تکنیک انتگرالگیری مونـت کـارلو٩ [٢٣] توسـط روسـکا و لیتاو١٠ [٢۴] برای انجام انتگرالگیری اسـتفاده شـد. تـوالی هـایمختلف شبه مونت کارلو١١ در این روش تولید و با آزمـایش درمس ائل س ه بعــدی الاس تیک مقایســه ش د . امــا تع داد نقــاط انتگــرال گیــری لازم در ایــن روش از تعــداد نقــاط لازم درروشهای دیگر بیشتر است.
خســروی فــرد و همتیــان [٢۵] از نظریــه گــرین١٢ بــرای انتگرالگیری در روشهای بدون شبکه اسـتفاده کردنـد و آن راروش انتق ال ک ارتزین١٣ نامیدن د. در ای ن روش ب ا اس تفاده از تئوری گرین، انتگرال دامنه به یک انتگرال دوگانه، شامل انتگرال مرزی و انتگرال یک بعـدی تبـدیل شـد. آنهـا ایـن روش را درمسائل خطی و تغییر شکل بزرگ استفاده کرده و نشان دادند که این روش بدون شبکه واقعی بوده و میتواند در مقایسه با روش بدون المان گالرکین اصلی دقت را افـزایش داده و زمـان را نیـزکاهش دهد. با این وجود در مسائل پلاستیسـیته بـهدلیـل لـزومذخیره شدن تنشهـا و متغیرهـای حالـت در نقـاط محاسـباتی،استفاده از این روش محدود خواهد بود.
پیشرفتی کـه در ایـن مقالـه ارائـه شـده، اسـتفاده از میـان یـابیکریگینگ در محاسبه وزنهای نقاط انتگرالگیری١۴ در روش بـدونشبکه گالرکین است. بهبود انجام گرفته برروی انتگرالگیـری باعـثخواهد شد که بدون کاهش دقت در انتگرالگیـری، نیـاز بـه شـبکهپش ت زمینــه بــهط ور کامــل حــذف ش ود. در ایــن روش نقــاط انتگرالگیری بدون نیاز به نظم خاصی در دامنـه پخـش مـیشـو ند؛سپس مقدار وزنهای نقاط انتگرالگیری با استفاده از روش پیشنهاد شده محاسبه میشود. به منظور محاسبه دقیـق نتـایج، بایـد تعـداد وچینش مناسبی برای نقاط انتگرالگیری استفاده شود. از نظر کـاربردعملی میتوان روش حاضر را شـبیه روش انتگـرالگیـری نقطـهای دانست با این تفاوت که در این روش نیازی به افراز دامنه با کمـکدیاگرام ورونی نیست. تعداد نقاط انتگرالگیری در این روش کمتـراز سایر روشها بوده و حتی میتواند در حـد تعـداد نقـاط گـرهای باشد. دقت جواب نمونههای مختلفی از توزیع نقاط انتگـرال گیـریدر چند مثال مقایسه شدهاند. لازم بهذکر است کـه تـاکنون از روشمیانیابی کریگینگ تنها بهمنظور ساختن توابع شـکل در روشهـایبدون شبکه استفاده شده است.
بهخاطر عدم ارضای شرط دلتای کرونیکـر در برخـی توابـعمیانیاب در روشهای بدون شبکه، وارد کـردن شـرایط مـرزیضروری به سادگی روش اجزا محدود صورت نمیگیرد. در این روش از توابع میانیاب کریگینگ بـرای بیـان توابـع شـکل نیـزاستفاده میشود. با استفاده از توابع میانیاب کریگینگ که شـرطدلتای کرونیکر١۵ را ارضـا مـیکننـد وارد کـردن شـرایط مـرزیضروری به سادگی امکانپذیر است.
جوابهای عددی کاربردی بودن این تکنیک انتگـرال گیـریرا در فرمــولبنــدی فــرم ضــعیف کلــی در مســائل دو بعــدیالاستواستاتیک نشان میدهند.
ترتیب بخشها به این شـکل اسـت: در بخـش دوم تئـوریمیانیابیکریگینگ مطالعه شده و کریگینگ ساده و عـام توضـیحداده میشود. در بخش سوم تکنیک ارائـه شـده بـرای بـهدسـتآوردن وزنهای نقاط انتگرالگیری شرح داده شده و بـا مقـادیرگاوس مقایسه شده است. در بخش چهـارم معـادلات حـاکم وروش گسستهسازی مسائل الاستواستاتیکی دو بعدی ارائـه شـدهاست. در بخش پنجم مثالهـای عـددی ارائـه شـده و در آخـرنتیجهگیری در فصل ششم ذکر شده است.
٢- میانیابی کریگینگ
میانیابی کریگینگ اولین بار در سال ١٩6٢ توسط متـرون ارائـهگردید [٢6]. طی سالهای بعد این روش در مسـائل زمـینآمـارتوسعه زیادی یافت. انـواع مختلفـی از روش کریگینـگ وجـوددارد که میتوان به روشهای کریگینگ سـاده16 و عـام ١٧ اشـارهنمود. در میانیابی کریگینگ ساده متغیر میدان 0u(x ) بهصورت زیر تخمین زده میشود [٢٧]:
n u(x )0  u (x )h0  iui  TUˆ
i(١)
   [ 1,2, , n ]T, Uˆ  [u , u12 ,, u ]n T
در این رابطهui ها مقادیر گـرهای در (xi (i 1,2,,n وi هـامقادیر توابـع شـکل در نقـاط گـرهای اسـت کـه از رابطـه زیـرحاصل میشوند:
C11 C12  C1n 1 C01
C21 C22 C2n2  C02(٢)
     

