ρpg +y (۱)
که در آنρ ، p وg به ترتیـب فـشار، چگـالی آب و شـتابجاذبهاند. درصورتی کهv بهعنوان بردار سرعت دارسـی سـیالدر محیط متخلخل در نظر گرفته شود، میتـوان آن را برحـسبهد پیزومتریک به صورت زیر بیان کرد. (۲) ∇v=−k h
در این معادله k ضریب هدایت هیدرولیکی اسـت. درصـورتیکه معادله (۲) در معادله پیوستگی یا قانون بقای جرم جاگـذاریشود، معادله حاکم زیر که تحت عنوان معادله لاپـلاس شـناختهمی شود به دست خواهد آمد.
∇2h 0= (۳)
شرایط مرزی مورد نیاز برای حل معادله دیفرانسیل فوق در ادامـهتشریح میشود. با توجه به شکل(۱)، توزیـع فـشار روی سـطوحداخلی کانالAB بهصورت فشار هیدرواسـتاتیک اسـت ، شـرایطمرزی روی این سطوح بهصورت زیر بیان می شوند.
h h= con AB (۴)
که در این رابطهhc حداکثر عمق سیال در کانال است. بـر رویمـرز زهکـش CD کـه از طریـق آن سـیال وارد فیلتـر زهکـش میشود، شرایط مرزی اتمسفری اعمال میشود. به عبارت دیگرفشار روی این سطح باید صفر باشد و شرط مرزی بـهصـورتزیر بیان می شود.
h = yon CD (۵)
بر روی سطح آزاد آبBC دو شرط مرزی بهطور همزمان بایداعمال شوند که عبارت اند از شرط مـرزی فـشار صـفر و شـرطمرزی نفوذ ناپذیری. این شرایط مرزی نیز بهصـورت زیـر بیـان میشوند. (۶-الف) n0onBC

(۶-ب) h y=on BC
در معادله فوقn بردار یکـه عمـود بـر سـطح آزاد آب اسـت . گرچـه معادلـه حـاکم بیـان شـده در معادلـه (٣) یـک معادلـه دیفرانسیل خطی است، اما مجهول بـودن شـکل هندسـی دامنـهمسئله و غیر خطـی بـودن شـرط مـرزی بیـان شـده در معادلـه (۶-ب)، موجب پیچیده شدن حل این گونه مسائل میشود.
لازم به ذکر است درصورتی کـه در قـسمتی از مـسئله شـرطمرزی تقارنی وجود داشته باشد، این شرط بهصورت شرط مرزینفوذ ناپذیری اعمال میشود. پس از حل معادله حـاکم و شـرایطمرزی بیان شده در معادلههای (۳ تا ۶) و بـهدسـت آمـدن شـکل سطح آزاد آب و میدان هد پیزومتریک در دامنه مـسئله، مـیتـواننرخ جریان نشتیq از هر سطح مورد نظر را با استفاده از سرعتدارسی بیان شده در معادله(۲) به صورت زیر بهدست آورد.
q =−k∫∇ Γhd (۷)

۳- روش اجزای محدود شبکه ثابت هموار شده
در روش اجزای محدود استاندارد، دامنه مسئله بـه تعـدادیجزء تقسیمبندی میشود که اصطلاحﹰا شـبکه محاسـباتی نامیـدهمیشود. شبکهبندی باید به نحوی انجام شـود کـه وجـوه اجـزا

شکل ۲- نمونه ای از یک شبکه متقاطع با مرز که در آن مرز دامنه از درون اجزا عبور کرده است

بر مرز دامنه منطبق باشد. ساخت شبکههـای منطبـق بـر مـرزبه ویژه هنگامی که مسئله در دست حل، یک مسئله دارای دامنه متغیر باشد، فرایندی پرهزینه است. زیرا در هر مرحلـه تکـرارکه هندسه مسئله تغییر میکند، شبکه نیز باید اصلاح شـده تـاتغییرات هندسی را دنبال کند. یکی از راههای پرهیز از اصلاحشبکه، استفاده از شـبکههـای غیـر منطبـق بـر مـرز اسـت. در شبکههای غیر منطبق بر مرز، مرز دامنـه مـیتوانـد مـستقل ازشبکه تغییر کرده و نیاز به اصلاح شبکه برطرف مـی شـود. در شکل (٢) نمونهای از یک شبکه غیر منطبق بر مرز نـشان دادهشده است . همانطور که در این شکل دیده میشود قـسمتی ازمرز دامنه از درون اجزا عبور کرده و در نتیجه اجزا با توجه بهموقعیتشان نسبت به مرز به سه دسته اجزای داخلی، خارجی و متقاطع با مرز تفکیک شدهانـد . در تحقیـق حاضـر، مجموعـهاجزای داخلی و متقاطع با مرز اصطلاحاﹰ اجزا فعال و گره های قرارگرفته روی این اجزا گرههای فعال نامیده شـده اسـت. در این صورت، میدان متغیر وابسته توسط اجزای فعال و برحسب مقادیر گرهای در گرههـای فعـال بـهصـورت زیـر تقریـبزده می شود.
h (x)h = N HT (۸)
در معادله فوقN بـرداری شـامل توابـع شـکل وH بـرداریشامل مقادیر گرهی مربوط به گرههای فعال است. به این ترتیبپس از ساخته شدن توابع تقریب و تشکیل بردارN میتوان بـابهکار بردن روش بـاقیمانـدههـای وزندار بـرای ایجـاد شـکل ضعیف معادلات حاکم و سپس استفاده از روش گالرکین بـرایانتخاب توابع وزن، معادلات دیفرانسیل حاکم و شـرایط مـرزیطبیعی را به صورت زیر گسسته کرد [٢٢].
KH R= (۹)
در معادله فوقR بردار بارگذاری و K ماتریس ضرایب اسـتکه به صورت زیر برحسب مشتقات توابع شکل تعریف می شود.
K

