حل عددی جریان جابهجایی آزاد گذرا حول کره با استفاده از
DQ-IDQ روش

محمد مقیمی اردکانی* و مهران عامری** بخش مهندسی مکانیک، دانشگاه شهید باهنر کرمان

(دریافت مقاله: ١٨/٨/١٣٨٨- دریافت نسخه نهایی: ٢٧/٩/١٣٨٩)

چکیده – در این مقاله، کارایی روش مربعات دیفرانسیل (DQM) و روش مربعات دیفرانسیل ت که ای (IDQM) در ح ل مسایل جابهجایی آزاد گ ذرابر روی کره بررسی ش ده اس ت. بنابراین ه م بر روی دامنه م کانی و ه م بر روی دامنه زمانی از قوانین روش مربعات دیفرانسیل استفاده ش ده اس ـ ت .
نشان داده ش ده اس ت که ش کستن ک ل بازه زمانی شدیدا کارایی این روش را تقوی ت میکن د. شایان ذکر اس ت که این الگ ـوریت م ت ـا کن ـون ب ـر رویمسایل جریان جابهجایی گ ذرا استفاده نش ده اس ت؛ استفاده از این الگوریت م اولین تلاشی اس ت که برای نشان دادن مزیته ـای ایـن روش در ح ـ لجریان جابهجایی آزاد گ ذرا انجام ش ده اس ت. نتایج این تحقیق دو مزی ت روش مربعات دیفرانسیل ت که ای نسب ت ب ـه س ـایر روش ـهای مرس ـوم دراین گونه مسایل نشان میده د: پای داری بی قی د و شرط و ح داق ل هزینه محاسباتی. برای این منظور، همگرایی مسئله بررسی ش ده و برای م ـواردیکه جواب آنها موجود اس ت، مقایسه بین نتایج انجام گرفته اس ت.

واژگان کلیدی : مربعات دیفرانسی ل، مربعات دیفرانسیل ت کهای، جابه جایی آزاد، گ ذرا

Numerical Solution of Transient Free Convection Using
DQ-IDQ Method around Sphere

M. A. Moghimi and M. Ameri

Mechanical Engineering Department, University of Shahid Bahonar, Kerman, Iran

Abstract: The applicability of the differential quadrature method (DQM) and incremental differential quadrature method
(IDQM) in solving the unsteady free convection flow over a sphere is investigated in this paper. The rules of DQ method are used in both Spatial and temporal domains. Also, it is shown that splitting the total temporal domain greatly enhances the

640084476

* -کارشناسی ارشد ** – دانشیار
performance of method. It is worth mentioning that this is the first attempt in using these methods for modeling of transient convective fluid flow. Two advantages of IDQM over the conventional methods are shown through the results of this study, which are: (1) unconditional stablity & (2) minimum computational effort required. For this purpose, the convergence study is performed and for the cases that a solution is available, comparison is done.
١- مقدمه
گسسته سازی عددی معادلات پاره زمـان منـد بـه دو بخـشتقسیم می شود، گسسته سازی مکانی و گسسته سازی زمـانی. در گسسته سازی مکانی روشهای بسیاری توسـط محققـان اسـتفادهمی شود، که از آن جمله می توان بـه روشـهای تفاضـل محـدود، اجــزای محــدود، حجــم محــدود، طیفــی۱ و روش مربعــات دیفرانسیل(DQM) اشاره کرد. از میان این روشها سه روش اولجزو روشهای مرتبه پـایین بـه حـساب مـی آینـد در حـالی کـهروشهای طیفی و مربعات دیفرانسیل به عنـوان روشـهای مرتبـه بالا شناخته می شوند. روشهای مرتبه پایین برای بهدسـت آوردندقت کافی در محاسـبات نیازمنـد تعـداد گـره هـای محاسـباتیبسیاریاند. این در حالی است که در روشهای مرتبه بـالا، حتـیبا استفاده از تعداد گره های محاسباتی کم نیـز، نتـایج عـددی ازدقت خوبی برخوردار است. روش مربعات دیفرانسیل نخـستینبار توسط بلمن و همکاران [۱و۲] ارایه شد و پس از آن توسـطشو و همکاران [۳-۶] در زمینه بهبـود محاسـبه ضـرایب وزنـیگامهای بهسزایی برداشته شد. این روش در دامنههـای مـنظم بـاتعداد گره های کـم و هزینـه محاسـباتی پـایین قـادر بـه یـافتنجوابهای عددی با دقت بسیار زیاد است[۶]. بـرای اعمـال ایـنروش در دامنه های نـامنظم مـی بایـست در صـورت امکـان بـهنگاشتها در تصویر کردن دامنه نامنظم به دامنه منظم استفاده کرد.
در مسایل سازهای و ارتعاشات از روش مربعات دیفرانـسیل بـهطور گسترده ای استفاده شده است[۷-۱۰]. همچنـین ایـن روشبرای حل عددی معادلات ناویر-استوکس تراکم ناپذیر دوبعدی،با استفاده از روابط ورتیسیتی- تابع جریان (ω,ψ ) در دامنه های منظم و با استفاده از نگاشتها در دامنه های نامنظم، بهطور موثر وبا راندمان محاسباتی بالا بهکار گرفته شده است[۱۱-۱۷]. اما بـه
Keywords: DQM, IDQM, Free Convection, Transient.