Cn1 Cn2  Cnnn CV00n
A
hij
32731570945

(

)2 hij  xi xj وCij  Cov(h )ij  ceaکــــــه در آن
فاصله بین نقـاطi وj اسـت . ضـرایب a وc را مـی تـوان بـااستفاده از روشهای منتشر شده آمـاری انتخـاب کـرد [٢٧]. در این مقاله ضرایب به شکل زیر انتخاب شدهاند:
a rinf13
c 1(٣)
که در آن rinf شعاع ناحیه اثر١٨ است. با اسـتفاده از رابطـه (٢)ضرایب i حاصل میشوند.
اگر چه میانیابی کریگینگ ساده در زمینآمار کاربرد وسیعی دارد، با این وجود معمولًا برای تعیین توابع شکل در روشهـایعددی مناسب نیست. بنابراین برای مشخص کردن توابع شـکلاز روش دیگری به نام کریگینگ عام استفاده مـی شـود [٢٧]. در میانیابی کریگینگ عامi ها در رابطه (٢) و در حالت دو بعدی بهصورت زیر تخمین زده میشود:
 C11 C12

 C21 C22

 

 Cn1 Cn2
 1

 x1 x2  y1 y2

x y x y1 12

  y1k y2k
 






 C1n
C2n

Cnn
1 xn yn
x yn n

ynk 1 x1
1 x2

1 xn
0 0
0 0

0 0 y x y11 1  y1k 1   C0201  y kC

y0n2 n12  C10n 
k

   x0 
0    y0    
  x y0 0

0 p   y0k 
 
y2
yn x y2 2  
x yn n


  (۴)
که در آنi ها ضرایب لاگرانژ هستند.
با توجه به اینکه کریگینگ عام نسبتاً پیچیده اسـت، اسـتفادهاز آن بـر ای محاس به وزنه ای انتگ رالگی ری مناس ب نیس ت.
بنابراین در این مقاله برای اولین بار از میانیابی کریگینگ سـادهبرای محاسبه وزنهای انتگـرال گیـری اسـتفاده شـده اسـت. در بخش ٣ به بررسی روش انتگرالگیری پرداخته خواهد شد.
٣- تخمــین مقــادیر وزن نقــاط انتگــرال گیــری و انتگرالگیری روی ناحیه اثر
در این مقاله برای تخمین انتگرال میدان از روش کریگینگ ساده استفاده شده است. بنابراین با کمـک رابطـه (٢) انتگـرال میـدانبهصورت زیر تخمین زده میشود:
 u(x)d   u (x)dh  Uˆ d

 A VU1ˆ d  A V U1  d ˆ

که در آنV Cov(x ,x)1 Cov(x ,x)n T که از تعریف رابطه (٢) استخراج میشود. با توجه به رابطه زیر:
 u(x)d   w uii  W UT ˆ