B Bd (۱۰)
در معادله فوق ماتریسB عبارت است از گرادیان توابـع شـکلکه به صورت زیر بیان میشود.
B = ⎡⎢∂ ∂∂ ∂/ x/ y⎤⎥⎦ N (۱۱)
⎣محاسبه ماتریس ضرایب در معادله (١٠) نیازمند انتگـرالگیـریروی دامنه مـسئله اسـت . در روش اجـزای محـدود اسـتاندارد،بهدلیل تطابق شبکه بر مرز، این انتگرال به یـک سـری انتگـرالروی اجزایها شکسته شده و با استفاده از نگاشـت مختـصات وروش انتگرالگیری گوس محاسبه مـی شـود. در مق الـه حاضـر،بـهدلیـل عـدم تطـابق شـبکه بـر مـرز، انتگـرال بیـان شـده در معادله (١٠) به انتگرال روی اجـزای داخلـی و قـسمت داخلـیاجـزای متقـاطع بـا مـرز شکـسته مـی شـود . بـه عبـارت دیگـر معادله (١٠) به صورت زیر بیان میشود.
K =∑ ∫ B BdT Ω+ ∑ ∫ B BdT Ω (۱۲)
i IE∈ Ωii BIE∈ωi
در معادله فوقIE وBIE به ترتیب بیـانگر مجموعـه اجـزای داخلی و مجموعه اجزای متقـاطع بـا مـرز هـستند . Ωi بیـانگرناحیه جزء داخلیi ام وωi نیز بیـانگر قـسمت داخلـی جـزء متقاطع با مرز i ام است.
جمله اول از سمت راست معادله (١٢) شـامل انتگـرالگیـریروی دامنه اجزای داخلی است و به سادگی با استفاده از نگاشـتمختصات و روش انتگرالگیری گوس قابـل محاسـبه اسـت. امـامحاس به جمل ه دوم از س مت راس ت ای ن معادل ه ک ه ش امل انتگرال گیری روی قسمت داخلی اجـزای متقـاطع بـا مـرز اسـتنیاز به دقت بیشتری دارد. زیرا قسمت داخلی اجزای متقاطع بـامرز از الگـوی هندسـی مشخـصی پیـروی نکـرده و نمـیتـو ان مستقیمﹰا از نگاشت برای انجام انتگرالگیـری روی ایـن نـواحیاستفاده کرد.
در مقالــه حاضــر، محاســبه مــشتقات توابــع شــکل درمعادله (١١) و محاسبه تمام انتگرالهای دامنهای در معادلـه (١٢) براساس تکنیک هموارسازی گرادیان انجام شده اسـت. در ایـنروش هر جزء به تعـدادی سـلول هموارسـازی تقـسیم شـده وس پس در ه ر س لول هموارس ـازی، ب ا تعریـف ی ک ه ـستههموارساز، گرادیان توابع شکل به صورت زیر نوشته می شود.

ΩS (۱۳)
در معادله فوقNi تابع شکل مربوط بـه گـرهi ام،ϕS هـستههموارساز مربوط به سلول هموارسازیS ام وΩS دامنـه ایـنسلول است. در شکل (٣) یک جزء داخلی و تقسیمبندی آن بـهسلولهای هموارسازی نشان داده شده است. با استفاده از قـضیه انتگرالگیری جزء به جزء، معادلـه فـوق بـهصـورت زیـر بیـانمی شود. (۱۴) i∫ NiS d∫ NiS nd

ΩSΓS
که در آنΓS مرز سلول هموارسازی وn بردار یکه عمود بر مرز آن است. درصورتی که تابع هموارسازیϕS بـهصـورت مناسـبی انتخاب شود میتوان مشتقات توابع شکل را بهنحو سادهتـری نیـزبیان کرد . بنابراین برای این منظور، تابع هموارسازϕS بـهصـورت

