ماتریس تبدیل (ژاکوبین) مدول حجمی (2-(N.m گشتاور برآیند تنش(N.m) نیروی حاصل از تنش(N)
تعداد نقاط درون یاب در راسـتای یـک ودو
مقیاس طول (m) انرژی کرنشی(N.m) بردار جابجایی(m)
(m) خیز
دستگاه مختصات دکارتی بردار موقعیت(m) یونانی
بردارویژه مسأله مقدارویژه تانسور تنش غیرمحلی(2-(N.m Α,Β a,b
Cijkl
D
E
eipq
G
h J
K
M
N m,n
r
U
u
w x,y,z

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

علائم

ijkl
فهرست علائم

١- مقدمه
وابستگی خواص مواد بـه انـدازه آنهـا در مق یـاس هـای بسـیار کوچک، بهصورت تجربی اثبات شدهاست[١]. با کاهش اندازه و نزدیک شدن حداقل یکی از ابعاد جسم به محـدوده نـانومتری، خواص بسیار متفاوتی از جسم بروز مینماید. با اینهمه، سؤال بعد این است که اگر یکی از اندازهها در حد نـانومتر باشـد، آیـابقیه اندازهها بر روی ویژگیهای آن اثر میگذارد. به بیانی دیگر، در یک نوع نانوساختار با آلـوتروپ ثابـت (مـث ًلاً گـرافین ) اگـرضخامت در حد تک لایه باقیمانـده و سـایر ابعـاد تغییـرکنـ د، خواص آن چگونه تأثیر میپذیرد. بر اساس مرور مراجع، تاکنون اثبات عملی آزمایشگاهی جامعی در مورد پاسخ بـه ایـن سـؤال گزارش نشده است و جواب واحدی برای این سؤال در اختیـارنیست. این مسأله میتواند ناشی از مشکلات ساخت نـانوذاراتبا اندازههای کنتـرل شـده دقیـق باشـد، البتـه پیچیـدگی انجـامآزمایشات در این اندازههای کوچک نیز میتواند عامل دیگـریباشد. بهطـور مثـال، اطلاعـات تجربـی انـدکی در مـورد تـأثیر اندازه های طول و عرض نانوصفحه برروی ویژگیهای الاستیک آن وجود دارد. وانگ و همکاران با آزمایش عملی نشـان دادنـدکه مقاومت پارگی لایه اکسید گرافین با افزایش اندازه آن کاهش مییابد ولـی در مـورد مـدول الاسـتیک آن بحـث نکردنـد [٢].
همچنین، مدلسازیهای دینامیـک ملکـولی و مکانیـکملکـولی،وابستگی خواص بـه انـدازه در یـک آلـوتروپ ثابـت را تأییـدمی کند. بهعنوان مثال جعفـری و همکـاران نشـان دادنـد کـه بـاافزایش قطر نانولولههای بر-نیترید، مدول الاسـتیک آن افـزایش
یافت ه و ب ه ی ک مق دار ح دی می ل م ی کن د ول ی خ واص پیزوالکتریک تقریبًاً ثابت مـی مانـد [۳]. بـر اسـاس نتـایج روشدینامیکملکولی که توسط نی و همکـاران گـزارش شـدهاسـتمدول یانگ گرافین وابستگی محسوسی به ابعاد آن ندارد [۴]. از ســـوی دیگـــر، وانـــگ و همکـــاران بـــا اســـتفاده از روشدینامیک ملکولی پیشبینی میکنند که با افـزایش ابعـاد گـرافین،مدول الاستیک آن افزایش یافتـه و بـه یـک مقـدار حـدی میـلمی نماید[۵]. در کنار اینها در مواردی گزارش شده است که بـاافزایش اندازه عرض صفحه تا حدود دو نانومتر، برخی ضرایب الاستیک گرافین کاهش یافته و پس از آن شروع به افزایش کرده و به مقداری حدی میـل مـی کنـد [۶]. بـدین ترتیـب مشـاهدهمی شود که در اغلب مطالعات