و به کمک رابطه (۵) میتوان نوشت:
W A V1  d
 (٧)
یا بهصورت گسترده:
w1

w2 
 

wn
Cov(x ,x )1 1Cov(x ,x )1

Cov(x ,x )2 1Cov(x ,x )2


Cov(x ,x )n 1Cov(x ,x )n 2
 Cov(x ,x)d1



 Cov(x ,x)d2



 Cov(x ,x)dn
 

 Cov(x ,x )1 n 1

Cov(x ,x )2 n  

Cov(x ,x )n n 
(٨)

که در آن wi ها وزن نقاط انتگرالگیری هستند.
عبارت انتگرالی که در طرف راست رابطـ ه (٨) وجـود داردبهصورت Cov(x ,x)di بوده و باید روی ناحیـه اثـر

شکل ١- دامنه محاسبه کوواریانس و زیردامنههای آندر تقاطع با مرزها
محاسبه شود. پاسخ این انتگرال بـرای نقـاطی کـه دارای فاصـلهزیادی از مرز هستند بهطور دقیق معلوم است اما اگر ناحیـه اثـرنقطه انتگرالگیری توسط دامنه مسأله قطع شـود، محاسـبه ایـنانتگرال ساده نخواهد بود. در شکل (١) دو نقطه انتگـرال گیـریفرضی و ناحیه اثر آن  که توسط مرز قطع شده دیده میشود. در این مقاله بـرای محاسـبه انتگـرالCov(x ,x)di روی دامنه اثر  در حالت دوبعدی، شعاع ناحیه اثر دایـره ای شـکلبه چند قسمت تقسیم میشود. در هر قسمت یک حلقه از شعاع ri تا 1ri تولید میگردد که در شکل (١) نشان داده شده است.
انتگرال به سادگی از مجموع انتگرالهای روی حلقهها بهدسـتمیآید که در رابطه زیر دیده میشود:
r
( )2
Cov(x ,x)dic e0ardrd

r 2(٩)
ri1 ( ) 2 c e0 a rdr
ri
i
2728805232521

اگ ر ه ر ک دام از حلق هه ا م رز مس أله را قط ع کن د، نس بت 22  در انتگــــرال روی همــــان حلقــــه یعنــــی
r ri1( )2
c e0ardr2 ضرب شده تا انتگرال رابطه (٩) تصحیح
ri
شود. مقدار  از روی هندسـه مسـأله و بخـش قطـع شـده آن

شکل ٢- المان مربعی با ١6 نقطه انتگرالگیری
حلقه در شعاع متوسـطrm کـه در شـکل (١) دیـده مـیشـودمحاسبه خواهد شد.
استفاده از روش انتگـرال گیـری فـوق در روشهـا ی عـددیتقریبًاً مشـابه روش گـوس اسـت. در ایـن روش ابتـدا وزنهـایانتگرالگیری برای کل دامنه محاسبه میگردد. سـپس از وزن هـایبهدست آمده در کل تحلیل استفاده میشود. بنابراین در این روش دامنه حل افراز نخواهد شـد و انتگـرال روی کـل دامنـه در یـکمرحله محاسبه میشود. بهعبـارت دیگـر در روش انتگـرالگیـریارائه شده کل دامنه بهصورت یک المان درنظر گرفته خواهد شد.

برای بررسی کیفیت وزنهای بهدسـت آمـده از روش ارائـهشده، ابتدا این وزنها با وزنهـای روش انتگـرالگیـری گـوسمقایسه میشوند. در این مثال ١6 نقطه انتگرالی واقـع در مکـاننقاط گوسی در یک المان مربع مطابق شکل (٢) قرار داده شـدهاست. جدول ١ وزن نقاط انتگرالی بهدست آمـده از روش ارائـهشده را با روش گوس برای یک المان با ١6 نقطه انتگرالگیـریمقایسه میکند. مشاهده میشود که وزنهـای بـهدسـت آمـده ازروش ارائه شده نتایجی مشابه روش گوس ارائه میدهد.

براساس آنچه بیان شد روش حاضر وابسته به دامنه نیست و برای هر نوع دامنهای قابـل اسـتفاده اسـت. در شـکل (٣) یـک ناحیه دایرهای بههمراه سه چیدمان مختلف از نقاط انتگرالگیری نشان داده شده است.

