ای ن روشها با استفاده از معادله زیر بنا شدهاند [۵]. (۶) a eii i + j N∑∈ i a eij j = 0 , i∈F
که در آن ei مؤلفه خطا مربوط به گرهi ام است.
در میانیابی مستق یم مقاد یر مربوط به گرههای شـبکه درشـتبدون تغییر به گره متناظر (i∈C) در شبکه ریز انتقال می یابد.
در معادله (۶) هدف محاسبهei است اما با توجه بـه اینکـه پس از درشتسازی برخ ی از مقـادیر خطـاej (کـ ه مربـوط بـههمسای ههای ر یز گرهi میشوند) در دسترس نیست لـذا مجبـورهستیم وزن تأثیرگذاری این مؤ لفه ها را به سایر گره های درشـتهمسایه منتقل کنیم. بیان ر یاضی این فرایند در معادله (۷) ارائـهشده است.
ei = ∑ωik ke
k P∈ i
⎧−
ω =ik ⎪⎩⎪⎨−α−βi iki ikaa/ a (k/ a (kiiii∈∈P )P )ii+ , (۷)
∑ j N∈ i− aij∑ j N∈ +aij

α =i ∑ j P∈ i− aij , β =i ∑ j P∈ i+i aij
به این ترت یب برا ی سا یر گرههای ر یـز (i∈F ) از معادلـه فـوقاسـتفاده مـیشـود. در معادلـه (۷) Pi (مجموعـه میانیـاب) بـه صــورت Pi = C ∩Si (مجموعــه گــره هــای درشــت دارای همبستگی قوی با گرهi ) تعریف میشود و برای هر مجموعهM شامل اعداد حقیقی غیر صفر، +M به صورت زیر مجموعه ای از M که فقط شامل همه عناصر مثبت M است تعریف میشـودو −M ن یز به طور مشابه فقط شامل همه عناصر منفیM است . البته معادله (۷) بر مبنای نظریه خطای جبری هموار۱۴ شده، قابل استنباط است [۵] اما بیان قضا یا و فرضیات مورد نیاز آن خـارجاز حوصله این مقاله است.
در مسائل مورد بررسی این مقاله ، +Pi تهـی اسـت ز یـرا درمسائل د یفیوژن، همه عناصر غیر قطـری Ah منفـی هـستند . در ایـن صـورت 0β =i و معادلـه (۷) بـه صـورت زیـر اصـلاح می شود:
ω =−αiki ika/ a (kii∈P )i
aii = +aii ∑ aij (۸)
+j N∈ iبه هر حال به منظور جامعیت کد بـرای حـل مـسائل مختلـف،احتمال وجود عناصر مثبت در مجموعه میانیاب در نظـر گرفتـهشده است.
عملگر م یانیابی نه تنها برای انتقال خطا از شبکه درشـت بـهشبکه ر یز بهکار می رود بل کـ ه در تـشکیل عملگـر محدودسـاز، معادله (۱۱)، و تشکیل عملگر شبکه درشت نیـ ز نقـش اساسـی دارد، لذا دقت این عملگر بر روی کارایی چنـد شـبکهای تـأثیر بسزایی دارد . یکی از روشهای افزایش دقت میان یـابی اسـتفاده از میانیابی استاندارد (نسخه اصلاح شده میانیابی مـستقیم) اسـت .
در م یانیابی مستق یم بـرای گـرهi تنهـا از گـره هـای موجـود درمجموعهC که دارا ی ارتبـاط قـوی بـا گـرهi هـستند اسـتفادهمی شود. در م یانیابی استاند ارد علاوه بر گرههای مورد استفاده درمیانیـابی بـه روش مـستقیم، آن دسـته از گـره اهـ ی موجـود در مجموعه F که دارا ی ارتباط قوی با گرهi هستند نیـ ز بـه طـورغیـر مـستقیم در میانیـابی نقـش دارنـد. بـرا ی ایـن منظـور در معادلــــه (۶) هــــر ej کــــه j∈F∩Si بــــه صــــورت
ej →−∑k N∈ j ajk ke/ ajj جا یگزین م یشود. به این ترت یـ ب معادلات ر یز مربوط به همسایههای ر یز دارا ی همبستگی قـوی، با معادله مربوط به گرهi ادغام شده و باعث بهبود دقت میانیابی میشود. در این صورت معادله جدید حاصـل مـیشـود کـ ه بـاجمع آوری ضرا یب گرهها می تـوان آن را بـه شـکل معادلـه (۶) نوشت. اگر ضرا یب جمع آوری شده را با بالانویس “مد” نمایش دهیم خواهیم داشت:

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

a eˆii i +∑ a eˆij j = 0 ,
j N∈ˆ i (۹)
Nˆ i ={j: j ≠ i,aˆij ≠ 0}
مجموعــــه میانیــــاب در ایــــن حالــــت بــــه صــــورتPi =C [S∩ ∪ ∪i(j F S∈ ∩ i S )]j (مجموعه گره هـای درشـت دارای همبستگی قوی با گره i و یا با همسایه ریز i) تعریف میشود و با جایگزین کردن تمامa ها با ˆa وNi باNˆ i در معادلـه هـای (۷) و (۸) فرمول میانیابی استاندارد به دست میآید.
اگر تجز یه درشت و ریز بر اساس الگـوریتم درشـت سـازی خشن باشد (و یا در مواردی خاص در درشتسازی استاندارد ) امکان استفاده از میانیابی استاندارد و مـستقیم تنهـا بـرای تعـدادمحدودی از گرهها ام کانپذیر اسـت. در ایـ ن مـوارد از میان یـابی چندگذر۱۵ استفاده میشـود . بـرای گـره هـایی کـه میان یـابی بـهروش های مــذکور امکانپ ـذیر اســت ( ∅≠Pi ) از معادلــه (۷) استفاده میشود. گرههایی که م یانیابی شـدهانـد را بـا *F نـشانمیدهیم. سپس برا ی تمام گره هـای باق یمانـده ( *i∈ −F F) کـ ه ∅≠ *Si ∩ F ، میانیابی به این طر یق انجام میشود که در معادله
(۶) تمــ ام گــ ره هــ ای مثــ ل j کـــه *j∈Si ∩F ، بــ ه صورتej →∑ωjk ke جا یگزین می شـود. بـه ایـ ن ترت یـ ب
k P∈ j
معادلهای مشابه معادله (۹) حاصل مـی شـود و فرمـول میان یـابی همانند آنچه در میانیابی استاندارد انجام شد به دست م یآید. در
این حالت مجموعـه میانیـ اب بـه صـورتj S∈∪iF* Pj تعر یـ ف ∩
می شود.
برای افـزایش دقـت میان یـابی بـه خـصوص در مـواردی کـ ه درشتسازی خشن انجام میشود م یتوان از هموارساز ژا کـوبی۱۶ استفاده کـرد. در ایـ ن حالـت ابتـدا عملگـر م یانیـ اب بـه یکـی ازروشهای مستق یم یا استاندارد محاسبه شده سپس بـرای هـر گـرهریز (i∈F) در معادله (۶)، همه گره هـای j∈ =FiF∩ Ni ، بـهصورتej →∑ωjk ke جا یگزین م یشود. (معادلـه ای مـشابه
k P∈ j
معادله (۹) همانند میانیابی اسـتاندارد حاصـل مـیشـود .) در ایـ ن حالت مجموعه میانیاب به صورت (C∩ ∪ ∪N ) (ij F∈ i P )j تعر یف میشود. میانیابی به روش فوق میانیابی ژا کوبی کام ﹰلا هموار شـدهنامیده میشود[۳ و ۴]. البته ا ین فراینـد مـیتوانـد بـیش از یکبـار مورد استفاده قرار گیرد که موجب افزایش دقت میانیابی م ی شـود . در برخ ی موارد به جای آن که همه گرههای j∈Fi به صورت بیان شده جا یگزین شود، تنها جایگزینی برا ی گرههایj انجام میشود کــــه j∈F∩Si و مجموعــــه میانیــــاب بــــه صــــورت
(C∩ ∪ ∪N )i (j F S∈ ∩ i P )j تعریف می شود. استفاده از میانیابی ژاکوبی، به دلیل وجـود گـره هـای دارای همبستگی غیر مستق یم در مجموعه میانیاب، مم کن است باعـثافزایش تعداد اجزای غ یر صفر۱۷ در عملگر میانیاب و در نتیجـهافزایش هز ینه محاسبات برا ی تشکیل عملگرها شود. بـه منظـوراجتن اب از م شکل م ذکور، در فرم ول میانی ابی، معادل ه (۷)، ض رایبی کـه نـسبت آنه ا ب ه بزرگت رین ض ریب، از ف اکتور
مقایسهεtr (در عمـل 0.2ε =tr[۳]) کـوچکتر بـوده حـذف وضرایب باقیمانده در عددی ضرب شده به طـوری کـه مجمـوعآنها نسبت به حالـت اولیـ ه عـوض نـشود. البتـه در حـالتی کـ ه ضرایب مثبت و منفی هر دو در فرمـول میان یـابی وجـود دارنـدبرای اصلاح ضرایب به طور جداگانه عمل میشود. (در مـسائلمورد بررسی این مقاله چنین حـالتی وجـود نـدارد ولـی بـرای عمومیت دادن به کد، الگور یتمهای مربوط به این مورد نیز لحاظشده است.)
سرانجام عملگر میانیابی با اسـتفاده از روشـهای مـذکور بـهصورت زیر محاسبه میشود:
⎧ eH if i∈Ch eih = (I ehH H)i =⎪⎨⎪∑i h ωik kh eH if i∈Fh (۱۰)
⎩k P∈ i