هر حال، بهدلیل عدم وجود یک رابطه انتقـال بـرای فـشار و یـایک رابطه برای فشار در معادلات ناویر-استوکس تراکم ناپـذیربا متغیرهای اولیه و همچنین عدم وجود یک مکانیزم بالادستی۲ در این روش، روش مربعات دیفرانسیل با گستردگی زیاد بـرایحل عددی مسایل مرتبط با جریـان سـیال مـورد اسـتفاده قـرارنگرفته است . اما برای حل این دومشکل کارهای بـسیار خـوبیانجام شده است[۱۸و۱۹].
در مقایسه با گسسته سازی مکانی، توجه کمتری نـسبت بـهگسسته سازی زمانی انجام گرفته است. در اکثر مسایل گذرا کـهروش مربعات دیفرانـسیل بـر روی آنهـا اعمـال شـده اسـت ازمربعات دیفرانسیل برای گسسته سازی دامنه مکانی استفاده شـدهاست و از روشهای مختلف تفاضل محـدود در گسـسته سـازیدامنه زمانی استفاده شده است. این روشها تحت عنوان روشهایمربعات دیفرانـسیل هیبریـدی۳ شـناخته مـیشـوند [۲۰و۲۱]. از جمله مهمترین معایب روشهای مربعـات دیفرانـسیل هیبریـدیناپایداری آنهاسـت[۲۲]. بنـابراین محققـان بـهفکـر اسـتفاده ازروشـهای مربعـات دیفرانـسیل غیرهیبریـدی افتادنـد، از جملـه بهروزترین وکاراترین این روشها میتـوان بـه ترکیـب مربعـاتدیفرانسیل تکه ای(IDQ) با مربعات دیفرانسیل(DQ) اشاره کرد.
ایده روش مربعـات دیفرانـسیل تکـه ای در سـال ۲۰۰۶ توسـطهاشمی و همکاران [۲۳] بهکار گرفته شـده اسـت. بـدلیل نوپـابودن ایده این روش تعداد مقالات در این زمینه محـدود اسـت.
به هر حال از این روش در حل عـددی مـسایل انتقـال گرمـایهدایت گذرا استفاده شده است[۲۴-۲۶]. این روش با تکه تکـهکردن دامنه محاسباتی بر زیر دامنـه هـا و اعمـال روش مربعـاتدیفرانسیل بر هر زیر دامنه به بالابردن کارایی ایـن روش کمـکشایانی می کند. این روش در مـسایلی کـه گرادیـان متغیرهـا دربازهای از دامنه اصلی دارای تغییرات شدیدی باشـد، از اهمیـتویژه ای برخوردار است.
از طرفی مسئله جابهجـایی آزاد بـه عنـوان مـسئله رایـج درت شخیص ک ـارایی الگوریتمه ای ع ددی پی شنهادی، اس تفادهمی شود. علت این امر وابسته بـودن معادلـه مـومنتم بـه معادلـهانرژی از طریق نیروی بویانسی است. از طرف دیگر، بـا توجـهبه اینکه این الگوریتم تا کنون بر روی مسایل جریان جابهجـاییگذرا استفاده نشده است؛ در این مقاله،به منظور اثبات کـارایی ودقت الگوریتم عددی ترکیبی پیشنهادی، مسئله جابـه جـایی آزادگذرا در اطراف کره بررسی شده است.