مختصات این نقاط در تعداد ۸ نقطه انتگرالگیری بهصورت زیر درنظر گرفته شد:
: x2  y2 1
P1,2  0 , 0.8,P3,4 0.8 , 0
0.3P5,6,7,8 0.3, ب ا کم ک روش ارائ ه ش ده وزنه ای زی ر در تع داد ۸ نقط ه انتگرالگیری بهدست خواهد آمد:
w1,2,3,4  0.5448
w5,6,7,8  0.2406
مختصات این نقاط در تعداد ۱۲ نقطه انتگرالگیری بـه صـورتزیر درنظر گرفته شد:
: x2  y2P1,2  0 , 0.9 , P3,4 0.9 , 0
P5,6,7,8 0.3, 0.3
0.6P9,10,11,12 0.6 , با کمـک روش ارائـه شـده وزنهـای زیـر در تعـداد ۱۲ نقطـهانتگرالگیری بهدست خواهد آمد:
w1,2,3,4  0.20162
w5,6,7,8  0.35333
0.23044w9,10,11,12  مختصات این نقاط در تعداد ۲۰ نقطه انتگرالگیری بـه صـورت
جدول ١- مقایسه وزن نقاط انتگرالگیری قرار گرفته بر ١6 نقطه گوسی (روش ارائه شده و روش گوس)
x 0 861136/ y 0 861136/ x 0 861136/ x 0 339981/ y 0 339981/ وy 0 861136/ x 0 339981/ y 0 339981/ موقعیت نقطه
وزن نقطه با احتساب٢= a
0 1210/ 0 2268/ 0 4253/ در رابطه ٣
0 1210/ 0 2269/ 0 4253/ وزن دقیق (وزن گاوس)
169164-1768992

4181856-1768992

٨ نقطه انتگرالگیری١٢ نقطه انتگرالگیری٢٠ نقطه انتگرالگیری
شکل ۳- دامنه دایرهای و نقاط انتگرالگیری آن با سه چیدمان مختلف
زیر درنظر گرفته شد:
: x2  y2P1,2  0 , 0.92 , P3,4 0.92 , 0
P5,6  0 ,0.62,P7,8 0.62 , 0
(١۴)
P9,10,11,12 0.35 , 0.35
0.25P13,14,15,16 0.25 , 0.6P17,18,19,20 0.6 , با کمـک روش ارائـه شـده وزنهـای زیـر در تعـداد ۲۰ نقطـهانتگرالگیری بهدست خواهد آمد:
w1,2,3,4  0.14945 w5,6,7,8  0.15935 w9,10,11,12  0.09464(١۵)
0.14184w13,14,15,16  0.24011w17,18,19,20  با استفاده از وزنهای بهدست آمـده، انتگـرال توابـع مشخصـی طبـق رابطه (۱۶) محاسبه شد و سپس خطای انتگرالگیری بـر روی ناحیـهدایرهای فوق برای سه حالت مشخص شده بهدست آمد:
nint
 f(x,y) dxdy w f(x ,y )iii(۱۶)
x2 y2 1i1
شکل ۴- شبکهبندی دامنه دایرهای بهصورت مثلثی و نقاط انتگرالگیری درون مثلثها

جدول ٣- ضریب تمرکز تنش صفحه سوراخدار در تحلیل حاضر نسبت به تعداد نقاط گرهای
تعداد نقاط گرهای تمرکز تنش در تحلیل حاضر مقدار دقیق تمرکز تنش
١٧6 ٢/٧٣ ٢۴٧ ٢/٨٧ ٣/٠٠
۴٠٨ ٢/٩6۵

شکل ۵- دامنه دایرهای و نقاط انتگرالگیری آن در حالت ٨نقطهای مشابه شکل ٣ با تغییر موقعیت نقاط بیرونی
در جدول ۲ توابع مورد نظر و مقدار انتگـرال محاسـبه شـده بـاروش حاضر در سه حالـت و روش دقیـق بـا یکـدیگر مقایسـهشدهاند. همانطور که مشاهده میشود، نتایج بسیار امیدوار کننده هستند. بنابراین روش حاضر بهعنوان یک روش انتگـرال گیـریقابل قبول برای روشهای عددی قابل استفاده خواهد بود.
برای اینکه قابلیت روش بهتر مشخص شود نتایج مربوط بـهانتگرالگیری مثلثی نیز ذکر میشود. در شکل (۴) دامنه دایـره ای شکل با شعاع یک با المانهای مثلثی افراز شده و انتگرال میدان با استفاده از مسـاحت مثلـثهـا و مقـدار تـابع در نقـاط میانـهمثلثها بهدست آمده است. نتیجه این انتگرالگیری در جدول ٢ذکر شده است.
همانطور که دیده میشود دقت روش ارائه شده بسیار بیشـتراز روش انتگرالگیری با شبکه مثلثی اسـت . همچنـین بـا افـزایشتعداد نقاط انتگرالگیری دقت محاسبه انتگرال بالا میرود.
بهمنظور بررسی بیشتر، تعداد ۸ نقطه انتگرالگیری مطابق شـکل
(۵) با چیدمان کمی متفاوت نسبت به شکل (۳) درنظر گرفتـه شـد.