وابستگی ویژگـیهـا بـه ابعـادتأیید شده است هر چند در رابطه با نـوع و شـدت وابسـتگیاتفاق نظر وجود ندارد. بر اساس نظر نویسندگان مقاله حاضر، شاید نوع وابستگی به اندازه برای همه مـواد یکسـان نبـوده و حتی برای ویژگیهای مختلـف نیـز تابعیـت متفـاوتی داشـتهباشد. این عدم یکتایی میتواند ناشی از تفاوت نوع پیوندهای بین اتمی در یک ماده نسبت به مـاده دیگـر باشـد. همچنـینمعموًلًا وابستگی همه خواص به پیوندها از یک قاعـده پیـروی نمیکند.
با این اوصاف اگر قرار باشد از تئوریهای مبتنی بر مکانیک محیط پیوسته برای مدلسازی نانوساختارها استفاده شود بایستی وابستگی به اندازه در معادلات ساختاری ظاهر شود. در تئـوریالاستیسیته کلاسیک چنین قابلیتی وجود ندارد؛ لذا تلاشها برای توسعه معادلات ساختاری در سـال هـای اخیـر شـدت یافتـه و همچنان ادامه دارد. بهعنوان مثال در رابطه با مـدل سـازی رفتـارکمانشی نانوصـفحات در سـالهـای اخیـر تحقیقـات مختلفـیصـورت پذیرفتـه اسـت. در ایـن زمینـه، فـرم کاهیـده تئـوری غیرمحلی دیفرانسیلی ارینگن بیش از بقیه مورد توجه و اسـتفادهمحققین قرارگرفتهاست [٧-٩]. بر اساس این تئوری، اثر انـدازهاز طریق یک ضریب اضافی تحت عنـوا ن پـارامتر غیرمحلـی درمعادلات ساختاری نمود پیدا میکند. مرور مراجع نشان میدهـدکه پارامتر مذکور بـه عنـوان ضـریبی از بارگـذاری خـارجی درمعادلات حاکم ظاهر می شود و سـا ختار معادلـه مشـابه تئـوریالاستیسیته کلاسیک است. بدین ترتیب با اعمال این تئوری، اثـراندازه برای یک هندسـه ثابـت بـه تـابع بارگـذاری وارد بـر آنوابسته است در حالیکه انتظار میرود در یـک نـوع بارگـذاریمشخص، مثًلاً خمشی، اثر اندازه در هندسه و اندازه صفحه نمود پیدا کند و مستقل از تابع بارگذاری باشد. البته یادآوری میشود که تفاوت رفتار یـک نانوسـاختار ثابـت در دو نـوع بارگـذاریمتفاوت، چندان دور از انتظار نیست و تئوریهـای متـأثر از اثـرسطح چنین نتیجهای را پیشبینی میکند [١٠].
در تحقیـق جـاری، تئـوریهـای مختلـف سـاختاری بـرای تحلیــل کمــانش نانوصــفحه گــرافین بــهکــار گرفتــه شــده و بر اساس هر کـدام از آن هـا معـادلات حـاکم بـر کمـانش ورقتوسعه داده میشـود . بـدین ترتیـب امکـان مقایسـه نتـایج هـر کدام از این تئوریها فراهم میشود. لازم به ذکـر اسـت کـه دربیشتر تحقیقات پیشین، گرافین با مشخصات ایزوتروپیک مـوردبررسی قرارگرفتـه اسـت؛ در حـالی کـه بـا توجـه بـه سـاختار شــشضــلعی قرارگیــری اتــمهــا، ایــن صــفحات دارای خواص غیر ایزوتروپ هستند. همچنین، در بسیاری از تحقیقات پیشـین از روشهـای حـل تحلیلـی نـاویر ولـوی کـه محـدود ب ه ش رایط م رزی و هندس ی خ اص هس تند اس تفاده ش ده است [١١-١۴]. در حالیکه یکی از اهداف مقاله حاضر، کـاربردیک روش حل جـامع بـرای شـرایط مـرزی و هندسـی متنـوع است.