1357884-1501731

شکل ۳- الف) نمونه ای از یک جزء داخلی و تجزیه آن به سلولهای هموارسازی، ب) مسیرهای محاسبه انتگرالهای خطی
یک تابع تکه تکه ثابت۱ در نظر گرفته میشود [١۵].
(۱۵) ϕS(x) =⎧⎨⎩10/ AS xx∈Ω∉ΩSS در معادله فوقAS مساحت سلول هموارسـازی اسـت . چنـینانتخابی برای تابع هموارسازیϕS موجب میشـود کـه جملـهاول از سـمت راسـت معادلـه (١۴) صـفر شـده و ایـن معادلـه بهصورت زیر برحـسب انتگـرال خطـی روی وجـوه سـلولهایهموارسازی تبدیل شود.

i

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

A1S ∫ i (۱۶)
ΓSبه عبارت دیگر استفاده از تکنیک هموارسازی گرادیان و انتخـابمناسب تابع هموارسازی، موجب شد کـه گرادیـان توابـع شـکلبدون نیاز به مشتقگیری مستقیم از توابع شکل، بـهصـورت یـکانتگرال خطی روی مرز سلولهمـوارسـازی مطـابق معادلـه (١۶) بهدست آید . بنـابراین بـا اسـتفاده از معادلـه (١۶) بـرای محاسـبهمشتقات توابع شکل، میتوان ماتریس گرادیان همـوار شـدهBS را بهصورت زیر در هر سلول هموارسازی تعریف کرد.
BS =

A1S ∫ nN dΓ (۱۷)
ΓSلازم به ذکر است که انتگرالهای بیان شده در معادلههای (١۶) و(١٧) انتگرالهای خطی بوده و بـه سـادگی بـا اسـتفاده از روشگوس یک نقطهای قابل محاسبهاند. برای این منظور لازم اسـتدر ابتدا نقطه برخورد وجوه سلولهای هموارسازی و مـرز دامنـهمحاسبه شده و بخش داخلی وجـوه سـلولهای هموارسـازی درنظر گرفته شود. سپس با تعریف یک نگاشت مختصات و آنگاهاستفاده از روش انتگرالگیری گوس، انتگرالهـای بیـان شـده درمعادلههای (١۶) و (١٧) قابل محاسـبهانـد . لازم بـه ذکـر اسـتجزییات این محاسبات در مرجع [١۶] ارائه شده است. بنـابراینبا جاگذاریBS از معادله فوق به جای ماتریس گرادیـانB درمعادله (١٢) و شکستن انتگرال روی هر جزء بـه انتگـرال رویسلولهای هموارسازی، داریم:
K =∑ ∑ ∫ B B d STS Ω + ∑ ∑∫ B B d STS Ω (۱۸)
i IE∈S ΩSi BIE∈S ωS
در اینجا باید توجه شود که ماتریس گرادیان همـوار شـدهBS در هر سلول هموارسازی یـک مـاتریس ثابـت اسـت. بنـابراینعبارتهای زیر انتگرال در معادله فوق عبارتهای ثـابتی بـوده و اززیر انتگرال خارج میشوند و ماتریس ضـرایبK بـهصـورتزیر بیان می شود.
K =∑∑(B B A STSS) + ∑∑(B B A STSS) (۱۹)
i IE∈ Si BIE∈S
به عبارت دیگر، در روش حاضر، محاسـبه مـاتریس ضـرایببدون انجام انتگرالگیری دامنـهای و تنهـا از طریـق محاسـبهانتگرالهای خطی روی وجـوه سـلولهای هموارسـازی انجـامشد. در شکل (٣) مسیرهایی که ایـن انتگرالهـای خطـی رویآنها بای د محاسبه شود برای یک جزء داخلی نـشان داده شـدهاست.

1296164-1650320

شکل ۴- الف) نمونه ای از یک جزء متقاطع با مرز و تجزیه آن به سلولهای هموارسازی، ب) مسیرهای محاسبه انتگرالهای خطی
ویژگی قابل توجه روش حاضر هنگام محاسبه ماتریسهایاجزای متقاطع با مـرز آشـکار مـیشـود . در ایـن اجـزا شـکلهندسی قسمتهای داخلـی آنهـا از الگـوی هندسـی مشخـصی پیروی نکـرده و بنـابراین اسـتفاده از روشـهای مرسـوم بـرایمحاسبه انتگرالهای دامنه ای روی این نواحی با مشکلاتی همراه است. این درحالی اسـت کـه انتگرالهـای خطـی روی وجـوهسلولهای هموارسازی بسیار سادهتر از انتگرالهای دامنهای قابلمحاسبهاند. بنابراین در روش حاضـر، بـهدلیـل عـدم محاسـبهانتگرالهای دامنهای، از مشکلات مربوط بـه آنهـا نیـز اجتنـابشده است . در شکل(۴) یک جزء متقاطع بـا مـرز و سـلولهایهموارسازی و مرزهای آن که انتگرالهای خطی باید روی آنهـامحاسبه شوند، نشان داده شده اسـت. از مزایـای دیگـر روشحاضر این است که بهدلیل عدم استفاده از نگاشت مختـصاتبرای انجام انتگرالگیریهای دامنهای، محدودیتی روی زوایـای داخلی اجزا وجود ندارد [١۵].