شکل ٧- دامنه و مرز در یک جسم الاستیک خطی دوبعدی
خطای محاسبه برای مساحت /0 035% و بر اساس توابع نشان داده شــده در جــدول ۲، بــرای تــابع اول /1 069%، بــرای تــا بع دوم /0 273% و برای تابع سوم /1 43% بهدسـت آمـد. ایـن مطلـب ازقبل نیز قابل پیشبینی بود چـرا کـه نقـاط انتگـرالگیـری از توزیـعمناسبی برخوردار نبودهاند.
در شکل (۶) اثر پارامترa در معادله (۹) و همچنـین شـعاعناحیه اثر بر دقت انتگرالگیری نشـان داده شـده اسـت. در ایـنمثال، یک دامنه مربع شکل با ضلع ۲۰ واحد در نظر گرفته شـدهکه در آن نقاط انتگرالی بهصورت ماتریسی و با فاصله ۱ واحـداز یکدیگر و فاصله ۱ واحد از مرزها چیـده شـده اسـت. دقـتروش در تخمین مساحت بهعنوان معیـار ان تخـاب شـده اسـت .

شکل 6- تأثیر شعاع ناحیه اثر و پارامتر a بر خطای انتگرالگیری
براساس این شکل میتوان دریافت که انتخاب مقـدار پـارامتر aحدود ۳ برابر فاصله بین نقاط، مقدار مطلوبی است. البته مقـداربیش از ۳ نیز جواب مناسبی در پی خواهد داشت ولـی افـزایشاین مقدار باعث ایجاد خطای معکوس کردن ماتریس در معادلـه۸ خواهد شد. علاوه بر این شعاع ناحیه اثر ۵/۲ یا ۳ برابر مقدار a برای دستیابی به خطای کمتر از ۲ درصد کافی است.
بنابراین روش حاضر بهعنوان یک روش انتگرالگیری قابـلقبول برای روشهای عددی قابل استفاده خواهد بود. در بخـشبعد، از ایـن روش در حـل مسـائل مکانیـک جامـدات اسـتفادهخواهد شد.
۴- فرمولاسیون فرم ضعیف در روش گالرکین
یک جسم الاستیک خطی در حالت دو بعدی مطـابق شـکل (٧)درنظر گرفته میشود. دامنه مسأله  و مرز آن  است کـه ازاجتماع دو مرز با شرط مرزی ضروری و شـرط مـرزی طبیعـیحاصل میشود.
معادله تعادل بهصورت زیر نوشته میشود:
  ij,jbi0,  ijji(١٧)
که در آن ij تانسور تنش وابسته به میدان جابهجاییui و biنیروهای حجمی است. شرایط مرزی بهصورت زیر هستند:
2686479190

ui  uion s
 ij intjon n(١٨)
1883055-14500

در این روابط ui و ti بهترتیب جابهجایی و تنشهای سـطحیو s و n مرز ضروری و مرز طبیعی و ni بـردار عمـود بـرسطح است. با استفاده از اصل کار مجازی، معادله فـرم ضـعیفزیر برای رابطه مومنتوم خطی بهدست میآید:
 δεT σdΩ- δu bTdΩ- δuT tdΓ=0
ΩΩΓt
فرم گسسته این رابطه بهصورت زیر نوشته میشود:
Ku=F
که در آن K ماتریس سختی،u بردار جابهجایی نقاط گرهای و F بردار نیرو است. مقادیر به شکل زیر محاسبه میشوند:
KIJ B DBTIJd(٢١)

FI   N tTIId N bTIId(٢٢)
t
در این روابط تانسور D در حالت تنش صفحهای برابر است با:

1 0 

D

E 2  10 (٢٣)
1 1
00
2 
ک ه در آن E م دول الاستیس یته و  نس بت پواس ون اس ت.
ماتریس BIو NI از روابط زیر حاصل میشوند:
I0 
390294-29498

 x BI  0 yI (٢۴)
II 
 y x  
NI  I  0 0 
I  (٢۵)
مقادیر I را میتوان با هر روش میانیابی حاصل کرد. در ایـنتحلیل بـه خـاطر ارضـای شـرط دلتـای کرونیکـر از میـانیـابیکریگینگ عام استفاده میشود. در این میانیابی تـابع شـکلI معادل I در رابطه (۴) است.
برای محاسـبه انتگـرال روابـط (٢١) و (٢٢) در روشهـایاجزا محدود و برخی روشهای بدون المان وجود شبکه الزامـیاست. در این مقاله برای محاسبه انتگرال میـدان بـر روی دامنـه،برای اولین بار از روش انتگـرال گیـری ارائـه شـده در بخـش ٣استفاده میشود.
۵- مثالهای عددی
در این قسمت بـرای ارزیـابی قابلیـت روش ارائـه شـده، سـهمسأله بررسی میشود: تیر یکسـر درگیـر تحـت بـار انتهـایی،صفحه تخت تحت بار گسترده خطی و صـفحه سـوراخدار. در مثال اول حالتهای مختلفی برای چینش نقـاط انتگـرالگیـری درنظر گرفته شده و مقایسه بین دقت پاسـخ هـا در مـورد آنهـاانجام شده است. در مثال دوم یعنی صـفحه تخـت تحـت بـار
گسترده خطی، ابتـدا نقـاط انتگـرالگیـری را منطبـق بـر نقـاطگرهای درنظر گرفته و سپس تعداد آنها را افزایش داده و دقـتجواب بررسی شده است. در مثال سوم میزان دقت پاسخها بـااســتفاده از ایــن روش انتگــرالگیــری در صــفحه ســوراخدار نسبت به حل دقیق دیده مـی شـود و نشـان مـیدهـد کـه ایـنروش با تعداد نقاط انتگرالگیری کم نیز مـی توانـد پاسـخهـایمناسبی را ارائه کند. در این مسأله همگرایـی پاسـخ نسـبت بـهافزایش نقاط گرهای نیز بررسی شده است.
در هر سه مثال برای محاسبه مـاتریس سـختی از میـانیـابیکریگینگ با توابع پایه مرتبه یک استفاده شده است. شعاع ناحیه اثر هر نقطه انتگرالگیری ٢۵/٣ برابر کمترین فاصله نقاط گرهای در نزدیکی نقطه انتگرالگیری است.
۵-١- خمش تیر یکسر درگیر
در اولین مثال، خمش یک تیر یکسر درگیـر کـه مطـابق شـکل(٨) در معــرض بــار در انتهــای تیــر قــرار گرفتــه بررســی مـیشـود. مقـادیر بـارگـذاری و خصـوصیـات تیـر بهصـورت
تعریـــفP109N وE  200Gpa,  0.3,L  30m,D  4m
میشود.
رابطه جابهجایی عمودی دقیق uy برحسب متر بـه شـکل زیـراست [٢٨]:
P2D (L x)2 2
uy 

(3y x  (4 5 )

(2L x )(L x ) )
6EI4
D3PD22
I 

,  (

 y )(٢6)
122I4
شکل ٨- تیر یک سر درگیر در معرض بار در انتهای تیر

15849601080516

شکل ٩ – موقعیت نقاط گرهای و انتگرالگیری، نقاط انتگرالگیری درونی منطبق بر نقاط گرهای و نقاط بیرونی روی مرز و بینابین نقاط گرهای