۲- معادلات ساختاری
در تحلیل هر مسأله و توسعه معادلات حاکم، علاوه بر معادلات بنیادی، به معادلات ساختاری نیز نیاز است. مدل الاستیک خطی هوک قدیمیترین تئوری برای این منظـور اسـت . ایـ ن تئـ وری، تنش در هر نقطه را به مؤلفههـای کـرنش همـان نقطـه ارتبـاطمی دهد. با اینهمه، بهنظر میرسد این تئوری رفتار محـیط هـاینانوساختار و حتی میکـرو انـدازه را بـا دقـت کـافی نماینـدگینمی کند. لذا تئوریهای ساختاری دیگری توسط محققین مـوردبررسی قرار گرفتهاست. میتوان معادلـه سـاختاری کلـی را بـهمتغیرهایی از جمله مشـتقات مراتـب مختلـف تـنش و کـرنشارتباط داد که در شکل عمومی مطابق رابطه (۱) بیان میشود:
f( , ,ij       ijij, ij, 2 ij, 2 ij,…) 0
در معادله فوق σij و ij بهترتیـب تانسـورهای تـنش و کـرنشهستند. همچنین، اپراتورهای  و 2 به ترتیب نشانگر گرادیـانو لاپلاسین یا به بیانی دیگر به ترتیب تابعیت مشتقات مرتبه اول و مشـتقات مرتبـه دوم هسـتند. بـر اسـاس چگـونگی انتخـاب ضرایب هر کدام از ترمهای موجود در این معادلـه یـک معادلـهساختاری حاصل میشـود . بـه عنـوان مثـال بـر اسـاس تئـوریالاستیسیته محلی یا همان نظریه هوک، فقط ضرایب دو ترم اول معادله فوق غیر صفر هستند و رابطـه فـوق بـهصـورت زیـر در میآید:
ij Cijkl kl
در معادله فوق،ij تانسـور تـنش محلـی،ij تانسـور کـرنش درهمان محل محاسبه تنش وCijkl تانسـور مرتبـه چهـار ضـرایب الاستیک است که در کلیترین حالـت دارای ٢١ مؤلفـه مسـتقلاست. در حالت ایزوتروپیک، فقط ٢ ضـریب الاسـتیک مسـتقلوجود خواهد داشت و معادله فوق بهصورت زیر در میآید:
2250188-48039

ij        kk ij 2G ij K kk ij 2G ij 13 kk ij دلتـایij مـدول بالـک وK ، ضرایب لامـهG و ،در معادله بالا .کرونیکر میباشند
در مقاله حاضر، علاوه بر تئوری کلاسیک یا به بیـانی دیگـرتئوری محلی هوک، چهـار نسـخه از مـدلهـای مختلـف غیـرکلاسیک در مدلسازی و توسـعه معـادلات حـاکم بـر کمـانشنانوصفحات بهکار گرفته میشود.

٢-١- مدل الاستیسیته غیر محلی دیفرانسیلی بر خلاف نظریه الاستیک هـوک کـه در آن تـنش در هـر نقطـهبه صورت محلی با کرنشهای همان نقطه در ارتبـاط اسـت، بـراساس نسخه اولیه تئوری غیر محلـی انتگرالـی اریـنگن، مطـابقرابطه زیر، تنش در هر نقطه از جسم بـه کـرنش در کـل حـوزهوابسته است [١۵]:
823722-19629

ijNL  Vijkl(X -X)kl(X)dV(X) (4)
در معادله فوق، ijNL تانسور تنش غیر کلاسـیک،ijkl کرنـلانتگرال و در واقع تانسور سفتی غیر محلی،X بـردار موقعیـتهر نقطه درون حجم مورد نظر وX بردار موقعیـت نقطـه مـوردهدف تعیین تنش هستند. اگر فرض شود کـه اثـرات غیرمحلـیبهصورت ایزوتروپیک و با یک ضریب اسکالر عمل کند آنگاه با جایگذاری معادلـه (٢) درون معادلـه فـوق نتیجـه زیـر حاصـلمی شود:
157734-29613