۴- پارامتری کردن مرز مجهول و الگوریتم حل
هدف این تحقیق حل مسائل نشت نامحدود و دستیابی بـهیک شکل تقریبی برای سطح آزاد جریان سیال است. یکـی ازراههایی که در ایـن مـورد وجـود دارد پـارامتری کـردن مـرزمجهول و سپس جـستجو در یـک فـضای پـارامتری بـا ابعـادمحدود است. برای این منظور، در این مقاله، تعداد محـدودینقاط کلیدی روی سطح آزاد در نظر گرفته و از طریـق اتـصالاین نقاط توسط تعدادی پاره خط مرز مجهول تشکیل می شود.
در این صورت اگر مختصات این نقاط کلیدی بهطور مناسبیمعین شوند، مرز مجهول توسط یک خط شکـسته تقریـب زدهمیشـود . طـرح شـماتیکی از نحـوه پـارامتری کـردن مـرز در

شکل ۵- پارامتری کردن مرز مجهول ازطریق تعریف تعدادی نقاط کلیدی روی مرز

شکل(۵)نشان داده شده اسـت. همـانطو ر کـه در شـکل دیـدهمیشود، مکان هر نقطه کلیدی توسط یک نقطه پایه، یک بردارجهت و فاصله آن تا نقطه پایه تعیین می شوند. به عبارت دیگر مکان نقـاط کلیـدی روی سـطح آزاد بـهصـورت زیـر نوشـتهمی شوند.
(۲۰) xi = Bi +rei i در معادله فوقei ، B i وxi به ترتیـب مختـصات نقطـه پایـه،بردار جهت و مختصات نقطه کلیدیi ام اسـت. ri نیـز بیـانگرفاصله نقطـه کلیـدی تـا نقطـه پایـه اسـت . در تحقیـق حاضـر،مختصات نقا ط پایه و بردارهای جهت ثابت و تنها فاصله نقـاطکلیدی تا نقاط پایه،ri ، بـه عنـوان پارامترهـای مجهـول در نظـرگرفته شده است. بنابراین به ازای هـر نقطـه کلیـدی تنهـا یـکپارامتر مجهول وجود خواهد داشت. درصورتی کـه ازn نقطـهکلیدی برای تقریب مرز استفاده شود، بردار پارامترهای مجهـول بهصورت زیر مرتب می شود.
P= [r1, r2, “, rn ]T (۲۱)
در اینجا لازم است توجه شود نقاط پایه و بردارهای جهت بایدبه نحوی انتخاب شوند که سطح سـاخته شـده از طریـق نقـاطکلیدی که مختصات آنها در معادله (۲۰) ارائه شده است بتوانـدبیـانگر تقریبـی از سـطح آزاد سـیال باشـد. بـه عبـارت دیگـر درصورتی که انتخاب نقاط پایه و بردارهای جهـت بـهصـورتیباشند که نقاط کلیدی در معادله (۲۰) نتوانند بیانگر نقـاط روی سطح آزاد باشند، حل مسئله امکانپذیر نخواهد بود.
همانطور که بیان شد حل عددی مسائل نـشت نامحـدود دریک فرایند تکراری انجام میشود. به این صـورت کـه در ابتـدایک حدس اولیه بـرای بـردار پارامترهـای مجهـولP در نظـرگرفته و سپس در یک فرایند تکراری، پارامترهای شکل اصـلاحشده تا شرایط مرزی غیـر خطـی روی سـطح آزاد ارضـا شـود. بنابراین با توجه به شرط مرزی بیان شـده در معادلـه (۶-ب) و معرفی یک پارامتر پایدارسازی، پارامترهای شـکل بایـد طـوریاصلاح شوند که ارتفاع نقاط کلیدی واقـع بـر روی سـطح آزادآب از معادله زیر پیروی کنند. (۲۲) yinew = yiold + (hi − yiold )α در معادله فوقyiold وyinew ارتفاع نقطه کلیدیi ام به ترتیبدر مرحل ه تک رار قب ل و بع د هـستند. hi عبـارت اس ت از هد پیزومتریک محاسبه شده در مکـان نقطـه کلیـدی i ام وα پارامتر پایدارسازی است. درصورتی که مختصات نقاط کلیـدیاز معادله (۲۰) در معادلـه (۲۲) جاگـذاری شـود، مـیتـوان بـهدستور زیر برای اصـلاح پـارامتر مجهـولri در مرحلـه تکـرارجدید دست یافت.
(۲۳) (rinew =