1201666-1566501

شکل۲- فضای حل و شرایط مرزی مسئله برای دو حالت مختلف شرایط مرزی (۱) و (۲)
عملگر محدودساز ۱۸ به صورت ترانهاده عملگر میانیاب محاسبه می شـود : IHh = (Ih TH) و سـرانجام عملگـر شـبکه درشـت بـااستفاده از اصل گالرکین محاسبه می شود:
AH = I A Ih h HHh (۱۱)
آنچه بیان شد خلاصـهای از نظریـه مربـوط بـه الگـوریتمAMG است. این الگور یتم در کدی به زبانC++ پیادهسازی شده اسـت.
در این مقاله نتایج عددی، بر مبنای کد مذکور ارائه میشود.

۳- حل معادله انتقال گرمای دائم دو بعدی به روش AMG
معادله پخش گرما در حالت دائم برای مسائل دو بعـدی دردستگاه مختصات کارتزین با فرض ضریب هدا یت ایزوتروپیک و عدم وجود چشمه گرمایی به صورت زیر است:
143256106162

∂2T2 +∂2T2 = 0 (۱۲)
∂x∂y
که در آنT دما و x وy مختصات فضاییاند. گسـسته سـازی بـهروش تفاضل محدود به صورت پـنج نقطـه اسـتاندارد۱۹ صـورتمی گیرد. دو حالت برای شرا یط مرزی در نظر گرفته شده است. در حالت (۱) همه شرایط مرز ی از نوع دیریکله است . در حالـت (۲) شرایط مرزی شامل دو شرط نویمن می شود. برای گسستهسازی در روی دو مرز بالا و پایین در حالت (۲) کـ ه شـرط عـایق بـودن را نشان میدهد از تقریب مرتبه اول استفاده شده است.
ف ضای ح ل و ش رایط م رزی مط ابق ش کل (۲) اس ـت.
شبکه حل و ترتیب گرهها در آن و پارامتر های گسسته سازی در شکل (۳) نشان داده شده است.


دیدگاهتان را بنویسید