p p∞ Q
R Re
Sij درایههای سه قطر اصـلی مـاتریس ضـرایب پـنجقطری بلوکی دستگاه معادلات.
درایههـای دو قطرکنـاری مـاتریس ضـرایب پـنجقطری بلوکی دستگاه معادلات.
ماتریــسهای ژاکــوبین شــارهای جابــه جــایی در راستاهای ξ و η.
ماتریــسهای ژاکــوبین مثبــت و منفــی شــارهایجابه جایی در راستاهای ξ و η.
ماتریسهای ژاکوبین شـارهای لـزج در راسـتاهایξ و η.
طول کورد هیدروفویل.
سرعت صوت مصنوعی در راستاهای ξ و η.
ضریب پسا.
ضریب برآ.
Cdest ضـــرایب ثابـــت جملـــه چـــشمه در مـــدلکاویتاسیونی.
c ضرایب ثابت مدل آشفتگی اسپالارت-آلماراس.
بردارهای شار جابهجایی در راستاهای ξ و η X,Y,Z
V,W
A,Bˆ ˆ
A ,B± ± A ,Bv v c c ,cξ η
CD
CL
, Cprod
b1 b2 w1,c,c
E,F

١- مقدمه
کاویتاسیون بهعلت شتاب گرفتن سیال روی بدنـه جـسم، وافت فشار آن به زیر فشار بخار، در نـواحی خاصـی از جریـان،اتفاق میافتد. در این نواحی، آب بـه بخـار تبـدیل مـیشـود وحفرههای محتوی بخـارآب تـشکیل مـیشـوند . بـهعلـت ورودجتهای آب به درون این حفرهها، احتمـال متلاشـی شـدن آنهـاوجود دارد، و جریان حالت نادائم پیدا مـیکنـد . بنـابراین یـکپدیده تناوبی تقریبﹰا نامنظم از تشکیل و رشد حباب رخ میدهـدکه با پر شدن حفرهها از بخار آب ادامه مییابد، و در نهایت بـااز بین رفتن حباب پایان میپذیرد. کاویتاسیون ممکن اسـت بـهصورت جزیی روی بدنه جسم ایجاد شود و یا اینکه در مقایسهبا ابعاد جسم، بسیار بـزرگ شـود، کـه در ایـنصـورت، بـه آنسوپرکاویتاسـیون گفتـه مـ یشـود. حبابهـای سوپرکاویتاسـیون،
مهندسی،
Λ ماتریس مقادیر ویژه ژاکوبین شار جابهجایی.
τ زمان مصنوعی.
τij تانسور تنش
µ µ µl,t ,m لزجـت دینـامیکی جریـان آرام، جریـان آشـفته و مخلوط سیال.
ν لزجت سینماتیکی مولکولی
ν متغیر لزجت گردابه ای ρl,ρ ρv, m چگالی مایع، بخار و مخلوط.
ρm u u

i′ ′j تنش رینولدز برای جریان آشفته
ξ,η مؤلفههای مکانی در دسـتگاه مختـصات عمـومی منحنیالخط
ξx,ηx متریکهای مکانی شبکه در راستای x .
ξy,ηy متریکهای مکانی شبکه در راستای y.
σ تانسور تنش کلی
1−Γ,Γ ماتریس پـیششـرط سـازی و مـاتریس معکـوس
آن.
τ, ∂ ∂ξ, η∂ مشتق پارهای نسبت به زمان مصنوعی،ξ و η . نرخ تانسور کرنش اصلاح شده در مدل آشـفتگیاسپالارت-آلماراس.
زمان
بردار سرعت میدان جریان سیال.
بردار سرعت میانی میدان جریـان سـیال در روش پیشبینی
سـرعت جریـان آزاد و سـرعت مشخـصه ب رای بی بعدسازی.
مؤلفه های ناوردای سرعت در راستاهای ξ و η مؤلفه های سرعت کارتزین در راستاهای y ،x و z..
مؤلفه های مکانی در دستگاه مختصات کارتزین بردارهای ویژه ژاکوبین شار جابهجایی ونانی
پارامتر ثابت تراکمپذیری مصنوعی نمو مکانی شبکه در راستاهای ξ و η.
شار استهلاکی
کسر حجمی مایع، کسر حجمی بخار. S
t u u
U∞
U,V u,v,w x,y,z
X,X−1
علائم ی
β
∆ξ ∆η,
φi 1/2+ αl,αv