e1yi (riold + −(hiByi −e ryi iold) از آنجا که متغیر میدانh تابعی غیرخطی از پارامترهای مجهولP است، پارامتر پایدارسازیα در معادله فوق بیـانگر نـوعیپارامتر آزادسازی است که باعث یکنواخت شدن نرخ همگراییو کاهش نوسـان و پـرش احتمـالی در پارامترهـای مجهـول درمراحل تکرار مختلف میشود. انتخاب ایـن پـارامتر بـهصـورتتجربی انجام میشود و بـا مـشاهده نوسـان و پـرش در مقـدارپارامترهای مجهول، پارامتر α باید کاهش یابد.
نکته دیگری که باید مـورد اشـاره قرارگیـرد معیـار خاتمـهفرایند تکراری فوق است . در تحقیق حاضر، فرایند تکرار زمانیخاتمه مییابد کـه میـزان تغییـر در پارامترهـای مجهـول در دومرحله تکرار متوالی از حد معینی کوچکتر شود. به عبارت دیگرشرط خاتمه فرایند تکراری به صورت زیر نوشته میشود.

=i 1در این رابطهε آستانه قابل قبول تغییر در دو مرحله تکرار متوالیاست و باید بهطور تجربی معین شود . با توجه به موارد بیان شده،الگوریتم کلی حل مسئله در شکل (۶) نشان داده شده است.

۵- مثالهای عددی
در این تحقیق برای بررسی کـارایی روش پیـشنهادی، چنـدمثال عددی حل شده و در دو مورد برای اعتباربخشی به نتـایج،شکل سطح آزاد حاصل از روش پیشنهادی با نتایج ارائـه شـدهدر دیگر منابع مورد مقایسه قرار گرفته است.

1687830-2200484

شکل ۶- الگوریتم کلی حل مسئله نشت نامحدود

817626-2294210

شکل ۷- ابعاد مقطع کانال در مثال اول به همراه نحوه پارامتری کردن سطح آزاد آب و شبکه غیر منطبق بر مرز مورد استفاده

(۲۴) nrinew −riold≤ ε∑ ۵- ١- مثال اول: کانال قرار گرفته روی یک سطح زهکش
در مثال اول جریان نشتی در ناحیه بین زیر بستر یک کانـالمتقارن با مقطع ذوزنقه و سطح زهکش افقـی در زیـر آن مـوردبررسی قرار گرفته است. ابعاد هندسـی کانـال، عمـق زهکـش، عمق آب در کانال و نحوه انتخاب نقاط پایه و بردارهای جهـتبرای پارامتری کردن مرز مجهول در شکل (٧) نـشان داده شـدهاست. با توجه بـه تقـارن موجـود، تنهـا نیمـی از دامنـه مـسئلهمدلسازی شده است. شبکه غیر منطبق بر مرز مورد استفاده نیـزدر این شکل نشان داده شده است. همـان طور کـه در شـکل (٧) دیده میشود، انتخاب نقاط پایه و بردارهـای جهـت بـه نحـویانجــام شــده اســت کــه توانــایی بازســازی مــرز مجهــول را داشته باشند. با انتخاب یک حدس اولیه برای شکل سطح آزاد واستفاده از روش پیشنهادی، شکل سطح آزاد و نرخ جریان نشتیاز بستر کانال بهدست آمد . حدس اولیه و شکل نهایی سطح آزادبهدست آمده برای این مسئله در شکل(٨) نشان داده شده است.
علاوه بر این، شکل سطح آزاد ارائه شده در منبع [۴] نیز در اینشکل نشان داده شده است. همانطور که دیـده مـیشـود، نتـایجحاصل از هر دو روش از تطابق خوبی برخوردار هـستند. نـرخجریان نـشتی از بـستر کانـال بـرای ایـن مـسئله بـا اسـتفاده ازمعادله (٧) برابر2q = 6.75 m /s به ازای طول واحد عمـود بـردامنه مسئله برای یک نیم از مقطع کانال به دست آمد.