ijNL  V (X X-)Cijklkl (X)dV(X)
-) (
 V (X X Xij)dV(X)
در معادله بالا،ij تانسور تنش کلاسـیک(محلـی ) و ((X X تابع کرنل یا به بیانی دیگـر مـدول غیرمحلـی اسـت کـه دارایدیمانسیون 3L است. در واقع این مدول را می توان یک ویژگی از محیط مادی تلقی نمود که در برخی مراجـع بـه نـام مقیـاسطول از آن نام برده میشود. معادله فوق نشان میدهد کـه تـنشغیر محلی در یک نقطه برابر مجموع تنشهای محلـی در همـهنقاط جسم با ضریب وزنی تابع کرنل زیر انتگرال است. با ایـنهمه، تعیین تابع مذکور بـه صـورت تجربـی بـرای یـک محـیطمشخص مشکل بوده و در این رابطـه گزارشـی مشـاهده ن شـد.
بهنظر میرسد که این موضوع یکی از محـدودیتهـای کـاربرداین تئوری در مسائل واقعی باشد و البتـه اعتبـار سـنجی را نیـزمشکل مینماید. با اعمال تبدیل فوریه معادله انتگرالی فـوق بـهشکل دیفرانسیلی زیر در میآید [١۵]:
(1r12    2 r244) ijnlij
ثابتهای 1r و 2r ویژگیهای ماده یا به بیانی دیگر مقیاس طـولبا دیمانسیون طول هستند که در واقع نقـش تـابع کرنـل را ایفـامینمایند. با اینحال، در بیشتر مراجع از ترم سوم سـمت چـپمعادله فوق صرف نظر شدهاست[٧, ١۶-١٨] کـه بـه فـرم سـادهشده زیر منجر میشود:
(1  22) ijNLij
در این معادله مقیاس طول بوده که در واقع همان 1r در معادله قبل است. در اینجا نیز از چنین فرم ساده شدهای استفاده و بـرهمین اساس از علامت اختصاری TDNL بـرای آدرس دهـی آندر طی متن استفاده میشود.
با جایگذاری معادلـه سـاختاری هـوک در سـمت راسـتمعادله فوق، روابـط زیـر بـه ترتیـب بـرای حالـت محـیط غیـرایزوتروپ و ایزوتروپ بهدست میآیند:
(12  2) ijNL Cijkl kl (الف-8)
(12     2) ijNLkk ij 2G ij (ب-8)

۲-۲- تئوری گرادیان کرنشی مرتبه دو بر اساس تئوری گرادیان کرنشی مرتبه دو، ترمهـای اول، دوم وپنجم از معادله ساختاری (۱) در شکلگیری معادله حاکم نقـشایفا می کنند. با توجه بهاینکـه در ایـنجـا مشـتقات مرتبـه دومکرنش در فرمولبندی وارد شدهاند بـه آن عنـوان فرمـولبنـدیگرادیان کرنشی مرتبـه دوم اختصـاص داده شـده و بـا علامـتاختصاری ndSG2 نمایش داده میشود:
NL Cijkl kl Cijkl  2 kl
در معادله فوق، Cijkl تانسـور سـفتی گرادیـان دوم یـا ضـریبگرادیان کرنشی نامیده میشود. واقعیت ایناست که مشتق یـکعبارت از جمله مشتق کرنش موجود در معادله فوق در ارتبـاطبا اختلاف بین کرنش در نقطه هدف با کرنش در نقاط همسـایهاست. از اینرو میتوان این معادله را نیز از خـانواده الاستیسـیتهغیرمحلی قلمداد کرد. برای ایجاد شباهت بین این معادله با فـرممعرفیشده در تئوری دیفرانسـیلی اریـنگن و هـم چنـین فـراهمنمودن شـرایط مقایسـهای، در ایـن جـا ضـریب مشـابهی بـرایایـن منظـور در نظـر گرفتـه مـیشـود. در ایـن راسـتا ضـریب Cijkl  2Cijkl تعریف و در معادله فوق جایگذاری میشود. در ادامه با جایگذاری معادله کلاسیک هوک، معادله فوق بـه فـرمزیر تبدیل می شود که شبیه معادلـه ارائـه شـده در مرجـع [۱۹] است:
    NL (1 22) ij
با توجه به اینکه تانسور کرنش قسمت متقارن تانسـور گرادیـانمرتبه اول تغییر شکل است، بنابراین میتوان گفـت کـه عبـارت2kl معادل تانسور گرادیان مرتبه سوم تغییر شکل است.