نیروی مقـاوم ناشـی از لزجـت را روی بدنـه جـسم بـه مقـدارقابلتوجهی کاهش میدهند، و لذا رسیدن به سرعتهای بالا را در زیـر آب امکانپـذیر مـی سـازند[۱]. بـه عـلاوه، طیبعـت نـادائم کاویتاسیون نیز باعث ایجاد نیروهای هیدرودینامیکی نادائم، سـرو صدا، خوردگی سازهای و مسائل ارتعاشی مـیشـود . بنـابراینلازم اســت پــیشبینــی دقیقــی از مقــدار و رفتــار جریانهــایکاویتاسیونی روی سطح اجسام داشته باشیم.
به منظور پیش بینی توزیع فشار و رفتار زمان مند جریان سـیال پس از گسترش مجموعه حباب هـای کاویتاسـیون، مـدلهایی بـرای بیان نسبتﹰا دقیق رفتار جریان سیال شامل کاویتاسـیون ارائـه شـده است. وظیفه مدلهای کاویتاسیون، پیش بینی آغاز شـکل گیـری ومدلسازی رشد حبابها، تکه تکه شدن احتمالی مجموعه حبابهـا و در نهایت ترکیدن آنها در اثر ورود به ناحیه پر فشار است. به طور کلی دو دسته مختلف از روشهای مدلسازی کاویتاسـیون وجـود دارد که اصطلاحﹰا به روشهای تعقیب مرز مشترک ۱ و مدل جریان همگن۲ مشهور هستند . دسته دوم روشها خود به دو گروه تقسیم می شوند. برای محاسبه میـدان چگـالی در گـروه اول، از معادلـهحالت و در گروه دوم از یک معادله انتقال استفاده می شود.
در این تحقیق، بهمنظور شبیهسازی عددی جریان کاویتاسیونیحول هیدروفویل، الگوریتمی برای حل ضمنی معادلات چندفازیناویر- اسـتوکس تـراکمناپـذیر در حالـت دو بعـدی در دسـتگاه مختصات عمومی منحنیالخـط بـا اسـتفاده از روش پـیششـرطسازی ارائه شده و در یک کد رایانهای پیادهسازی شده است. این الگوریتم میتواند برای حل مسائل دائـم و نـادائم مـورد اسـتفادهقرار گیرد. برای مدلسازی کاویتاسیون از مـدلهای مبتنـی بـر ایـدهجریان همگن تعادلی در مدلسازی جریانهای چنـدفازی، اسـتفادهشدهاست. برای بیان جملات انتقال جرم بین فاز مایع و بخـار، ازمدلهای بر مبنای فشار استفاده شده است.
معادلات حاکم، شامل معادلات پیوستگی و مومنتم مخلـوطو همچنین معادله انتقال کسر حجمی فاز مایعاند. معادلـه انتقـالکسر حجمی بر اساس فرض جریان همگن تعادلی در مدلسازیجریانهای چند فازی استخراج شده است. انتقال جرم بین فازهـابا استفاده از مدل ارائه شده توسط مرکـل، شـبیهسـازی و بـرایافزایش کارایی حل از تکنیک پیششـرط سـازی اسـتفاده شـدهاس ت. در ای ن تحقی ـق ب رای گس سته س ازی جم لات ش ارجاب ه ج ـایی، ب ر خ لاف اغل ب پی اده س ازیهای قبل ی روش تـراکم پـذیری مـصنوعی کـه در آنهـا از روش تفاضـل مرکـزیاستفاده شده، روش تفاضل بالادست مرتبه سوم بر مبنای تفاضلشار، مورد استفاده قرار گرفته است. لزجت مصنوعی اضافه شده توسط این روش، منطبق بر فیزیک مـسئله و بـینیـاز از تعیـینپارامتر لزجت مصنوعی در روند حـل عـددی اسـت. همچنـینگسستهسازی جملات لزج از روش تفاضل مرکزی مرتبه دوم وگسستهسازی جملات زمـان مـصنوعی از رابطـه اویلـر پـس رو مرتبه اول انجام گرفته است. سیستم جبری معادلات با یک رویه خط به خط تخفیفی حل میشود. اثرات آشفتگی بـا اسـتفاده از یک ضریب لزجت گردابهای که بـه ضـریب لزجـت مولکـولیافزوده می شود، شبیه سازی شدهاند. این ضریب لزجت گردابهای با استفاده از مدل یک معادلهای اسـپالارت-آلمـاراس ۳ محاسـبه میشود.
بهمنظور صحتسـنجی نتـایج خروجـی برنامـه، ابتـدا حـلجریان تکفـازی حـول هیـدروفویلNACA0012 در زوایـایحمله مختلف انجام و نتایج بـا اطلاعـات در دسـترس مقایـسهشده است . در ادامه، توانایی برنامـه در شـبیهسـازی جریانهـایکاویتاسیونی حول هیـدروفویل اصـلاح شـدهNACA0009 دراعداد کاویتاسیونی و زوایای حمله مختلف نشان داده میشود وبا نتایج آزمایشگاهی و عددی در دسترس مقایسه خواهـد شـد.
نتایج از دقت قابل قبولی برخوردارند.