۵- ٢- مثال دوم: کانال قرار گرفته روی یک سطح زهکش

1880616-3288621

شکل ۸- شکل سطح آزاد به دست آمده برای مثال اول و مقایسه آن با مرجع [۴]
در دومین مثالی که در این مقاله مورد بررسـی قـرار گرفتـهاست نیز به جریان در زیر بـستر یـک کانـال متقـارن بـا مقطـعذوزنقه پرداخته شـده اسـت. ابعـاد کانـال و عمـق زهکـش درشکل(٩) نشان داده شده است. در این شکل، نحوه انتخاب نقاط پایه و بردارهای جهت برای پارامتری کـردن مـرز مجهـول نیـزنشان داده شده است. با توجه به تقـارن موجـود، تنهـا نیمـی ازدامنه مسئله مدلسازی شده و شبکه غیر منطبـق بـر مـرز مـورداستفاده نیز در این شکل نشان داده شده است. در این مثال برایبررسی اثر انتخاب حدس اولیـه بـرای شـکل سـطح آزاد، چنـدحدس اولیه متفاوت انتخـاب شـده و مـسئله بـرای هـر حالـتبهطور جداگانه حل شـده و نتـایج در شـکل (١٠) ارائـه شـدهاست. در این شکل، حدس اولیه، نحوه تغییر شـکل سـطح آزاددر چند مرحله تکرار و شکل نهایی حاصل از هر حالـت نـشانداده شده است . همـانطور کـه دیـده مـی شـود انت خـاب حـدساولیههای متفاوت تاثیر قابل توجهی برروی شکل نهـایی سـطحآزاد نداشته و در هر حالت شکل سطح آزاد پس از چند مرحلـهتکرار به شکل نهایی همگرا میشود. بـرای اعتبارسـنجی نتـایجحاصــله، شــکل نهــایی ســطح آزاد بــا نتــایج ارائــه شــده درمرجع [٢٣] مورد مقایسه قـرار گرفتـه اسـت. همـانطور کـه درشکل (١١) دیده میشود، نتایج حاصـل از روش پیـشنهادی بـانتایج ارائه شده در مرجع [٢٣] از تطابق خوبی برخوردارند. نرخ جریان نشتی نیز برای این مسئله با استفاده از معادلـه (٧) برابـر

شکل ۹- ابعاد مقطع کانال در مثال دوم به همراه نحوه پارامتری کردن سطح آزاد آب و شبکه غیر منطبق بر مرز مورد استفاده

شکل ۱۰- انتخاب چند حدس اولیه متفاوت برای شکل سطح آزاد آب در مثال دوم

شکل ۱۱- شکل سطح آزاد بهدست آمده برای مثال دوم و مقایسه آن با مرجع [۲۳]

شکل ۱۲- ابعاد مقطع کانال در مثال سوم به همراه نحوه پارامتری کردن سطح آزاد آب

2q =16.56 ft /sec به ازای طول واحد عمود بر دامنه مـسئله وبرای یک نیم از مقطع کانال به دست آمد.

۵- ٣- مثال سوم: کانال قرار گرفته روی یک سطح نفوذ ناپذیر با زهکش جانبی
در سومین مثال، جریان سیال نشتی در زیر بستر یک کانـالمتقارن ذوزنقهای قرار گرفته روی یک سـطح نفـوذ ناپـذیر کـهسطح زهکش در طرفین کانال قرار گرفته باشـد مـورد بررسـیقرار گرفته است. ابعاد مقطـع کانـال و محـل قرارگیـری سـطحزهکش در شکل (١٢) نـشان داده شـده اسـت. در ایـن شـکل،فاصله محور تقارن کانال و سطوح زهکش جـانبی بـاd نـشانداده شـده و مـسئله بـرای پـنج حالـت 40 ft ، 30 ft ، 20 ft ، 50 ft و60 ft حل شده است. همانند مثالهای قبـل، در اینجـانیز از تقارن موجود استفاده شده و تنها یک نیم از دامنـه مـسئلهمدلسازی شده و نحوه انتخاب نقاط پایه و بردارهای جهت نیزدر شکل (١٢) نشان داده شده است. پس از حل مـسئله، شـکلسطح آزاد جریان برای هریـک از حالتهـا بـهدسـت آمـده و درشکل (١٣) رسم شده است. نرخ جریان عبوری نیز برای هریکاز حالتها در جدول (١) ارائه شده است.

758190-1888064

شکل ۱۳- شکل سطح آزاد در مثال سوم برای حالتهای متفاوت فاصله زهکش

جدول ۱- نرخ جریان نشتی در زیر بستر کانال در مثال سوم به ازای طول واحد عمود بر دامنه
۶۰ ۵۰ ۴۰ ۳۰ ۲۰ فاصله زهکش (ft)
۳/۲۴ ۳/۹۳ ۴/۹۴ ۶/۵۸ ۹/۶۰ نرخ جریان نشتی ft2/sec