۲-۳- تئوری گرادیان ضمنی مرتبه دو فرمولبندی بعدی که در ایـن تحقیـق از آن اسـتفاده مـیشـود،ترکیبی از دو مدل قبل بوده و معادله ریاضی آن بهصـورت زیـراست که در حقیقیت مبین این است که ترمهای اول، دوم، پنجم و ششم در معادله کلی (١) انتخاب شدهاند:
(1      122) ijNL(122 2) ij
همانگونه که مشاهده میشود در این فرمولبندی گرادیـانهـایمرتبه دوم تنش غیرمحلی و همچنین تنش کلاسیک (یا کـرنش ) بهطور همزمان وارد شدهاند؛ لذا عنوان گرادیان ضمنی بـرای آندر نظر گرفتـهشـده و بـا علامـت اختصـاریndIG 2 نشـان دادهمی شود. در این فرمولبندی، دو ضریب اضافی نسبت به تئوری محلی در معادله ساختاری وارد شدهاند و با صفر بودن هرکـداماز آنها یکی از تئوریهای گرادیان کرنشـی مرتبـه دوم یـا غیـرمحلی دیفرانسیلی حاصل می شود. در عینحال به منظـور حفـظهماهنگی و فراهم نمودن شرایط مقایسه با تئوریهایی که پیشتر معرفی شـد، در تئـوری جـاری، هـر دو ضـریب یکسـان و بـه صورت 2 1   در نظر گرفته میشود.

۲-۴- تئوری کوپل تنش تغییر یافته
یادآوری میشود کـه قـبًلاً تئـوری گرادیـان کـرنش مرتبـه دوم معرفی شد. با توجه به اینکـه بـا فـرض تغییـر شـکل کوچـک،تانسور کرنش معادل قسمت متقارن تانسور گرادیـان مرتبـه اولتغییر شکل است پس میتوان گفـت کـه در تئـوری ذکـر شـدهقسمت متقارن تانسور گرادیـان مرتبـه سـوم تغییـر شـکل واردفرمول بندی شده اسـت . در ایـن مرحلـه از گرادیـان مرتبـه اولتانسور کرنش در توسعه فرمولبندی استفاده میشود و در واقع ترمهـای اول، دوم و سـوم از معادلـه (۱) در توسـعه معـادلاتساختاری مورد استفاده قرار میگیرنـد . در نسـخه اولیـه تئـوریگرادیانی کرنش، پنج ضریب اضافه علاوه بر ضـرایب الاسـتیکدر فرمولبندی وارد میشود [۲۰]. با اینحـال در نسـخه تغییـریافته از این تئوری تعداد ضرایب اضـافه بـه سـه عـدد کـاهشیافت[۲۱]. در واقـع در ایـن تئـوری، قسـمت متقـارن تانسـورگرادیان مرتبه اول تغییر شکل (کرنش) و تانسور گرادیان مرتبـهدوم تغییر شـکل کـه لزومـًاً متقـارن نیسـت وارد فرمـول بنـدیمی شود. در ویرایش دیگری از این تئوری فقط قسـمت متقـارنتانسور مذکور مد نظر قرار می گیـرد کـه تحـت عنـوان تئـوریاصلاح شده کوپل تنش شناخته شده [۲۲] و در متن حاضـر بـاعلامت اختصاری MCS نمایش داده میشود.
یادآوری میشود که تانسور گرادیان تغییر شـکل بـهصـورتزیر تعریف میشود که به دو قسمت متقارن بهنام تانسور کرنش و غیر متقارن بهنام تانسور چرخش تجزیه میشود:
ui,j 

12(ui,j u )j,i 

12(ui,j u )j,i
در معادله فوق ui بردار تغییـر مکـان، و پرانتـزهـای اول و دومبه ترتیب تانسورهای متقارن و پاد متقارن هسـتند . بـا توجـه بـهاینکه تانسور پادمتقارن حاوی سه مؤلفه است میتـوان آن را بـا یک بردار بهنام بردار چرخش بهصورت زیر تعریف نمود:
 i

eipq uq,p
در معادله فوق،eipq تانسور مرتبه سـوم جایگشـت نـام دارد . در اینجا تانسور انحناء به صـورت گرادیـان مرتبـه اول تانسـور یـابردار چرخش تعریف میشود. همـان گونـه کـه در رابطـه زیـرآورده شدهاست، این تانسور مرتبه دوم حاصل نیز به دو قسمت متقارن و پاد متقارن قابل تجزیه است:
 i,j