شکل ١٠ – شکل نهایی تیر یکسر درگیرتحت بار انتهایی تیر، نقاط انتگرالگیری بیرونی روی مرز
در این مثال چند نوع چیـنش نقـاط انتگـرالگیـری بـا یکـدیگرمقایسه میشوند. نقاط انتگرالگیری در ابتدا به دو دسته تقسـیممیشوند: آنهایی که نزدیک به مرز قرار دارنـد ،نقـاط بیرونـی وآنهایی که درون دامنه واقع شـده انـد نقـاط درونـی نـامگـذاریمیشوند. چینش نقاط انتگرالی در اولین مثـال بـه ایـن صـورتانجام میشود که نقاط درونی منطبـق بـر نقـاط گـرهای و نقـاطبیرونی روی مرز و در بینابین نقاط گرهای مطابق شکل (٩) واقع شوند. نقاط گـره ای بـه صـورت مـنظم و بـا فاصـله ١ متـری ازیکدیگر قرار دارند.
در شکل (١٠) شکل نهـا یی تیـر یـکسـر درگیـر و پـس ازاعمال بار دیده میشود. در این مثال حـداکثر خطـای نسـبی درمیزان جابهجایی، در انتهای تیر به میزان ۵ درصد مشـاهده شـدهاست. میزان خطا از رابطه زیر محاسبه میشود:(٢٧) 100error  uexact uexactunumerical 
در شکل (١١) روند کاهش خطا با افزایش تعداد نقاط نشـان داده شده است. با تغییر چینش نقاط انتگـرال گیـری و انتقـال نقـاطبیرونی به داخل مرز به اندازه ٠۵/٠ متر نتـایج بهتـری حاصـلمیشود. شکل (١٢) نقاط گـره ای و نقـاط انتگرالـی را در ایـنتوزیع نشان میدهد. شکل نهایی تیر پـس از جابجـایی مطـابق

شکل ١١ – روند کاهش خطا در مسأله تیر یک سر گیردار با افزایش تعداد نقاط

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

شکل ١٢ – موقعیت نقاط گرهای و انتگرالگیری در تیر یکسر درگیر تحت بار انتهایی (فاصله نقاط انتگرالگیری بیرونی از مرز ٠۵/٠ متر)

شکل ١٣ – شکل نهایی تیر یک سر در گیرتحت بار انتهایی تیر (فاصله نقاط انتگرالگیری بیرونی از مرز ٠۵/٠ متر)
شکل (١٣) است. در این حالت خطـای محاسـبات بـه حـدوددو درص د مــیرس د. حــال در چی نش دیگــری ب رای نقــاطانتگرالگیری، فاصله نقاط بیرونی از مـرز بـه ٢۵/٠ مترافـزایشداده میشود. شکل (١۴) چینش نقاط گرهای و انتگرالگیـری و
شکل (١۵) شکل نهایی تیر پس از اعمال بار را نمایش میدهـد .
مشاهده شد که در این حالت جوابهای بهتری بهدست آمـده وخطا به حدود ۵۴/٠ درصد رسید. این مقایسه نشان میدهد کـهنق اط داخ ل م رز ب رای محاس به انتگ رال از نق اط روی م رز مناسبتر هستند.
در حالت بعد نقاط گرهای بهصورت تصـادفی جابـهجـا شـده ونقاط انتگـرال گیـری در ونـی منطبـق بـر نقـاط گـرهای و نقـاطانتگرالگیری بیرونی بینابین نقاط گرهای و با فاصله ٢۵/٠ متر از مـرز درنظ ر گرفتـه م ی شـوند . در ای ن حالـت ح داکثر می زانجابهجایی نقاط گرهای بهصورت تصادفی بـه میـزان ٢٠ درصـدفاصله اولیه یعنی مقدار ٢/٠ متر درنظر گرفته شده است. شـکل (١6) موقعیت نقاط گـره ای و انتگـرال گیـری در ایـن حالـت وشکل (١٧) نیز شـکل نهـایی تیـر را پـس از اعمـال بـار نشـان

شکل ١۴ – موقعیت نقاط گرهای و انتگرالگیری در تیر یکسر درگیر تحت بار انتهایی (فاصله نقاط انتگرالگیری بیرونی از مرز ٢۵/٠ متر)

شکل ١۵ – شکل نهایی تیر یکسر در گیرتحت بار انتهایی تیر (فاصله نقاط انتگرالگیری بیرونی از مرز ٢۵/٠ متر)
میدهد. خطای این محاسبه ١ درصد است.
۵-٢- صفحه تخت تحت بار گسترده خطی
شــکل (١٨) یــک صــفحه مســتطیل شــکل بــا خصوصــیات
L  20m, D 10m , 0.3, E  200Gpa و ضـــخامت واحد، تحت بار خطی را نشان میدهد.
در اولین تحلیل نقاط انتگرالگیری منطبق بـر نقـاط گـرهای درنظر گرفته میشوند. جابهجایی نقاط پس از اعمال بار گسترده خطی در انتها مطابق شـکل (١٩) خواهـد بـود. همـان طـور کـهمشاهده میشود، پاسخها دچار نوساناتی هستند. در ایـن پدیـدهبهخاطر خطا در محاسبه انتگرال برخـی مودهـای حرکتـی یـکالمان نادیده گرفته شده و باعث ناپایداری پاسخها میشود. یکی از راههای جلوگیری از ایـن پدیـده در اجـزا محـدود، افـزایشتعداد نقاط انتگرالگیری است.
شکل ١6 – موقعیت نقاط گرهای و انتگرالگیری در تیر یکسر درگیر تحت بار انتهایی(جابهجایی نقاط گرهای بهصورت تصادفی با حداکثر ٢/٠ متر، فاصله نقاط انتگرالگیری بیرونی از مرز ٢۵/٠ متر)