960120-2674448

شکل ۱۴- ابعاد مقطع کانال در مثال چهارم به همراه نحوه پارامتری کردن سطح آزاد آب
۵- ۴- مثال چهارم: ردیفـ ی از کانالهـای مـواز ی قـرار گرفته روی یک سطح زهکش
در آخرین مثال عددی، جریان نـشتی زیـر بـستر ردیفـی ازکانالهای موازی که بر روی یک سطح زهکش قرار دارند مـوردبررسـی قـرار گرفتـه اسـت. ابعـاد کانالهـا و عمـق زهکـش درشکل (۱۴) نشان داده شده است. همـانطور کـه در ایـن شـکلدیده میشود، مسئله دارای دو محور تقارن بوده و بنابراین ناحیه بین این دو محور تقارن مدلسازی شـده اسـت. در ایـن شـکلفاصله بین دو محور تقارن باs نشان داده شده و مـسئله بـرایس ه حال ت مختل ف s =14 ft ، s =13 ft و s =15 ft م ورد بررسی قرار گرفته است. نحوه پارامتری کردن سطح آزاد جریاننیز در شکل (۱۴) نشان داده شده اسـت. پـس از حـل مـسئله، شکل سطح آزاد جریان برای هر سه حالت در شکل (۱۵) نشان داده شده است. نرخ جریان نشتی نیز در جـدول (۲) بـرای هـرحالت ارائه شده است.

۶- نتیجه گیری

1578865-3295479

شکل ۱۵- شکل سطح آزاد در مثال چهارم برای حالتهای متفاوت فاصله کانالهای موازی

جدول ۲- نرخ جریان نشتی در زیر بستر کانال در مثال چهارم به ازای طول واحد عمود بر دامنه
۱۵ ۱۴ ۱۳ فاصله بین محور تقارن (ft)
۱۶/۸۵ ۱۶/۴۱ ۱۵/۶۵ نرخ جریان نشتی ft2/sec
در این مقاله، مسائل نشت سـیال دارای سـطح آزاد در زیـربستر کانالهای باز مـورد بررسـی قـرار گرفـت و از یـک روشجدید براسا س شبکههای غیر منطبق بر مـرز بـرای حـل مـسئلهاستفاده شد . بهکارگیری شبکههای غیر منطبق بر مرز باعث شـدکه در هر مرحله تکرار که شکل هندسی مسئله تغییر میکند، بهاصلاح شبکه نیازی نباشد. این ویژگی باعث شد که حل مسائلدارای ناحیه متغیر به سادگی صورت گیرد. علاوه بر آن، استفادهاز تکنیک هموارسـازی گرادیـان موجـب شـد کـه انجـام کلیـهانتگرالگیریهای دامنـهای بـرای محاسـبه ماتریـسهای اجـزا ، بـهتعدادی انتگرال خطی روی وجوه سلولهای هموار سازی تقلیـلپیدا کند . بنابراین انتگـرالگیـری روی قـسمت داخلـی اجـزای متقاطع با مرز که شکل هندسی آنها از الگوی مشخصی پیـروینمیکند، به سادگی انجام شد. تعیین شکل هندسی مرز مجهـولاز طریق پارامتری کردن مرز و تعریف تعدادی پارامتر مجهول وسپس جستجو در فضای پارامتری حاصل به نحوی کـه شـرایطمرزی غیر خطی روی سطح آزاد آب ارضا شـوند، انجـام شـد. برای بررسی کارایی روش پیشنهادی چند مثال عددی حل شـدو نتایج با جوابهای موجود در منابع مقایسه شد. در این تحقیـقنشان داده شد که میتوان از شبکههای غیر منطبق برمرز بهطـور
واژه نامه