۲- تاریخچه مختصری از مدلسازیهای عددی انجـام شده بر روی جریانهای کاویتاسیونی بـا اسـتفاده از حل معادلات N-S [۲]
در این قـسمت بـهطـور فهرسـتوار بـه معرفـی برخـی ازمدلسازیهای عددی سالهای اخیر کـه بـر مبنـای حـل معـادلاتناویر- استوکس و به منظور شبیهسازی پدیده کاویتاسیون انجامگرفته است، می پردازیم.
کابوتـا و همکـارانش در سـال ۱۹۹۲ بـا اسـتفاده از مـدلاستخراج شده بر اساس معادله ریلـی- پلـست و بـهکـارگیری الگوریتم عددی نشان گذار و سلول۴ بـرای حـل معـادلات سـهبعدی ناویر- استوکس بدون در نظـر گـرفتن اثـرات آشـفتگی ، کاویتاسیون ابری را روی یـک هیـدروفویل در عـدد رینولـدز۱۰۵×۳ مدلسازی کردنـد. در ایـن تحقیـق، ناحیـه حبـاب بـهصورت یک ناحیه تراکمپذیر با چگالی متغیر مدلـسازی شـدهاست و ناپداریهای عددی در نسبتهای چگالی بالا گزارش شده است.
ﹺچن و هیستر در سال ۱۹۹۴ با استفاده از روش تعقیـب مـرز مشترک و به کارگیری الگوریتم عددی نشان گذار و سـلول بـرایحل معادلات دو بعـدی نـاویر- اسـتوکس بـدون در نظرگـرفتن
اثرات آشفتگی، کاویتاسیون لایـه ای را روی یـک جـسم متقـارن محوری در عدد رینولدز ۱۰۵×۳۶/۱ مدلسازی کردند.
دشـپاند و همکـارانش در سـال ۱۹۹۷ بـا اسـتفاده از روش تعقیب مرز مشترک و بهکارگیری الگوریتم عددی تـراکم پـذیری مصنوعی برای حل معادلات دو بعدی ناویر-استوکس بـدون در نظرگرفتن اثرات آشفتگی، کاویتاسیون لایه ای را بـرای سـیالهای سرمازا مدلسازی کردند.
سینگال و همکـارانش در سـال ۱۹۹۷ بـا اسـتفاده از معادلـه انتقال کسر جرمی بخار با جملات چشمه مبتنـی بـر فـشار کـه توسط خود او ارائه شده بود، و به کارگیری الگوریتم عددی مبتنی بر فشار سیمپل برای حل معادلات دو بعدی نـاویر -اسـتوکس و ستفاده از مدل آشفتگیk −ε ، کاویتاسیون لایـه ای را روی چنـد هیدروفویل در عدد رینولدز ۱۰۶×۲ مدلسازی کردند.
مرکل و همکارانش در سال ۱۹۹۸ با استفاده از معادلـه انتقـالکسر جرمی بخار با جملات چشمه مبتنی بر فشار و بـه کـارگیری الگوریتم عددی تراکم پـذیری مـصنوعی بـرای حـل معـادلات دوبعدی ناویر-استوکس و استفاده از یک مدل آشفتگی دو معادلهای، کاویتاسیون لایه ای را روی چند هیدروفویل مدلسازی کردند.
کانز و همکارانش در سالهای ۱۹۹۹ و ۲۰۰۰ بـا اسـتفاده از معادله انتقال کسر حجمی با جملات چـشمه مبتنـی بـر فـشار،معادله پیوستگی ناپایـستار و اسـتراتژی پـیششـرط سـازی کـههمگی توسط خود او ارائـه شـده بـود و بـه کـارگیری الگـوریتم عددی تراکم پذیری مصنوعی بـرای حـل معـادلات سـه بعـدیناویر-استوکس بـه همـراه مـدل آشـفتگیk −ε ، کاویتاسـیون لایه ای، ابری و ابرکاویتاسیون را روی اجسام متقـارن محـوری و نیز روی دماغه یک پرتابه مدلسازی کردند.