18089881080515

شکل ١٧ – شکل نهایی تیر یکسر درگیرتحت بار انتهایی تیر. نقاط گرهای بهصورت تصادفی با حداکثر جابهجایی٢/۰ متر جابهجا شده و فاصله نقاط انتگرالگیری بیرونی از مرز ٢۵/٠ متر

شکل ١٨ – صفحه تخت تحت بار گسترده خطی و شرایط مرزی

شکل ١٩ – شکل اولیه و شکل نهایی با جابهجایی با ضریب ١٠٠٠ در صفحه تخت تحت بار گسترده خطی و نمایش نوسانات جابهجایی، نقاط انتگرالگیری منطبق بر نقاط گرهای

شکل ٢٠ – نمونه توزیع نقاط گرهای و نقاط انتگرالگیری با افزایش نقاط انتگرالگیری
در این مثال از تکنیک افزایش نقاط انتگـرال گیـری اسـتفادهشده و تعداد این نقاط افزایش یافته و بین نقاط گرهای قرار داده شدهاند. نحوه چینش نقاط گرهای و انتگرالگیری مطـابق شـکل(٢٠) انتخاب شده است که در آن نقاط انتگرالگیری بهصـورتمنظم در دامنه توزیع میشوند. نتایج در شـکل (٢١) نشـان دادهشدهاست. همانطور که دیده میشود، در شـکل (٢١) نوسـاناتجابهجایی کاملاً از بین رفته است.
در شکل (٢٢- الف) کانتور مؤلفه تنشxx حاصل از میـدانجابهجایی با استفاده از روش ارائه شـده در مقالـه محاسـبه شـدهاست. در شکل (٢٢- ب) کانتور تنش حاصله بـا مقـادیر مشـابهخود از نتایج تحلیل اجزا محدود مقایسه میشود. در این مقایسه مدل اجزا محدود با دقت بالا و تعداد ۵٠٠٠ المان تحلیل شده و نتایج حاصله برای خط مشخص شده در شـک ل (٢٢- الـف ) بـانتایج تحلیل حاضر مقایسه شدهاند. همانطور که مشخص است
میزان خطای نسبی در تنشهای حاصل از میدان جابـه جـایی دراین روش کمتر از ۴ درصد است.
۵-٣- صفحه سوراخدار
آخرین مثالی کـه در ایـن قسـمت بررسـی مـیشـود، صـفحهبینهایت با یک سوراخ در وسط است که تحـت بـار گسـتردهیکنواخــت قــرار مــی گیــرد. مطــابق شــکل (۲۳) صــفحهای درنظرگرفته میشـود کـه سـوراخی بـه شـعاعa  1m در آن قــرار دارد و در جهــت محــورx تحــت تــنش یکنواخــت xx 107Mpa قرار گرفتـه اسـت. بـه خـاطر شـرایط تقـارنفقط یک چهارم این صـفحه مـورد بررسـی قـرار مـیگیـرد وشرایط مـرزی تقـارن بـه آن اعمـال مـیشـود . بـرای مقایسـهنتایج حاصل از تحلیل حاضر با حل دقیق صـفحه سـوراخدار،حداقل طول و عرض صفحه نباید از مقدار a9 کمتـر باشـد وبه همین دلیل 9.5L  انتخاب شده است. در این حالت نقـاطانتگرالی منطبق بر نقاط گرهای در شکل (۲۴) انتخاب شدهاند.
برای تعیین صحت و مقایسه نتایج حاصل از روش ارائـه شـده،منحنی مقدار مؤلفه تنش xx در امتداد خـط عمـودی 0x  بـامقادیر دقیق آن که از رابطه زیر بهدسـ ت مـی آینـد، در شـکل (٢۵) رسم شده و در شکل (٢6) خطای نسبی آن ارائه شده است [٢٨]:
2036173125655


76697468001


دیدگاهتان را بنویسید