مراجع
Vol. 30, pp. 9–19, 2003.Method,” Mechanics Research Communications ,
١٢. دانـشمند، ف.، و ک اظم زاده پارس ی، م.ج.، “شـبیه سـازی عددی مسائل جریان پتانسیل با سطح آزاد به روش گالرکینبدون اجزای بـا اسـتفاده از شـبکه گرهـی و انتگـرال گیـریثابـت،” مجلـه علمـی پژوهـشی فنـی و مهندسـی مـدرس، دانـشگاه تربیـت مـدرس، شـماره ۲۸، صـفحات ۲۹ – ۴۵، ۱۳۸۶.
.31 Garcia, M.J., and Gonzalez, C.A., “Shape Optimization of Continuum Structures Via Evolution
Strategies and Fixed Grid Finite Element Analysis,”
.41 Journal optimizationDaneshmand, F., and Kazemzadeh-Parsi, M.J., of , Vol. 26, pp. 92-98, 2004.structural and multidisciplinary
“Static and Dynamic Analysis of 2D and 3D Elastic Solids Using the Modified FGFEM,” Finite Element in Analysis and Design, Vol. 45, pp. 755-765, 2009.
.51 Liu, G.R., Dai, K.Y., and Nguyen, T.T., “A Smoothed Finite Element for Mechanics Problems,” Computational Mechanics, Vol. 39, pp. 859–877, 2007.
.61 Kazemzadeh-Parsi, M.J., and Daneshmand, F., “Solution of Geometric Inverse Heat Conduction
Problems by Smoothed Fixed Grid Finite Element
.71 Vol. 45, pp. 599-611, 2009.Method,” Kazemzadeh-Parsi, M.J., and Daneshmand, F., Finite Elements in Analysis and Design ,
“Cavity Shape Identification with Convective Boundary Conditions Using Non-Boundary-Fitted Meshes,” Numerical Heat Transfer, Part B, Vol. 57, pp. 283-305, 2010.
.81 Kazemzadeh-Parsi, M.J., and Daneshmand, F., “Inverse Geometry Heat Conduction Analysis of Functionally Graded Materials Using Smoothed Fixed Grid Finite Element Method,” Accepted for publication in Inverse Problems in Science and Engineering, 2012.
مؤثری در حل مسائل نشت نامحدود در زیر بستر کانالهای بـازاستفاده کرد.
1. piecewise constant
.1 Middlebrooks, T.A., “Earth Dam Practice in the United States,” Transaction of the American Society of Civil Engineers, Geotechnical, Vol. 118, pp. 697–722, 1953.
.2 Swamee, P.K., Mishra, G.C., and Chahar, B.R., “Optimal Design of Transmission Canal,” Journal of Irrigation and Drainage Engineering, Vol. 128, No. 4, pp. 234-243, 2002.
.3 Swamee, P.K., and Kashyap, D., “Design of Minimum Seepage-Loss Nonpolygonal Canal Sections with Drainage Layer at shallow depth,” Journal of Irrigation and Drainage Engineering, Vol. 130, No. 2, pp. 166-170, 2004.
.4 Chahar, B.R., “Analysis of Seepage From Polygon Channels,” Journal of Irrigation and Drainage Engineering, Vol. 133, No. 4, pp. 451-460, 2007.
.5 Chen, J.T., Hsiao, C.C., Chiu, Y.P., and Lee, Y.T., “Study of Free-Surface Seepage Problems Using Hypersingular Equations,” Communications in
Numerical Methods in Engineering, Vol. 23, pp. 755-769, 2007.
.6 Huang, T.K., “Stability Analysis of an Earth Dam Under Steady State Seepage,” Computers and
Structures, Vol. 58, No. 6, pp. 1075–1082, 1996.
.7 Darbandi, M., Torabi, S.O., Saadat, M., Daghighi, Y., and Jarrahbashi, D., “A Moving-Mesh Finite-Volume Method to Solve Free-Surface Seepage Problem in Arbitrary Geometries,” International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, Vol. 31, pp. 1609–1629, 2007.
.8 Zienkiewicz, O.C., Mayer, P., and Cheung, Y.K., “Solution of Anisotropic Seepage by Finite Elements,” Journal of Engineering Mechanics, Vol. 92, No. 1, pp. 111–120, 1966.
.9 Gioda, G, and Gentile, C., “A Nonlinear Programming Analysis of Unconfined Steady-State Seepage,” International Journal for Numerical and
Analytical Methods in Geomechanics, Vol. 11, pp. 283-305, 1987.
.01 Liu, G.R., Mesh Free Methods: Moving Beyond the Finite Element Method, CRC Press, New York, 2003.
.11 Guangxin, L., Jinhong, G., and Yuxin, J., “Free Surface Seepage Analysis Based on the Element-Free
Methods in Geomechanics, Vol. 36, pp. 780-797, 2012.
.12 Kazemzadeh-Parsi, M.J., and Daneshmand, F., “Three Dimensional Smoothed Fixed Grid Finite Element Method for the Solution of Unconfined Seepage Problems,” Finite Elements in Analysis and Design, Submitted, 2012.
.22 Reddy, J.N., An Introduction to the Finite Element Method, 2nd ed., McGraw-Hill, 1993.
.32 Remar, J., Bruch, J.C., and Sloss, J.M., “Numerical Solutions to Some Free Surface Flows Through Nonhomogeneous Media,” International Journal For Numerical Methods In Engineering, Vol. 20, pp. 143-167, 1984.
۱۹. ک اظم زاده پارس ی، م.ج.، و دان شمند، ف.، ” روش اج زای محـدود شـبکه ثابـت همـوار شـده در حـل مـسائل نـشت نامحدود در سـدهای خـاکی”، مجموعـه مقـالات هـشتمینکنفرانس هیدرولیک ایران، دانشگاه تهران، ۲۴ تا ۲۶ آذرمـاه۱۳۸۸.
.02 Kazemzadeh-Parsi, M.J., and Daneshmand, F., “Unconfined Seepage Analysis in Earth Dams Using Smoothed Fixed Grid Finite Element Method,”


دیدگاهتان را بنویسید