ﹶاهوجا و همکارانش در سال ۲۰۰۰ با استفاده از معادلـه انتقـالکسر جرمی بخار با جمـلات چـشمه مبتنـی بـر فـشار، اسـتراتژیپ یش ش رط س ازی و اس تفاده از ش بکه ب ی س ازمان انطب اقی و به کارگیری الگـوریتم عـددی تـراکم پـذیری مـصنوعی بـرای حـلمعادلات سه بعدی ناویر-استوکس به همراه مدل آشـفتگیk −ε ، کاویتاسیون لایه ای را بر روی اجـسام متقـارن محـوری و چنـدین هیدروفویل در اعداد رینولدز ۱۰۵×۳۶/۱ و ۱۰۶×۲ مدلسازی کردند.
ادوارد و همکارانش در سال ۲۰۰۰ با محاسبه توزیع دمـا واستفاده از معادله حالت سانچز برای تعیـین تغییـرات چگـالی وبه کارگیری الگوریتم عددی تراکم پـذیری مـصنوعی بـرای حـلمعادلات سه بعدی نـاویر-اسـتوکس بـه همـراه مـدل آشـفتگیاسپالارت- آلماراس، کاویتاسیون لایه ای را روی اجـسام متقـارن محوری در عدد رینولدز ۱۰۵×۳۶/۱ مدلسازی کردند.
ونتیکاس و همکارانش در سال ۲۰۰۰ با محاسبه توزیع دمـاو استفاده از جداول آب- بخار برای تعیین تغییـرات چگـالی وبه کارگیری الگوریتم عددی مبتنی بر فشار برای حل معادلات دو بعدی نـاویر -اسـتوکس بـدون در نظرگـرفتن اثـرات آشـفتگی ، کاویتاسیون را بر روی چند هیدروفویل مدلسازی کردند.
ونکاتسواران و همکارانش در سال ۲۰۰۱ با استفاده از معادله انتقال کسر جرمی بخار با جمـلات چـشمه مبتنـی بـر فـشار واستراتژی پیش شرط سازی (ارائه شده توسط کـانز و ﹶاهوجـا) و به کارگیری الگوریتم عددی تراکم پـذیری مـصنوعی بـرای حـلمعادلات سه بعدی نـاویر-اسـتوکس بـه همـراه مـدل آشـفتگیk −ε ، کاویتاسیون لایه ای را روی اجـسام متقـارن محـوری درعدد رینولدز ۱۰۵×۳۶/۱ مدلسازی کردند.
سنوسک و همکارانش در سال ۲۰۰۱ با استفاده از معادله انتقال کسر حجمی با جملات چشمه مبتنی بر دینامیـک سـطح مـشترک حباب که توسط خود او ارائه شـده بـود و بـه کـارگیری الگـوریتم عددی مبتنی بر فشار برای حل معادلات سه بعدی ناویر-اسـتوکسبه همراه نسخههای متفاوت از مدل آشـفتگیk −ε ، کاویتاسـیون لایه ای را روی اجسام متقارن محوری مختلف مدلسازی کردند.
ریبـود و کـوتیر در سـال ۲۰۰۳ بـا اسـتفاده از یـک رابطـه باروتروپیک برای تعیین تغییرات چگـالی ، کاویتاسـیون ابـری را درون یک شیپوره همگرا- واگرا با انجام ویرایشهایی روی مـدل آشفتگی به کار گرفته شده، مدلسازی کردند.