در زمینه جابهجایی آزاد در اطراف کره پژوهشهای بـسیاریانجام شده است[۲۷-۲۹].از جمله آخرین کارهـایی کـه در ایـنزمینه انجام شده است میتوان به مقیمی و همکاران [۳۰] اشارهکرد که جریان جابهجایی آزاد مگنتو هیدرو دینامیک اطراف کرهدر محیط متخلخل با در نظـر گـرفتن توایـد و جـذب گرمـا درحالـت دایـم بررسـی کـرده انـد. امـا در حالـت گـذرا معمـولا پژوهشگران به سراغ هندسه های سادهتر رفتهاند و هندسـههـاییچـون کـره کمتـر مـورد توجـه قـرار گرفتـه اسـت. اینگهـام و همکاران[۳۱] به بررسی جریان جابـهجـایی آزاد گـذرا اطـرافسطوح همدمای سه بعدی در گراشفهای بالا پرداختنـد. ینـگ وهمکارن [۳۲] به بررسی جریان جابهجایی آزاد گذرا اطراف کرههمدما پرداختند که برای این کار از روش حجم محدود استفادهکردند. سـایتو و همکـاران [۳۳]جریـان جابـهجـایی آزاد گـذرااطراف کره با شار ثابـت را بررسـی کردنـد کـه از روش حجـممحدود برای مدلسازی استفاده کردنـد. کاتیگـاری و پـاپ [۳۴] جریان جابهجایی آزاد گذرا را اطراف کره دما ثابت را با استفادهاز تفاضل محدود بررسی کردند .
در این مقاله به بررسی کارامدی الگوریتم ترکیبیDQ-IDQ برای حـل عـددی جریـان جابـهجـایی آزاد لایـه مـرزی گـذراپرداخته شده است. بدین منظور جریان جابهجایی آزاد گذرا بـرروی کره بررسی شده و کارامدی استفاده از این الگوریتم نسبتبه سایر الگوریتمها نشان داده شده است.
۲- اصول ریاضی روش دیفرانسیل کوادریچر
ایده اولیـه ایـن روش برگرفتـه شـده از روش انتگرالگیـریمربعی است . در این روش نیز مشتق در یـک راسـتای معـین ازتمامی گره های محاسباتی در این راسـتا اثـر مـیپـذیرد . میـزاناثرپذیری گره های محاسباتی را ماتریس ضـرایب وزنـی تعیـینمیکند. به عبارت دیگر مشتق یک تابع نـسبت بـه متغیـر آن دریک نقطه معین، با مجموع خطی حاصلضرب ضرایب وزنـی درمقدار تابع در نقاط موجود در دامنه آن متغیر محاسـبه مـیشـودتابعg( , )η τ را در نظر بگیرید که میدان آن بر روی یک ناحیـهمستطیلی بـه صـورت 0≤η≤a و ≤τ≤ b 0 قـرار دارد. در ناحیه داده شده مقادیر تابع معلوم است و یا اینکه بر روی نقاطناحیه خواسته شده اند.
بــر اســاس روش مربعــات دیفرانــسیل، مــشتق r ام تــابع g( , )η τ را میتوان این گونه تقریب زد.
103632-46802

∂r g( , )η τNη

∂ηr(ητ = η τ, ) ( i, j)m 1=
Nη (۱)

Agmj
i =1,2,…,Nη , j =1,2,…,NτکهAijη(r) ضرایب وزنی وNη تعداد کل گرهها در دامنه موردنظر است. این تقریب را تقریب کلی روش شو می نامند که الهام گرفته شده از تقریب بلمن است. از جمله مـشکلاتی کـه روشبلمن داشت بد وضعیت بودن ماتریس ضرایب وزنی با افـزایشتعداد نقاط و افزایش مرتبه مشتقات و همچنـین نبـود رابطـهای صریح برای محاسبه ماتریس ضرایب مشتقات بـالاتر اسـت کـهشو [۶] با ارایه روش خود بر این مشکلات فایق آمد و موفق بهارایه روش صریحی برای بهدست آوردن ماتریس ضرایب شـد. بـا توجـه بـه معادلـه (۱) مولفـه اساسـی در تقریـب مربعـات دیفرانسیل تعیین ضرایب وزنی (Aijη(r) ) است و انتخاب نقاطنمونه اسـت. بـه منظـور تعیـین ضـرایب وزنـی مـیبایـست ازمجموعه از توابع آزمون در معادله (۱) استفاده کرد کـه شـو بـاانتخاب تابع لاگرانژ به عنوان تابع آزمون کلـی، ضـرایب وزنـی برای تعیین مشتق مرتبه اول در جهتηi بـه نحـو زیـر تعیـینکرده است[۶]:
⎧ Nη
⎪−

Afor i = j

448818160710

A⎪⎪1M(ηi)for i ≠ j;(۲)
⎪⎩a (η −ηij)M(ηj)
i, j =1,2,….,Nη که در آن

M(

)() (۳)
برای محاسبه ضرایب مشتقات مرتبه بالاتر ، شـو [۶] روش زیـررا پیشنهاد داده است که به روش ضرب ماتریسی معروف است.
⎡⎣A(m) ⎤ ⎡⎦ ⎣== ⎡AA(1)(m⎦⎣⎤⎡−1)A⎤⎡(mA−(1)1) ⎦⎤⎤, m = 2,3,…,N −1(۴)
⎣⎦⎣⎦
که در آنm مرتبه مشتق را نشان میدهد. به همـین منـوال نیـزمی توان ضرایب وزنی مربوط به جهت τ را نیز به دست آورد.
همانگونـه کـه شـو [۶] نـشان داده اسـت انتخـاب شـبکهنایکنواخت چبشف -گـاوس -لوبـاتو ۵ منجـر بـه دقـت بـالاتر وپایداری مطلق حل عددی میشود. بنابراین انتخاب گـرههـا بـرروی ناحیه محاسباتی با استفاده از معادله زیر تعیین میشود.

1

2
3
N
τ

h

1

2

3

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

N

  • 1

دیدگاهتان را بنویسید