12( i,jj,i)  12( i,jj,i)
در تئوری زوج تـنش، در کنـار تانسـور کـرنش، فقـط قسـمتمتقـارن تانسـور انحنـا یـا همـان گرادیـان چـرخش در انـرژی الاستیک سهیم است که با نماد ( ij

( i,j j,i نمایش داده میشود. در اینصورت، انـرژی ک رنشـی بـا رابطـه زیـر تعیـینمی شود:
U

(   ij ijij ij)dV
همانگونه که در تئوری کلاسـیک، ضـریب تانسـور کـرنش درمعادله فوق بهنام تانسور تـنش و مـزدوج یکـدیگر هسـتند، درتئوری زوج تنش، ضریب تانسـور گرادیـان چـرخش یعنـیij مزدوج آن نامیده میشود که دارای دیمانسیون تنش-طول است لذا تانسور کوپل تنش به آن اطلاق میشود. بـا وجـودی کـه درتئوریهای قبلی همه مؤلفههای تـنش و کـرنش در قالـب یـکمعادله واحد با هم در ارتباط هستند ولی در تئوری زوج تـنش،تنشهای کلاسیک با کرنشهای محلی بر اسـاس رابطـه هـوکیعنی معادلات (۲) یا (۳) با هم در ارتباط بـوده و تانسـور زوجتنش نیز در قالب معادلهای مجزا بهصورت زیر با تانسور انحنـا ء در ارتباط است. تعریف این ارتباط به یک ضـریب اضـافه نیـازدارد که در متن حاضر بـرای فـراهم نمـودن امکـان مقایسـه بـاتئوریهای قبلی از همان سـمبل  بـرای ایـن منظـور اسـتفادهمی شود:

  ij 2G 2 ij

تانسور انحناء معادل مشتقات مرتبه دوم تابع تغییر مکـان اسـت که به نوعی بـه جابجـایی در نقطـه مـوردنظر و همچنـین نقـاطهمسایه آن مربوط میشود. بنـابرای ن تئـوری زوج تـنش را نیـز میتوان در زمره تئوریهای غیر محلی قلمداد نمود و پـارامتر  را نیز میتوان به عنوان پارامتر غیر محلی یا ضریب مقیاس طول در نظر گرفت.
بنابراین بهطور خلاصه در کنار تئوری الاستیسیته محلـی یـاهمان کلاسـیک هـوک، چهـار تئـوری دیگـر شـامل غیرمحلـیدیفرانسیلی ارینگن، گرادیان کرنشی مرتبه دوم، گرادیان ضمنـی

شکل ۱- مدل پیوسته گرافین و دستگاه مختصات مورد استفاده

مرتبـه دوم و زوج تـنش مطـرح شـد. در واقـع غیـر از تئـوری کلاسیک، در بقیه تئوریهـا عـلاوه بـر کـرنش در محـل مـوردمحاسبه تنش، کرنشهـا در همسـایگی آن نیـز در شـکلگیـریمعادلات ساختاری نقش ایفا مـی کننـد لـذا در اینجـا از ادبیـاتتئوریهای غیر محلی برای آنها استفاده میشود. همچنین برای امکان مقایسه نتایج کمی این فرمول بنـدی هـا، پـارامتری واحـدبرای مطالعه اثر غیر محلی در نظـر گرفتـهشـد کـه در ادامـه درتحلیل کمانش گرافین مورد استفاده قرار میگیرد.

۳- معادلات حاکم بر کمانش نانوصفحات
برای صفحهای که در شکل (١) نشان داده شدهاست و با توجـهبه دستگاه مختصات انتخاب شده، بـا بـهکـارگیری روش اصـلتغییرات یا با ترکیب معادلات تعادل نیرو و گشـتاور در جهـاتمختلف، معادله کمانش صفحه تحت بـار هـای درون صـفحهایNy ، Nx وNxy و عدم وجود نیروی عرضی، مطابق رابطه زیـربهدست میآید[٢٣]:
139446-33702

2
2
2
2
M
M
M
2
xy
y
x
w








2

2

2

2

M

M

  • 1

دیدگاهتان را بنویسید