۳- نظریه روش و معادلات حاکم
در جریانهـای کاویتاسـیونی، گرادیانهـای شـدید چگـالی و لزجت در سـطوح مـشترک بـین سـیالهای تقریبـﹰا تـراکم ناپـذیربهوجود میآید. پیشبینی دقیق جریان سیالی که شامل این گونهسطوح مشترکاند، مسائل عددی بسیار پیچیدهای ایجاد میکنـدو منجر به ایجاد مسائل سخت۵ میشوند. برای تشخیص سـطحمشترک بین دو فاز از دو دسته فرمولبندی متفـاوت از معـادلاتحاکم بر جریان سیال استفاده می شود.
۱) دسته اول، مدل چند سیالی (مدل اویلر ) است. در مدل چندسیالی، مجموعهای از معادلات بقا، شامل معادلات مومنتم وپیوستگی، برای هر کدام از فازها در نظر گرفتـه مـیشـوند .
اثرات متقابل فازهای مختلف در سطح مشترک آنها به عنوانجملات چشمه و چاه به معادلات بقاء اضافه میشوند.
۲) دسته دوم، مدل سیال مخلـوط (یکنواخـت ) اسـت . در مـدلسیال مخلوط، معادله مومنتم برای کـل مخلـوط و بـرای هـرکدام از فازها نیز به صورت جداگانه یک معادله پیوستگی- درشکل کسر حجمی یا کسر جرمی- نوشته مـیشـود . یکـی ازمعادلات پیوستگی فازها میتوانـد بـا معادلـه پیوسـتگی کـلمخلوط جایگزین شود.[۳] بهمنظور در نظر گرفتن انتقال جرمبین فازهای مختلف، عباراتی به عنوان جملات چشمه و چـاهبه معادلات پیوستگی مایع و مخلوط اضـافه مـیشـوند . ایـنروش، از آنجا که فرض می شـود در سـطح مـشترک دو فـاز،تعادل گرمایی، دینامیکی و پیوستگی سـرعت جریـان وجـوددارد به نام روش “جریان تعادلی همگن” شناخته می شود[۴].
بهمنظور پیشبینی نسبتﹰا دقیق رفتار جریانهای کاویتاسـیونی،یک درک فیزیکی از فرایند تشکیل و انهـدام حبابهـای محتـویبخار، مورد نیاز است تا بتوان نرخ انتقال جرم از آب به بخـار واز بخ ار به آب را مدل کرد. مدل پیشنهاد شـده توسـط مرکـل وهمکارانش نرخ های انتقال جـرم از آب بـه بخـار و بـالعکس رامتناسب با کسر حجمی دو سیال و اختلاف بین فـشار محلـی وفشار بخار سیال قرار می دهد.[۴]
شکل تانسوری معادلات توصیف کننده جریان کاویتاسیونیشامل فاز مـایع و بخـار بـا اسـتفاده از فرمولبنـدی مـدل سـیالمخلوط، در مختصات کارتزین به صورت زیر نوشته می شود.
25907947565

25908140960

1∂p ∂uj⎛ 11 ⎞
ρ βmj⎝ lv ⎠
974598101043

∂ρm iu + ∂ρm iu + ∂ρm iu uj =− ∂p + ∂τij +ρm ig
∂t∂τ∂xj∂xi∂xj

llρ βmljl (۱)

τij = 2µm ijS −ρm u ui′ ′j = 2µm ijS + 2µt ijS
179679629641

= ⎢⎣⎡⎢(µm + µt )⎜⎛⎜⎝ ∂∂xuij + ∂∂uxij ⎟⎥⎞⎟⎠⎥⎦⎤
این معادلات، شامل معادلات ناویر-اسـتوکس متوسـط زمـانی۶ و یک معادله انتقال برای محاسـبه کـسر حجمـی فـاز مـایع اسـت. معادله پیوستگی مخلوط از ترکیـب معـادلات پیوسـتگی (انتقـال ) فازهای بخار و مایع بهدسـت مـیآیـد کـه بـا اسـتفاده از شـگردپیششرط سازی، جمله مشتق زمانی چگالی به آن اضافه و سپسبا ایده مطرح شده در روش تراکمپـذیری مـصنوعی بـه صـورتتابعی از فشار جایگزین میشود. در این رابطه ρl و ρv ، چگـالیفاز مـایع و بخـار،p فـشار، ui مؤلفـههـای سـرعت، τ زمـانمجازی، t زمان فیزیکی، 2β ضریب تراکمپـذیری مـصنوعی، β سرعت صوت مصنوعی، µm وµt به ترتیـب، ضـریب لزجـتجریان آرام و جریان آشـفته و بـالاخرهαl کـسر حجمـی مـایعاست. mv وml نیز نرخ انتقال جرم از فـاز بخـار بـه مـایع و ازمایع به بخار هستند که تنها در مرز بـین دو فـاز، مقـدار غیرصـفردارنـد. در ایـن معادلـه µm وρm ضـریب لزجـت دینـامیکی و چگالی مخلوط اند که از معادلات زیر محاسبه میشوند:
(۲) ρ =α +α ρ =α ∆ρ +ρµ =α +α µ =α ∆µ +µmm ll v vv v ll ll vv ;; ∆ρ = −ρ∆µ = −µll 11 vv سپس این معادلات با استفاده از کمیتهای جری ان آزاد و مقیـاسطول مشخصه، بیبعد میشوند. پس از بیبعد سازی، معـادلاتبه شکل بقایی و بـرداری نوشـته مـیشـوند . در نهایـت، انتقـالمعادلات از فضای فیزیکی به فضای محاسباتی توسط تبـدیلاتانتقال صورت میگیرد. شکل برداری معادلات دو بعدی نـاویر- استوکس چندفازی حالت دائم، بیبعد سازی شده در مختصاتعمومی منحنیالخط بهصورت زیر استخراج میشوند:
Γ∂τQˆ +∂ξ(Eˆ − Eˆ v )+∂η(Fˆ − Fˆv ) = S.ˆ (۳)
در این معادله بردارهای ˆFˆv ، Eˆ v ، Fˆ ، Eˆ ، Q و ˆS عبارت اند از:
Qˆ =

1[p,u,v,αl]T,
J
Eˆ = [U,ρmuU + ξ ρp x , mvU + ξ αp y,lU] ,T
Fˆ =[V,ρmuV + η ρp x , mvV + η αp y,lV,αgV] ,T
U =ξ +ξxuyv,V =η +ηxuyv,
34899672695

Eˆ v = J(µm +µt )[0,(2ξ +ξ2x2y)uξ Re
+ ξ η +ξ η(2 xxyy)uη +ξ ξx yvξ +ξ ηyxv ,η
(ξ + ξ2×2 2y)vξ + ξ η + ξ η( xx2 yy)vη
+ξ ξx yuξ +ξ ηxyuη ,0,0] ,T
32080277503

Fˆv = J(µ +µmt )[0,(2η +η2x2y)uη Re
+ ξ η +ξ η(2 xxyy)uξ
+ξ ηxyvξ +η ηxyvη ,(η + η2×2 2y)vη
+ ξ η + ξ η( xx2 yy)vξ +ξ ηyxuξ
+η ηxyuη ,0,0] ,T
28575060146

Sˆ = 1[ 1( − 1 )(mv + ml ) , 0, 0 , mv + m ,0] ,lT
Jρv
(۴)
که در آنRe=ρlU L∞

µl عدد رینولدز و L و ∞U ، به ترتیبطول مشخصه و سرعت مرجع جریان هستند . ξ و η ها متریک وJ ، ژاکوبین انتقال ، U وV ، مؤلفههای ناوردای سـرعتانـد . در ضمنΓ ماتریس پیششرط سازی است که با فرض چگالی ثابت فازهای مایع و بخار به صورت زیر محاسبه می شود:
35661670954

⎡ 1000 ⎤
⎢ρmβ2⎥
⎢ 0ρm0u∆ρl ⎥
Γ=⎢⎢ 00ρmv∆ρl ⎥⎥ (۵)
⎢ αl⎥

2001 ⎥ ⎢⎣ρmβ⎥⎦

۴- مدل انتقال جرم
تفاوت مدلهای مختلف کاویتاسیون، در مدل سیال مخلـوط،عمدتﹰا در جملاتی است کـه بـرایm , mv l بیـان مـیکننـد . درمعادله (۴) m , mv l به ترتیب، نرخ انتقال جرم از مایع به بخـارو از بخار به مایع، بر اساس مدل ارائه شـده توسـط مرکـل [۴] هستند که از معادله (۶) محاسبه می شوند.

(۶) mmlv ==CCdestprodα(l1MIN(0,P−αl )MAX(0,P− P )vρ−v P )v که در آن *Pv فشار بخار مایع (بـا بعـد) و σ عـدد کاویتاسـیونطبق معادله (۷) به یکدیگر مربوط می شوند.

(۷) P

PU
مقـادیر ثابتهـای Cdest و Cprod ب ه هندسـه و شـرایط جریـان وابـسته انـد، کـه بـا تجربـه عـددی و از طریـق تطبیـق بـا نتـایج آزمایشگاهی کالیبره میشوند. در این تحقیق، بـا توجـه بـه تـشابههندسه و شرایط جریان با مسائل مورد مطالعه در مراجع [۴] و [۵] مقادیر این ضرایب ۱۰ = Cdest و۸۰ = Cprod قرار داده شد هاند.

۵- گسسته سازی عددی
گسستهسازی معادلات نـاویر اسـتوکس چنـدفازی از روشتفاضـل محـدود انجـام شـده اسـت. گسـسته سـازی جمـلات جابهجایی از روش تفاضل بالادسـت بـر مبنـای روش تفاضـلشار، و گسستهسـازی جمـلات لـزج از روش تفاضـل مرکـزیمرتبه دوم انجام گرفته است. جملات مشتق زمانی در معـادلاتمومنتم از رابطه اویلر پس رو مرتبه اول گسسته می شوند.
برای تشکیل تفاضل شارهای مثبت و منفی (دلتای شارها ) و ژاکوبین بردار باقیمانـده در رویـه تفاضـل بالادسـت بـر مبنـایتفاضل شار، ژاکوبین شار جابهجایی و لزج مـورد نیـاز هـستند.
ماتریسهای ژاکوبین شار جابه جایی عبارتاند از:
Aˆ =

∂Eˆ
∂Q
⎢⎡⎢ξ0x ρm(uξξ +xxU)ρmξuyξyuU0∆ρl ⎥⎥⎤ (۸)
= ⎢⎥
⎢ξyρmvξxρm(vξ +yU)vU∆ρl ⎥
⎢⎣ 0α ξl xα ξl yU ⎥⎦
برای اینکه در ژاکوبین شار جابهجایی، مقادیر و بردارهای ویـژهبه نسبت چگالی و کسرهای حجمی وابـسته نباشـند، معکـوسماتریس پیششرط در آن ضرب و سپس به دو ماتریس ژاکوبینمثبت و منفی به صورت زیر تبدیل می شود:
⎡⎢ 0β ρ ξ2 m x β ρ ξ2 m x0 ⎤⎥
⎢⎢ξxuξ +xUuξ0 ⎥⎥
A=Γ−1Aˆ = ⎢⎢⎢ρξmyy⎥⎥⎥ (۹)

vξxvξ +yU0 ⎥
⎢ρm⎥
⎢⎣ 000U⎥⎦
در این بین ماتریس ژاکـوبین شـار نیـز طبـق رابطـه زیـر قابـلاستخراج است:
Aˆ =Γ =Γ ΛAXA A AX−1 , (۱۰)
در این رابطه ΛA ، ماتریس مقـادیر ویـژه ژاکـوبین A ، عبـارتاست از:
diag U,U⎡⎤
375666155128

Λ =A 2 ⎣ 2 +2c ,Uξ 2 −c ,Uξ ⎦ (۱۱) Cξ = U +β ξ +ξ( x y ) 
که در آن XA و 1X−A ماتریس بردارهـای ویـژه سـمت راسـت وچپ ژاکوبین A ، هستند.cξ ، مؤلفه سـرعت صـوت مـصنوعی درراستای ξ است. درباره ژاکوبین ˆB نیز روند مشابهی طی میشود.
برای تعیین جهت تفاضل مکانی از علامت مقـادیر ویـژه ژاکـوبینشار جابهجایی اسـتفاده مـیشـود . بـه عنـوان نمونـه، مـشتق شـارجابه جایی در راستایξ، توسط معادله زیر تقریب زده می شود.

∂EEi 1/2 − Ei 1/2 (۱۲)

شار عددی +Ei 1/2 ، از معادله زیر تعیین می شود.
Ei 1/2+= 0.5⎡⎣E Qˆ ( i 1+ )+ E Qˆ ( i )−φi 1/2+ ⎤⎦ (۱۳)
+φi 1/2 ، یک جمله شار استهلاکی است که به صورت صریح بهشار جابهجایی اضافه میشود. رویـه بالادسـت مرتبـه سـوم بـامعادله زیر داده می شود.
φi 1/23+ =−

13 ⎡⎣∆Ei 1/2+− −∆Ei 1/2++ +∆Ei 1/2−+ −∆Ei 3/2−+ ⎤⎦ (۱۴) :تفاضلات شار در معادله (۱۴) به صورت زیر محاسبه میشوند

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

∆Ei 1/2±+= A± (Q)∆Qi 1/2+ ; (۱۵)
∆Qi 1/2+= Qi 1+ −Qi
ماتریس ژاکوبین مثبت (منفـی ) ±A ، فقـط دارای مقـادیر ویـژهمثبت (منفی) است.
مشتق زمانی در معادله (۳) با کاربرد یک فرمول اویلـر پـسرومرتبه اول گسسته میشود و شکل دلتای معادلات (۳) را می دهد.
Γ(Qˆ n 1+ −Qˆ n ) =−Rˆ n 1+ +Sˆn 1+

∆τ (۱۶)
بالانویسn ، کمیتهـا را در مرحلـه تکـرار زمـان مـصنوعی n ام نشان میدهد. بردار ˆR ، بردار باقیمانده است. بعد از خطیسازی طرف راست به علت استفاده از فرمولبندی ضمنی داریم:
nn
8915941728


دیدگاهتان را بنویسید